§1.3.1函數的單調性圖示是某市一天24小時內的氣溫變化圖。氣溫θ是關于時間t的函數，觀察這個氣溫變化圖，說說氣溫在哪些時間段內是逐漸上升或下降的？

情景引入yyxxoo11-111-1-1觀察下列兩個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：

思考：從左向右圖象有什么變化趨勢？

函數的單調性xyo-1xOy1124-1-211.從左至右圖象————

2.在區間

(-∞,+∞)上，隨著x的增大，f(x)的值————

2.(0,+∞)上從左至右圖象______，

當x增大時f(x)的值_____

1上升增大下降

1.(-∞,0]上從左至右圖象

當x增大時f(x)的值

減小思考1：畫出下列函數的圖象，根據圖象思考當自變量x的值增大時,函數值是如何變化的？新課探究

上升

增大xyo-1xOy1124-1-211

在某一區間內，當x的值增大時,函數值y也增大——圖象在該區間內逐漸上升；當x的值增大時,函數值y反而減小——圖象在該區間內逐漸下降。函數的這種性質稱為函數的單調性思考2：通過上面的觀察，如何用圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標關系來說明上升或下降趨勢？Oxyx1x2f(x1)f(x2)單調增函數的定義一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數。

類比單調增函數的研究方法定義單調減函數.Oyx1x2f(x1)f(x2)一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是減函數。如果函數y=f(x)在區間D上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區間D上具有單調性。（1）函數單調性是針對某個區間而言的，是一個局部性質；注意：判斷1：函數f(x)=x2在是單調增函數。xyo（2）

x1,x

2

取值的任意性。判斷2：定義在R上的函數f(x)滿足f(2)>f(1)，則函數f(x)在R上是增函數。yxO12f(1)f(2)解:函數y=f(x)的單調區間有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.如圖是定義在閉區間[－5,5]上的函數y=f(x)的圖象,根據圖象說出函數的單調區間,以及在每一單調區間上,函數是增函數還是減函數？

其中y=f(x)在區間[－2，1)，[3，5]上是增函數；說明:區間端點處若有定義寫開寫閉均可.

在區間[－5，－2），[1，3)上是減函數.質發疑展答思辯維1、根據下圖說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，函數是增函數還是減函數.

2544xyO-1321解:函數y=f(x)的單調區間有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在區間[0，2)，[4，5]上是增函數；在區間[－1，0），[2，4)上是減函數.練一練：證明函數在R上是減函數.即∵∴

∴

例2、利用單調性定義：證明：設是R上任意兩個值，且，∴函數

在R上是減函數．則（3）判斷符號：

判斷的符號

用定義證明函數單調性的四步驟：

（1）取值：在所給區間上任意設兩個實數（2）作差變形

：

作差常通過“因式分解”、“通分”、“配方”等手段將差式變形為因式乘積或平方和等形式；

（4）得出結論:得出單調性的結論2、證明：函數f(x)=在(0，+∞)上是減函數。證明：任取x1,x2

(0，+∞)

，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)f(x)=在(0，+∞)上是減函數。取值判斷符號變形作差得出結論取值

判斷符號

作差變形得出結論課堂小結1.兩個定義：增函數、減函數的定義；②(定義法)證明函數單調性，步驟:①圖象法判斷函數的單調性：增函數的圖象從左到右減函數的圖象從左到右上升下降3.一個數學思想：數形結合2：兩種方法拓展探究

證明：函數