Chapter2Torsion

第二章扭轉(zhuǎn)海盜船長2024/1/61.2.1IntroductionTorsionreferstothetwistingofastraightbarwhenitisloadedbymoments(ortorques)thattendtoproducerotationaboutthelongitudinalaxisofthebar.汽車傳動(dòng)軸2024/1/62.2024/1/63.2.2TransmissionofPowerbyCircularShafts

TTShaftMotorArotaryspeed:n(rpm)powerofthemotor:N(kW)Ifpowerisexpressedinhorsepower(hp),thetorquewillbe1Transmittedtorque:T(N·m)2024/1/64.nmnT2InternalTorqueandTorqueDiagram

cross-sectionmethodforInternalTorquenmxnTmmnnEquilibriumSmx=0T-m=0T=msignconventionforInternalTorquebytheright-handrule2024/1/65.Example2-1AsteelshaftisdrivenatAbyamotorthattransmitsNA=50hp.ThegearsatB,CandDdrivemachineryrequiringpowerequaltoNB=NC=15hpandND=20hp,respectively.Theshaftisoperatedataspeedn=300r/min.Drawthediagramtoshowthetwistingmomentalongthisshaft.Solution(1)DeterminethemomentsappliedtothemotorandthreegearsmB=mC=351N·mmD=468N·mBCADmAmDmBmC2024/1/66.mA=1170N·mmB=mC=351N·mmD=468N·mBCADmAmDmCmBmBTImBmCmDTIII(2)DeterminetheinternaltorquesSmx=0T1+MB=0T1=-MB=-351N·m

TII+MC+MB=0TIII-MD=0TIII=MD=468N·m

TII=-MC–MB=-702N·mTII2024/1/67.BCADmAmDmCmBT1=-351N·mTII=-702N·mTIII=468N·mxT351702468如果主動(dòng)輪A安在D處，如何？xT3517021170(3)Drawtorquediagram2024/1/68.2.3

PureShear

(純剪切)因?yàn)橥脖诘暮穸群苄。J(rèn)為沿筒壁厚度剪應(yīng)力不變。純剪切:單元體截面上只有剪應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。fdxpq

TTg

Tg1薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)變g

：純剪切單元體的相對(duì)兩側(cè)面發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，使原來互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)微量，稱為剪切應(yīng)變或角應(yīng)變。2024/1/69.結(jié)構(gòu)內(nèi)某一點(diǎn)的變形如下圖，微元原始尺寸為s×s，其線應(yīng)變和剪應(yīng)變分別為：

ex=ey=gxy=討論題：ex=ey=gxy=ex=ey=gxy=ex=ey=gxy=2024/1/610.tdxdyz2剪應(yīng)力互等定理fdxpq

TTg對(duì)整個(gè)單元體有Smz=0

t(dyt)dx=t’(dxt)dy得到：t=t’即：一對(duì)相互垂直的平面，剪應(yīng)力大小相等，垂直交線，方向共同指向或共同背離交線。這是剪應(yīng)力互等定理。tt

取單元體2024/1/611.2.4Hook’sLowinShear(剪切虎克定律)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn):2024/1/612.彈性模量E,泊桑比m和剪切彈性模量G都是材料的彈性常數(shù)。在線彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)變與剪應(yīng)力成正比對(duì)各向同性材料有三者的關(guān)系G:剪切彈性模量

ShearModulusofElasticity單位：GPatg剪切虎克定律:2024/1/613.方法與過程

平面假設(shè)

變形

物理關(guān)系

靜力平衡應(yīng)變分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式2.5ShearStressinCircularBars2024/1/614.crosssectionsrotateasrigidbodiesaboutlongitudinalaxisradiiremainstraightcrosssectionsremainplaneandcircularthelengthoftheshaftkeepsunchanged.1Puretorsionofcircularbar(planeassumption)2024/1/615.2變形幾何關(guān)系(GeometryofDeformation)dfrgdca'b'abdxR圓截面邊緣上a點(diǎn)的剪應(yīng)變距圓心r處的剪應(yīng)變?cè)跈M截面上：

df/dx=constxdfrgree'fdxpq

TTg橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離r成正比。即，剪應(yīng)變線性分布。2024/1/616.tr3物理關(guān)系(PhysicalRelationship)

剪切胡克定律

＝G

由剪切虎克定律，得到r處的剪應(yīng)力2024/1/617.4靜力平衡關(guān)系(StaticEquilibriumRelationship)trdAdqR

drr橫截面上的扭矩橫截面上距圓心r

處的剪應(yīng)力mxTtrdArPolarMomentofInertia(極慣性矩)2024/1/618.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上距圓心r

處的剪應(yīng)力橫截面上最大剪應(yīng)力橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離r成正比。即，剪應(yīng)力線性分布。最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在圓周上各點(diǎn)。抗扭截面模量SectionModulusofTorsiontmaxtmax2024/1/619.極慣性矩PolarMomentofInertiatrdAdqR

drr面積元空心軸的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)dDdA實(shí)心軸的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)2024/1/620.6

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件根據(jù)軸的受力情況作出扭矩圖；根據(jù)扭矩圖求出最大扭矩Tmax；按扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式計(jì)算最大剪應(yīng)力tmax；

階梯軸，錐形軸的Wt

不是常量，tmax并不一定發(fā)生在Tmax截面上，要綜合考慮T

和Wt,求得最大的剪應(yīng)力。2024/1/621.Example2-2一軸AB傳遞的功率為N=7.5kW，轉(zhuǎn)速n=360r/min。軸AC段為實(shí)心圓截面，CB段為空心圓截面。D=3cm，d=2cm。試計(jì)算AC段橫截面邊緣處的剪應(yīng)力以及CB段橫截面上內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力。解：

〔1〕軸所受的外力偶矩為:各橫截面上的扭矩均為:T=m=199N·m〔2〕AC段和CB段軸橫截面的極慣性矩分別為:DdDmmACB2024/1/622.T=m=199N·m(3)AC段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力為BC段軸在橫截面邊緣處內(nèi)、外邊緣的剪應(yīng)力DdDmmACB2024/1/623.Example2-3解：設(shè)實(shí)心軸的直徑為d，空心軸的外徑為D。設(shè)有一實(shí)心圓軸與一內(nèi)外徑比為α=3/4的空心圓軸，兩軸材料及長度相同。承受轉(zhuǎn)矩均為T，兩軸的最大剪應(yīng)力t相等，試比較兩軸的重量。實(shí)心軸TTTTdD2024/1/624.實(shí)心軸空心軸得到兩軸的重量比：空心軸的直徑比實(shí)心軸大13%，但重量僅為一半。2024/1/625.Whatwillhappenifweincreaseα?WrinklingorBucklingofthewall2024/1/626.2.6TorsionalDeformationsofaCircularBar

扭轉(zhuǎn)變形的標(biāo)志為扭轉(zhuǎn)角(AngleofTwist)f；扭轉(zhuǎn)角f

是指兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角。GIP:

圓軸的抗扭剛度TorsionalRigidityLf2024/1/627.x階梯軸兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角l1l2內(nèi)力和尺寸連續(xù)變化的軸兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角2024/1/628.單位長度扭轉(zhuǎn)角(rateoftwist)扭轉(zhuǎn)的剛度條件：(rad/m)(rad/m)(°/m)工程上：2024/1/629.Example2-4傳動(dòng)軸n=500r/min，N1=500馬力，N2=200馬力，N3=300馬力，[t]=70MPa，[q]=1°/m，G=280GPa。確定AB段，BC段直徑。解：(1)計(jì)算外力偶矩(N·m)(2)作扭矩圖7024N.m4214.4T400200N1N2N3ABC(N·m)(N·m)2024/1/630.(3)計(jì)算AB段直徑：7024N.m4214.4T400200N1N2N3ABC由扭轉(zhuǎn)剛度條件由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件:取d1=85mm2024/1/631.(4)確定BC段直徑:由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得:

由扭轉(zhuǎn)剛度條件得取d2=75mm7024N.m4214.4T400200N1N2N3ABC2024/1/632.2.7StaticallyIndeterminateTorsion解：(1)解除B端約束，建立靜定根本體系(Releasedform)Example2-5M0=10kN·m，試?yán)L扭矩圖。m0m0ACDB

aaaACDBm0m0

aaamB(3)Force-displacementrelations(2)Equationofcompatibility補(bǔ)充

方程：解得：2024/1/633.m0m0ACDB

aaaACDB