專題05全等模型-對角互補(bǔ)模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見的對角互補(bǔ)模型含90°-90°對角互補(bǔ)模型、120°-60°對角互補(bǔ)模型、2α-（180°-2α）對角互補(bǔ)模型。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（90°--全等型）1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請在備用圖中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）連接AD，根據(jù)∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，從而可以證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可證明；（2）連接AD，同樣證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可證明．【詳解】解：（1）如圖所示，連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；故答案為：△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由如下：連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．例2、在中，，，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，將此三角板繞點旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、于點、點，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．（1）觀察線段和之間有怎樣的大小關(guān)系？并以圖②為例，并加以證明；（2）觀察線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并以圖③為例，并加以證明；【解答】解：（1），理由如下：如圖②，連接，是等腰直角三角形，為斜邊的中點，，，，，又，，，在和中，，，；（2），理由如下：連接，如圖③所示：同（1）得：，，，例3．（2022秋·四川綿陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是過點的直線，過點作于點，連接．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖(1)，過點作，與交于點，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究：當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．【答案】(1)；證明見解析(2)；證明見解析【分析】(1)過點作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)過點作于點，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，過點作交于點，，，，，在四邊形中，，，，∴，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；（2）；理由：如圖，過點作交于點，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．模型2、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（60°或120°--全等型）1）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.3）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1.如圖，一傘狀圖形，已知，點是角平分線上一點，且，，與交于點，與交于點．(1)如圖一，當(dāng)與重合時，探索，的數(shù)量關(guān)系(2)如圖二，將在(1)的情形下繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度，繼續(xù)探索，的數(shù)量關(guān)系，并求四邊形的面積．【答案】（1），證明詳見解析；（2），【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠POF=60°，推出△PEF是等邊三角形，得到PE=PF；（2）過點P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE=PF，S四邊形OEPF=S四邊形OQPH，求得OQ=1，QP=，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，平分，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）過點作，，∵平分，∴，，∵，∴∠QPH＝60°，∴，∴，在與中，∴，∴，，∵，，平分，∴，∴，＝，∴＝，∴四邊形的面積＝＝【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過點C作CF⊥OC，交OB于點F，則∠OCF＝90°，…請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點D、E時，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長線相交時，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長線相交時，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°，∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC，∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°，∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE（2）如圖2，過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，在四邊形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE．（3）①（1）中的結(jié)論仍成立．OE+OD＝OC．理由如下：如圖3，過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，在四邊形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴．②在圖4中，（1）中的結(jié)論成立，OE﹣OD＝OC，如圖4，過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°，∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC；在圖5中，（1）中的結(jié)論成立，OD﹣OE＝OC，如圖5，過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°，∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC；例3．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，把∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）是，2.【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA=90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE=CF；（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【詳解】（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．例4.如圖，已知，在的角平分線上有一點，將一個角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與射線相交于點.（1）如圖1，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與垂直時，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到點位于的反向延長線上時，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.【答案】（1），見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的角平分線在中，，同理：（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過點作于，于由（1）知，，且點是的平分線上一點（3）結(jié)論為：.理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，

∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，

∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α對180°-2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個條件可知二推一。2）“蝴蝶型對角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點P在的平分線上，且，以點P為頂點的繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點，若始終與互補(bǔ)，則以下四個結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點M與點N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如圖作于點E，于點F，只要證明，即可一一判斷．【詳解】解：如圖所示：作于點E，于點F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正確，，定值，故③正確，定值，故②正確，的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．例2.（2023·浙江金華·?？既＃┤鐖D，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號為_____．【答案】（1）（4）【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故（4）正確，∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）錯誤，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，在旋轉(zhuǎn)過程中，△PMN是等腰三角形，形狀是相似的，因為PM的長度是變化的，所以MN的長度是變化的，所以△OMN的周長是變化的，故（3）錯誤，故答案為：（1）（4）．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例3.（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的長即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長線于點F，可以證得兩對全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長，從而解決問題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長線于點F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．例4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關(guān)系不變，理由見詳解；應(yīng)用：與差是．【分析】感知：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求證；探究：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，由題意可得∠B=∠DCF，進(jìn)而可證△DEB≌△DFC，然后問題可求證；應(yīng)用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，由題意易證△DHB≌△DGC，則有DH=DG，進(jìn)而可得AG=AH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則有，最后問題可求解．【詳解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應(yīng)用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積為12，則BC+CD＝．解：延長CB到E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°+90°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∴∠ABE＝∠D，又∵BE＝DC，AB＝AD，∴△ABE≌△ADC，∴AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝90°，∴S△AEC＝AE2＝，∵S△AEC＝S四邊形ABCD＝12，∴＝12，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故答案為：4．2．（2022·江蘇·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．【答案】【分析】可將△OBC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將△OBC繞O點旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.要求兩條線段的長，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時需注意，一定要證明C、A、D三點在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮CB⊥y軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可起到事半功倍的效果.3．（2023·廣西八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．【答案】見解析【詳解】試題分析：在邊BC上截取BE=BA，連接DE，根據(jù)SAS證△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．試題解析：證明：在邊BC上截取BE=BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．點睛：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是正確作輔助線，又是難點，解題的思路是把AD和CD放到一個三角形中，根據(jù)等腰三角形的判定進(jìn)行證明，題型較好，有一定的難度．4.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積為12，求BC+CD的值．解：延長CB到E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°+90°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∴∠ABE＝∠D，又∵BE＝DC，AB＝AD，∴△ABE≌△ADC，∴AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝90°，∴S△AEC＝AE2＝EC2，∵S△AEC＝S四邊形ABCD＝12，∴EC2＝12，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．5. 如圖所示，一副三角板按如圖放置，等腰直角三角形固定不動，另一個的直角頂點放在等腰三角形的斜邊中點D處，且可以繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊與AB、CB的交點為點G、H.（1）當(dāng)三角板DEF旋轉(zhuǎn)至圖1所示時，探究BG與CH的大小關(guān)系，并說明理由；（2）若在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積是否不變，若不變，求出它的值，若改變，求出它的取值范圍；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至如圖2所示時，三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點G、H時，（1）中的結(jié)論仍成立嗎？并說明理由.【解答】（1）BG＝CH；（2）面積不變，始終是4；（3）仍成立，理由見解析.【解析】（1）連接BD，如圖所示：∵等腰直角三角形ABC，點D為AC的中點，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45o，BD⊥AC，∵EDF＝90o，∴∠ADG＋∠HDC＝90o，∵∠BDC＝∠BDA＝90o，∴∠BDG＋∠ADG＝90o，∴∠BDG＝∠HDC，∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面積為8，∴∠A＝∠C＝45o，∴∠A＝∠DBH，∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，∴在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積不變，始終是4；（3）連接BD，如圖所示：∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90o－∠CDG，∠CDH＝90o－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45o，∴∠DBG＝∠DCH＝135o，∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴結(jié)論仍然成立.6. 在等邊△ABC中，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120o，射線DE與線段AB相交于點E，射線DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.（1）如圖1，若DF⊥AC，直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F，求證：DE＝DF；（3）在∠EDF繞D順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系.【解答】（1）DE⊥AB；（2）見解析；（3）【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90o，∵∠A＝60o，∠EDF＝120o，∴∠AED＝360o－∠A－∠AFD－∠EDF＝90o，∴∠DE⊥AB；（2）連接AD，過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，如圖所示：∵點D是BC的中點，∴AD是∠BAC的角平分線，∴DM＝DN，∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90o，∠A＝60o，∴∠MDN＝360o－60o－90o－90o＝120o，∵∠EDF＝120o，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；（3）過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，如圖所示：在△BOM與△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，∵∠EDF＝120o＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，在△DME與△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.7. 如圖，在正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q.（1）如圖1，當(dāng)點Q在DC邊上，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；（2）如圖2，當(dāng)點Q落在DC延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想.【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ【解析】（1）過點P作PE⊥BC，PF⊥CD，如圖所示：∵P、C為正方形對角線AC上的點，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90o，∴PF＝PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE＋∠QPE＝90o，∠QPE＋∠QPF＝90o，∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；（2）過點P作PE⊥BC，PF⊥CD，如圖所示：證明過程參考（1），通過證△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ8.例：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,證明見解析.【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．(2)延長DC到點E,使CE=BD，連接AE,由已知可得,根據(jù),可得=,可證,進(jìn)而可得AD=AE,,可得,由勾股定理可得：,進(jìn)行等量代換可得結(jié)論.【詳解】(1)結(jié)論：DA=DB+DC.理由：∵△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三點共線，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)結(jié)論：DA=DB+DC,證明如下：如圖所示，延長DC到點E,使CE=BD，連接AE,∵,,∴,∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),∴AD=AE,,∴,∴,∴,∴DA=DB+DC.【點睛】本題主要考查了截長補(bǔ)短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作出輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.9.如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA＝PE．（1）求證：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)；（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，進(jìn)而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到結(jié)論；（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結(jié)論．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠EPC＝90°；（3）∠ABC+∠EPC＝180°，理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°．10、如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.求證：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.證明：如圖，過點C作CM⊥OA于點M，CN⊥OB于點N.∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），在正方形MONC中，由題意可得∠MCN＝360o－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90o，∴∠MCD＋∠DCN＝90o，又∵∠DCE＝90o，∴∠ECN＋∠MCD＝90o，∴∠MCD＝∠ECN，∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴結(jié)論①成立；∵四邊形MONC為正方形，∴OM＝ON＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴結(jié)論②成立；∴，∴結(jié)論③成立.11．（2022·湖北武漢·八年級?？计谀┮阎谒倪呅沃?，，.(1)如圖1．連接，若，求證：.(2)如圖2，點分別在線段上，滿足，求證：;(3)若點在的延長線上，點在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件得出為直角三角形，再根據(jù)證出，從而證出；（2）如圖2，延長DC到K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據(jù)證明得，從而得出，然后得出結(jié)論；（3）如圖3，在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，∴在和中，∴∴（2）如圖2，延長至點，使得，連接∵∴∵∴∵，，∴∴，，∵，，∴∵，，∴∴∴（3）如圖3，在延長線上找一點，使得，連接，∵∴∵∴在和中，∴∴，∴∵∴在和中，∴∴∴∴∴.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．12．（2023·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）[問題]如圖①，點是的角平分線上一點，連接，，若與互補(bǔ)，則線段與有什么數(shù)量關(guān)系？[探究]探究一：如圖②，若，則，即，，又因為平分，所以，理由是：_______．探究二：若，請借助圖①，探究與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．[結(jié)論]點是的角平分線上一點，連接，，若與互補(bǔ)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______．[拓展]已知：如圖③，在中，，，平分．求證：．

【答案】探究一：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等；探究二：AD＝CD；理由見解析；[結(jié)論]：AD＝CD；[拓展]：見解析．【分析】探究一：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答；探究二：作于，作交的延長線于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；[理論]根據(jù)探究結(jié)果得到答案；[拓展]在上取一點，使，作角的延長線于，于，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，結(jié)合圖形證明結(jié)論．【詳解】解：探究一：平分，，，，理由是：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，故答案為：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；探究二：作于，作交的延長線于，平分，，，，，，，在和中，，；[理論]綜上所述，點是的角平分線上一點，連接，，若與互補(bǔ)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：；[拓展]在上取一點，使，作角的延長線于，于，．平分，，，，，，，，，，，．在和中，，，，，，，，．，．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┧倪呅蜛BCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角互補(bǔ)四邊形”．(1)四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，則∠A的度數(shù)為_______；(2)如圖1，四邊形為對角互補(bǔ)四邊形，，．求證：平分．小云同學(xué)是這么做的：延長CD至M，使得DM=BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關(guān)系為_______；(3)如圖2，四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，且滿足∠BAD=60°，AB=AD，試證明：①AC平分∠BCD；②CA=CB+CD；(4)如圖3，四邊形ABCD為對角互補(bǔ)四邊形，，且滿足∠ABC=60°，AD=CD，則BA、BC、BD三者關(guān)系為_______．【答案】(1)(2)(3)①證明見解析；②證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)對角互補(bǔ)四邊形的定義和四邊形內(nèi)角和定理可知對角互補(bǔ)四邊形兩組對角都互補(bǔ)，再根據(jù)比例關(guān)系，依次即可求得∠B，∠C的度數(shù)，由此可求∠A的度數(shù)；（2）先根據(jù)對角互補(bǔ)四邊形的定義證明，從而利用邊角邊可證明，可得AC=AM，再根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系求得，從而可得△ACM是等腰直角三角形，繼而可證得平分，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的數(shù)量關(guān)系可得CB、CD、CA三者關(guān)系；（3）①延長至，使，連接，證明，可確定是等邊三角形，求出，即可證明；②由①中全等三角形對應(yīng)邊相等，再根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系直接可證明；（4）延長至，使，連接，證明，結(jié)合已知可求，過點作交于點，則有，，再由即可求解．【詳解】（1）四邊形為對角互補(bǔ)四邊形，，，，∴，故答案為：；（2）∵，∴，又∵∴，又∵，∴（SAS），，∴，∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°，∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分，，，，故答案為：；（3）①延長至，使，連接，四邊形為對角互補(bǔ)四邊形，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，平分；②，，，；（4）延長至，使，連接，四邊形為對角互補(bǔ)四邊形，，，，，，，，，，，過點作交于點，為的中點，，在中，，，，故答案為：．【點睛】本題考查四邊形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線作出全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）問題提出（1）如圖1，四邊形ABCD中，，與互補(bǔ)，，點A到BC邊的距離為17，求四邊形ABCD的面積．問題解決（2）某公園計劃修建主題活動區(qū)域，如圖2所示，，，，在BC上找一點E，修建兩個不同的三角形活動區(qū)域，△ABE區(qū)域為體育健身活動區(qū)域，△ECD為文藝活動表演區(qū)域，根據(jù)規(guī)劃要求，，，設(shè)EC的長為x(m)，△ECD的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出△ECD面積的最大值．【答案】（1）255；（2）；【分析】（1）連接AC，過點A作于點H，將△ABH繞著A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，得到△ADG，則利用進(jìn)行求解；（2）連接AD，AC，過點D作交BC延長線于點H，證明，由此表示出，再利用三角函數(shù)表示出高，從而表示出與的函數(shù)關(guān)系式，并求得的最大值．【詳解】解：（1）如圖，連接AC，過點A作于點H，將△ABH繞著A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，得到△ADG．由，得，∵△ADG是由△ABH旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，，又，，即，，三點共線．∴，，∴．（2）如圖，連接AD，AC，過點D作交BC延長線于點H．∵且，∴△BAC為等邊三角形，，．∵，，∴△EAD為等邊三角形，，．∵，，∴．在△BAE和△CAD中，，∴，∴．即．又∵，∴．在Rt△DCH中，．∴△ECD的面積為：．當(dāng)時，y有最大值，此時△ECD面積最大值為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最大值，解決本題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理