專題2.25軸對稱圖形中的折疊問題（分層練習）（基礎練）【知識要點】初中數學有關于折疊的問題，是初中數學幾何內容中比較特殊的一種類型。同時也是圖形變化當中比較容易出考點的類型。想要解決初中數學中存在的折疊問題，那么我們對折疊的性質要有比較清楚的認識。首先要明白圖形折疊前后圖形的大小，形狀都不發生改變，其次折痕是折疊前后對應點連線的垂直平分線。而且折疊前后及對應邊相等，對應角相等，這是我們解決折疊問題中最核心的內容。另外，對于折疊問題，我們一般還有其重要的性質，就是將其轉化為軸對稱的問題，比如對稱點的連線被對稱軸垂直平分，我們連接兩對稱點，就可以得到相等的兩條線段，一、單選題1．如圖，中，，沿折疊，使點B恰好落在邊上的點E處．若，則等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°2．如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，，則的度數是（

）A． B． C． D．3．如圖，矩形紙片，為邊的中點，將紙片沿，折疊，使點落在處，點落在處，若，則（

）A． B． C． D．4．將面積為80cm2的△ABC按圖所示方式折疊，使點A落在BC邊上的點P處，折痕為BD，若△DBC的面積為50cm2，則BP與PC的長度比為（

）A．3:2 B．5:3 C．8:5 D．13:85．如圖，將一個直角三角形紙片，沿線段折疊，使點B落在處，若，則的度數為（）A． B． C． D．6．如圖，將長方形紙片沿折疊后點B落在點E處，則下列關于線段與的關系描述正確的是（

）

A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分7．如圖，長方形紙片，為邊的中點，將紙片沿，折疊，使點落在點處，點落在點處，若，則（

）

A． B． C． D．8．某同學在一次數學實踐活動課中將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊（如圖）．折痕分別為，，若，且，則為（）A． B． C． D．9．如圖，將長方形沿折疊，使點A落在邊上的點E處，點B落在點F處，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．10．如圖，把四邊形沿著折疊，給出下列條件：①；②；③；④．能得出的個數為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．長方形如圖折疊，點折疊到的位置，已知，則．

12．將長方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數為．

13．把一張寬度相等的紙條按如圖所示的方式折疊，則的度數等于．

14．如圖，中，，，將其折疊，使點A落在邊上處，折痕為，則的度數為．15．如圖，在中，，，，將沿直線折疊，恰好使點與點重合，直線交邊于點，那么的周長是．16．如圖的三角形紙片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿過點C的直線折疊這個三角形，使點A落在BC邊上的點E處，折痕為CD，則△BED的周長為．17．如圖，在中，，，的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將沿EF折疊，若點C與點O恰好重合，則．18．如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點，沿AE折疊，點B恰好落在AC邊上的點D處，若∠BAC=60°，BE=CD，則∠AED=度．三、解答題19．如圖所示，將長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點處．折痕為，若，求的度數．

20．如圖是個直角三角形紙片，且：：：：，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為．（1）若，求的面積．（2）若，求的值．21．如圖所示，一個四邊形紙片，，把紙片按如圖所示折疊，使點B落在AD邊上的點，是折痕．（1）試判斷與的位置關系；（2）如果，求∠AEB的度數．22．如圖，在中，，，點E為線段的中點，點F在邊上，連接，沿將折疊得到．（1）如圖1，當點P落在上時，求的度數；（2）如圖2，當時，求的度數．23．已知三角形紙片（如圖），將紙片折疊，使點與點重合，折痕分別與邊、交于點、，點關于直線的對稱點為點．（1）畫出直線和點；（2）連接、，如果，求的度數；（3）連接、、，如果，且的面積為4，求的面積．24．閱讀下列材料，回答問題．如圖1，小明將三角形紙片折疊，使點和重合，折痕為，連接，展開紙片后小明認為和的面積相等．理由如下：由折疊知，．過點作于點，，，所以．請你根據以上信息，利用無刻度的直尺和圓規將圖2中的三角形分為面積相等的兩個三角形．參考答案1．A【分析】根據三角形內角和定理求出的度數，根據翻折變換的性質求出的度數，根據三角形內角和定理求出可得答案．解：在中，，，∴，由折疊的性質可得：，∴．故選：A．【點撥】本題考查的是翻折變換和三角形內角和定理，理解翻折變換的性質、熟記三角形內角和等于是解題的關鍵．2．C【分析】利用折疊的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用長方形的性質∠ABC＝90°，則∠ABE＝90°?∠EBC，結論可得．解：由折疊可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，則∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°?∠EBC＝40°，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查了角的計算，折疊的性質，利用折疊得出：∠CBD＝∠EBD是解題的關鍵．3．D【分析】利用折疊的性質，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度數．解：∵∠1＝30，∠AMA1＋∠1＋∠DMD1＝180，∴∠AMA1＋∠DMD1＝180?30＝150．∴∠BMA1＋∠CMD1＝75．∴∠BMC＝∠BMA1＋∠CMD1＋∠1＝105．故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱的性質，矩形的性質，角的計算．解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變．4．A【分析】根據圖形可得△ADB的面積為30cm2，可求出△PDB的面積為30cm2，△PDC的面積為20cm2，再根據高相等，求出BP與PC的長度比.解：∵△ABC的面積為80cm2，△DBC的面積為50cm2，∴△ADB的面積為30cm2，∵折疊，∴△PDB的面積為30cm2，∴△PDC的面積為20cm2，∵△BDP與△CDP的高相等，∴BP與PC的長度比等于其面積比，即為3:2，故選A.【點撥】此題主要考查折疊的性質，解題的關鍵是三角形的面積公式.5．A【分析】根據，求出即可解答．解：，，，由翻折的性質可知：，，故選：A．【點撥】本題考查翻折變換，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質．6．D【分析】只要證明是線段的垂直平分線即可解決問題．解：是由翻折得到，，，，平分，故選：D．【點撥】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的判定，屬于基礎題，中考常考題型．7．C【分析】根據“折疊”前后的等量關系可以得知和分別是和的角平分線，再利用平角是，計算求出．解：將紙片沿，折疊，使點落在點處，點落在點處，平分，平分故選：C．【點撥】本題考查角的計算相關知識點．值得注意的是，“折疊”前后的兩個圖形是全等形，這在初中數學幾何部分應用的比較廣泛，應熟練掌握．8．B【分析】根據平行線的性質得出，再根據折疊得出，進而解答即可．解：由折疊可知，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，由折疊可知，，∵，∴，∴，故選：B．【點撥】本題考查了平行線的性質、折疊的問題，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質定理，折疊就會出現對應角相等．9．A【分析】根據折疊求出，，根據，求出，得出，求出即可．解：根據折疊可知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，故A正確．故選：A．【點撥】本題主要考查了折疊的性質，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是數形結合，求出．10．C【分析】根據折疊的性質及平行線的判定定理求解即可．解：解∶如圖，

∵，∴同位角相等，兩直線平行；由折疊性質得到，∵，∴，∴內錯角相等，兩直線平行；∵，，∴，∴同位角相等，兩直線平行；由不能得出；．∴能得出的個數為，故選：C．【點撥】此題考查了折疊的性質，熟記折疊的性質及平行線的判定定理是解題的關鍵，11．/110度【分析】先求得的度數，根據圖形折疊的性質，可求得的度數，進而可求得答案．解：∵，∴．根據圖形折疊的性質可知．∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查根據圖形的折疊求角的度數，牢記圖形折疊的性質是解題的關鍵．12．/90度【分析】根據折疊的性質得到，，然后根據平角為求解即可．解：∵將長方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，∴，，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應相等相等．也考查了平角的定義．13．/度【分析】利用翻折不變性，平行線的性質，三角形的內角和定理即可解決問題．解：如圖，

由翻折不變性可知：，∵寬度相等的紙條邊緣平行，∴，，，，故答案為：．【點撥】本題考查平行線的性質，翻折變換，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．14．/10度【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出，根據翻折變換的性質可得，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．解：∵，，∴，∵折疊后點A落在邊上處，∴，由三角形的外角性質得，．故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．15．【分析】由軸對稱的性質可得，再利用三角形的周長公式進行計算即可．解：∵將沿直線折疊，恰好使點與點重合，∴，∴的周長為：，∵，，∴的周長為：，故答案為：．【點撥】本題考查的是軸對稱的性質，熟練的確定軸對稱現象中的相等線段是解本題的關鍵．16．8【分析】由折疊可得：再求解利用從而可得答案.解：由折疊可得：故答案為：【點撥】本題考查的是軸對稱的性質，掌握“成軸對稱的兩個圖形的對應邊相等”是解本題的關鍵.17．【分析】連接OB、OC，根據角平分線的定義求出∠BAO，根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，根據等邊對等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據三角形外心的性質可得OB=OC，再根據等邊對等角求出∠OCB=∠OBC，根據翻折的性質可得OE=CE，然后根據等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內角和定理列式計算即可解：解：如圖，連接OB、OC，，AO為的平分線，，又，，是AB的垂直平分線，，，，為的平分線，，，點O在BC的垂直平分線上，又是AB的垂直平分線，點O是的外心，,，將沿在BC上，F在AC上折疊，點C與點O恰好重合，，，在中，．故答案為104°.【點撥】本題考查線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，等邊對等角的性質，以及翻折變換的性質，解題的關鍵是作輔助線，構造出等腰三角形．18．70【分析】根據軸對稱的性質可得，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE=∠BAC=30°，進而得知△DEC是等腰三角形，根據外角的性質，知∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，得到關于∠C的方程，進而在△ADE中求出∠AED的度數．解：由折疊的性質可知，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE=∠BAC=30°，∵BE=CD，∴DE=DC，∴∠C=∠DEC，∴∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，∴∠ABC=2∠C，又∵∠BAC=60°，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC+∠C=180°－60°=120°，即3∠C=120°，解得：∠C=40°，∴∠ADE=40°×2=80°，∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE=180°－30°－80°=70°．故答案為：70．【點撥】本題考查軸對稱的性質、三角形內角和定理和外角和性質，熟記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．19．【分析】先求出，再由平行線的性質得到，由折疊的性質可得，則由平角的定義可得，則．解：由題意得，，∵，∴，∵，∴，由折疊的性質可得，∴，∵，∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，折疊的性質，熟知折疊前后對應角相等是解題的關鍵．20．（1）；（2）【分析】（1）設，則，依據，即可得到的值，即可求解；（2）根據（1）的結論，根據即可求解．（1）解：：：：：，，，，由折疊可得，，，，設，則，∵，，即，解得，∴（2）∵，,∴【點撥】本題主要考查了折疊圖形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質和折疊圖形的性質是解答此題的關鍵．21．（1），理由見分析；（2）【分析】（1）根據折疊的性質可得，再由，可得，即可求解；（2）由（1）得，，可得，再由折疊的性質可得，求出，即可求解．解：（1）；∵是的折疊后形成的，∴，∴；（2）由（