專題3.20用勾股定理求線段的長（分層練習）一、單選題1．如圖，在3×3的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，A，B，C均為格點（網格線的交點），以點A為圓心，的長為半徑作弧，交格線于點D，則的長為（）A． B． C． D．2．如圖，在4×3的正方形網格中，標記格點A、B、C、D，且每個小正方形的邊長都是1．下列選項中的線段長度為的是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段3．把長為8cm的矩形按虛線對折，按圖中的線剪成一個四邊形．剪掉部分的面積為6cm2，剪完后展開的圖形如圖所示，則展開后的四邊形的周長是（

）A．20cmB．cmC．cm D．18cm4．如圖，在長為2的線段AB上，用尺規作如下操作：過點B作BC⊥AB，使得BC=，連接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，則BD的長為（

）A． B． C． D．5．利用勾股定理，可以作出長為無理數的線段．如圖，在數軸上取點A，使OA=5，過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB=2，以原點O為圓心，以OB長為半徑作弧，弧與數軸的交點為C，那么點C表示的無理數是（

）A． B． C． D．6．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如圖方式擺放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一條直線上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是線段AD上的動點，N是線段BC上的動點，MN的長度不可能是（

）A．9 B．12 C．14 D．167．如圖，是的中線，，把沿著直線對折，點落在點的位置．如果，那么以線段為邊長的正方形的面積為（

）．A．6 B．72 C．12 D．188．如圖，已知釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉動到的位置，此時露在水面上的魚線為，則的長為（

）A． B． C． D．9．如圖所示，在中，是邊中點，連接，將沿線段翻折后得，其中，則到邊的距離為（

）

A． B． C． D．10．如圖，在一塊形狀為直角梯形的草坪中，修建了一條由A→M→N→C的小路（M、N分別是AB、CD中點）.極少數同學為了走“捷徑”，沿線段AC行走，破壞了草坪，實際上他們僅少走了（

）A．7米 B．6米 C．5米 D．4米二、填空題11．在中，，，，則線段AC的長為________．12．已知和長的兩條線段與第三條線段首尾順次相接構成直角三角形，則第三條線段的長為________．13．如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的“勾股分割點”．已知點M，N是線段AB的“勾股分割點”，若AM＝4，MN＝5，則斜邊BN的長為___________．14．如圖，在中，，F是高和高的交點，若，則線段的長度為______．15．如圖，在中，，，E、F分別為邊、上的點，沿將折疊，使點A落在邊的中點處，若，則線段的長度為______．16．某工程隊負責挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數據（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數據單位：米）．據此可以求得該隧道預計全長______米．17．第七屆國際數學教育大會的會徽主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的．設其中的第一個三角形OA1A2是等腰直角三角形，且，則線段OA8的長為___________．

18．如圖，在中，，點為射線上一點，連接，點為三角形外右側一點，連接，連接交射線于點，已知，，則線段長為________．三、解答題19．如圖，中，∠ACB＝90°，，AC＝8，BC＝6，則線段CD的長度是多少？20．綠地廣場有一塊三角形空地將進行綠化，如圖，在△ABC中，，E是AC上的一點，，，．(1)判斷△ABE的形狀，并說明理由．(2)求線段AB的長．21．如圖，在中，，垂足為D，點E是線段AD上的點，且，．(1)求證：；(2)若，，求BD的長．22．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．點D為BC邊上一點，線段AD將Rt△ABC分為兩個周長相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面積．23．如圖，已知MN∥BF，AB∥DE，點E在點C右側．(1)如圖1，求證：∠ABC＝∠ADE；(2)如圖2，點G是DE上一點，連接AG，AG⊥DE．①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求線段DG的長；②若AD＝20，點E到AD的距離與線段AG的長度之比為5：4，求線段DE的長．24．在中，，，．(1)如圖1，求點到邊的距離；(2)如圖2，點是線段上一動點．過點作交于點，當時，求的長；(3)如圖3，點是直線上一動點，連接，請直接寫出當為何值時，為等腰三角形．參考答案1．B【分析】如圖，連接，根據圓中半徑相等，利用勾股定理求出，利用即可得解．解：如圖，連接，則：，∴，∴．故選B．【點撥】本題考查網格中的勾股定理．熟練掌握圓中半徑都相等以及勾股定理解三角形是解題的關鍵．2．B【分析】根據勾股定理求解即可．解：由題意得：，，，，故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理，正確計算是解題關鍵．3．B【分析】根據剪掉部分的面積，求出矩形的寬，結合勾股定理，求出等腰梯形的腰長，進而代入梯形周長公式，可得答案．解：∵剪掉部分的面積為6cm2，∴矩形的寬為：2cm，∴等腰梯形的腰長為：(cm)，∴打開后梯形的周長是：8+8-6+2=10+2(cm)，故選：B．【點撥】本題考查的知識點是勾股定理，其中根據勾股定理，求出等腰梯形的腰長，是解答的關鍵．4．C【分析】求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．解：∵AB=2，BC=AB，∴BC=1，∴AC=，∵CE=BC=1，∴AD=AE=ACCE=，∴BD=ABAD=2（）=，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理的知識，解題的關鍵是利用勾股定理求得直角三角形的斜邊的長．5．C【分析】根據勾股定理，以及AB，OA的長度，可求出OB的長度，進而即可求解．解：在Rt△ABO中，AB=2，OA=5，則：，故選C．【點撥】本題考查勾股定理與數軸，能夠熟練應用勾股定理是解決本題的關鍵．6．D【分析】當MN⊥BC時最短;當M在點A,N在點C時,MN最長,利用勾股定理計算即可;解：解:當MN⊥BC時MN最短=AB=AE+BE=4+5=9當M在點A，N在點C時,MN最長===15∴9≤MN≤15故答案選D【點撥】本題考查了兩條平行線之間的距離以及勾股定理,識別出MN最短情況和最長情況是解題的關鍵．7．D【分析】由題意易得，進而可得，然后根據勾股定理可求BE，最后根據正方形的面積進行求解即可．解：∵是中點，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴以為邊的正方形面積為．故選D．【點撥】本題主要考查勾股定理及折疊的性質，熟練掌握勾股定理及折疊的性質是解題的關鍵．8．B【分析】利用勾股定理分別求出AB和AB′，再根據BB′=AB-AB′即可得出答案．解：∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故選：B．【點撥】考查了二次根式的應用和勾股定理，解題關鍵是根據已知條件求出AB和AB′的長度．9．D【分析】首先連接AA′，延長BD與AA′交于點E，作DF⊥AB，由翻折的性質得出△ABA′為等腰三角形，△A′CD是等邊三角形，然后利用等腰三角形三線合一的性質得出BE⊥AA′，AE=A′E，進而利用勾股定理得出DE、BD，再次利用勾股定理構建方程，即可得出AF，進而得出DF.解：連接AA′，延長BD與AA′交于點E，作DF⊥AB于F，如圖所示：

由已知，得AB=A′B=，AD=A′D=4∴△ABA′為等腰三角形，∴BE⊥AA′，AE=A′E∵A′C=4∴△A′CD是等邊三角形∴∠ADA′=120°，∠EDA′=60°，∠AA′C=90°∴DE=2，AE=A′E=∴∴BD=BE-DE=5-2=3設AF=，在△ABD中，∴即解得∴故答案為D.【點撥】此題主要考查等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的性質以及勾股定理的綜合運用，解題關鍵是利用勾股定理構建方程.10．B解：在直角梯形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，所以MN是梯形的中位線，∴MN=（AD+BC）÷2，又∵AD=11，BC=16，∴MN=13.5m．過D點作BC的垂線交BC于點E，則AD=BE=11，DE=AB=12，又∵BC=BE+CE=16，∴CE=5，在直角三角形DEC中，DE2+EC2=CD2即122+52=CD2，∴CD=13，則CN=6.5，∴AM+MN+NC=6+13.5+6.5=26．由勾股定理可知AB2+BC2=AC2即122+162=AC2，∴AC=20，所以他們少走了6m，故選B．11．【分析】根據勾股定理即可得出答案解：∵，，，∴故答案為：【點撥】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．12．或/25cm或【分析】設第三條線段的長為，分的線段是直角三角形的斜邊或是直角三角形的直角邊兩種情況進行討論．解：設第三條線段的長為，當的線段是直角三角形的斜邊時，，解得；當的線段是直角三角形的直角邊時，，解得．綜上所述，第三條線段的長為或．故答案為：或．【點撥】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．13．【分析】當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可．解：當BN為最大線段時，∵點M，N是線段AB的勾股分割點，∴BN＝，故答案為：．【點撥】本題主要考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．14．【分析】先求，推導出，再求出，，根據證明，可得，在中，再由勾股定理，即可得出答案．解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，在△BFD和△ACD中，，∴，∴，在中，，∴；故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應邊相等．證明兩個三角形全等是解題的關鍵．15．5【分析】由折疊的性質可得，由勾股定理可求解．解：由折疊的性質可得，為等腰直角三角形，，，為的中點，，設，則，在中，由勾股定理可得，解得，，故答案為：5．【點撥】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質，勾股定理，利用勾股定理求線段的長是解題的關鍵．16．1000【分析】延長700米和400米的兩邊，交于點C，分析得出，再分別求出和，利用勾股定理計算即可．解：如圖，延長700米和400米的兩邊，交于點C，由題意可得：，由圖中數據可得：，，∴米，故答案為：1000．【點撥】本題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是構造直角三角形．17．【分析】反復利用勾股定理計算出的長即可．解：∵，圖中所有三角形都是直角三角形，根據勾股定理可得：，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是利用勾股定理，依次遞進，逐步求出每個斜邊的長．18．【分析】根據題意可求證，延長CM交AB與點G，過G作GK垂直于BC于點K，根據角相等判斷邊相等，AG=AM，列出方程求出AG的長，從而求出AM的長，從而求出BN的長，DN=BN-BD即可求解．解：∵，，∴，∵，CN=CM∴，∴，延長CM交AB與點G，過G作GK垂直于BC于點K，∵，∴，，，∴，，，∴，AM=AG，∵，∴，∴，設BK=a，則GK=a，，∴，∴a=1，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查的是三角形全等的性質及判定，正確做出輔助線，熟練掌握三角形全等的性質及判定是解答本題的關鍵．19．【分析】根據勾股定理求得AB的長，再根據三角形的面積公式求得CD即可．解：∵在中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴．∵，∴．∴．【點撥】本題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的應用，解答本題的關鍵是掌握利用三角形面積的表示方法求出CD．20．(1)是直角三角形，理由見分析；(2)【分析】（1）根據勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，從而可得，由此即可得出結論；（2）設，則，在中，利用勾股定理即可得．（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴是直角三角形．（2）解：設，∵，，∴，在中，，即，解得，即．【點撥】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題關鍵．21．(1)見分析；(2)BD=12．【分析】（1）利用SAS即可證明△BDE≌△ADC，由全等三角形的性質可證明∠EBD=∠CAD；（2）利用勾股定理易求AD的長，再由DE=DC，即可求出BD的長．解：（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．∵AD=BD，DE=DC，∴在△BDE和△ADC中，∴△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD；（2）解：∵∠ADC=90°，AC=13，DE=5即DC=5，∴AD==12，∵△BDE≌△ADC，∴BD=AD=12．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，關鍵在于證明△BDE≌△ADC．22．24【分析】由題意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，設AB＝x，則AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面積公式即可得出答案．解：根據題意可知，△ACD與△ADB的周長相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，設AB＝x，則AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∴．【點撥】本題主要考查夠勾股定理以及三角形面積，熟練掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解題的關鍵．23．(1)見分析；(2)①；②25【分析】（1）根據平行線的性質，即可求解；（2）①根據題意，畫出圖形，設，則，在中，根據勾股定理，即可求解；②連接AE，過點E作EH⊥AD于點H，設點E到AD的距離為，則線段AG的長