數(shù)與式單元測試

一.選擇題(共4小題)

1.觀察下列關(guān)于x的單項式，探究其規(guī)律：

34

-x,4A2,-7x,10x1-13金，164，…

按照上述規(guī)律，則第2020個單項式是()

020020020

A.6061?B.-6061f°2°c6O58?D.-6O58?

2.把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組，(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,

23,25,27,29,31)若A“=G,j)表示正奇數(shù)M是第i組第/個數(shù)(從左往右數(shù))，若出=(2,

3),則42019=()

A.(32,26)B.(32,49)C.(45,42)D.(45,80)

3.皮球從100根高處落下，每次著地后又跳回原來的高度的一半，再落下，當它第5次著地時，共經(jīng)過了

A.300-空300-匹C.300-空D.300-亞

2244

下列計算正確的是(

A.人+〃5=2〃1°/?2〃2=2〃6

C.(。+1)2=。~+1(-2ab)2=4azb2

二.填空題(共20小題)

5.元宵聯(lián)歡晚會上，魔術(shù)師劉謙表演了一個魔術(shù)，用幾個小正方形拼成一個大的正方形，現(xiàn)有四個小正方

形的面積分別為八/2、C、d,且這四個小正方形能拼成一個大的正方形，則這個大的正方形的邊長為

6.定義：不超過實數(shù)龍的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[幻.例如[3.6]=3,[-遂]=-2,按此規(guī)定，

[1-2A/51=.

7.已知當x=7時，代數(shù)式/+法-8的值為8,那么當x=-7時，代數(shù)式■|^5玲*+8的值為-

8.觀察下列等式：2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根據(jù)這個規(guī)律，則2'+22+23+-

+22020的末尾數(shù)字是.

9.若自然數(shù)"使得三個數(shù)的豎式加法運算“〃+(〃+1)+(〃+2)”產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱〃為“連加進位數(shù)”.例

如：0不是“連加進位數(shù)”，因為0+1+2=3不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；9是“連加進位數(shù)”，因為9+10+11=30產(chǎn)

生進位現(xiàn)象，如果10、11、12、…、19這10個自然數(shù)中任取一個數(shù)，那么取到“連加進位數(shù)”的概率

是.

10.填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律〃的值為

35

750

下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一個三角形中y與〃

12.且n為整數(shù)），則。1+〃2+。3+…+〃2017

21-an-l

13.觀察下面幾組數(shù):

1,3,5,7,9,11,13,15,?

2,5,8,11,14,17,20,23,?

7,13,19,25,31,37,43,49,…

這三組數(shù)具有共同的特點.現(xiàn)在有上述特點的一組數(shù)，第一個數(shù)是3,第三個數(shù)是11,則其第n個數(shù)

為.

14.觀察下面幾組數(shù)：

1,3,5,7,9,11,13,15,…

2,5,8,11,14,17,20,23,…

7,15,23,31,39,47,55,63,…

這三組數(shù)具有共同的特點.現(xiàn)在有上述特點的一組數(shù)，第3個數(shù)是11,第5個數(shù)是19,則第〃個數(shù)為

15.如果一個自然數(shù)〃，我們把它寫成若干個連續(xù)自然數(shù)之和，則稱其為自然數(shù)〃的一個“分拆”.如9=

4+5,9=2+3+4,我們就說“4+5”與“2+3+4”是9的兩個“分拆請寫出21的兩個“分拆”：.

16.第一個數(shù)，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,則第N個數(shù)的結(jié)果為

234

17.一組按規(guī)律排列的式子：包，△一,3一,』一,…，其中第7個式子是，第n個式子是

24816

（aWO,〃為正整數(shù)）.

18.如圖所示，扇形OMN的圓心角為45°,正方形A1B1C1A2的邊長為2,頂點4，

A2在線段0M上，頂點Bi在弧MN上，頂點Ci在線段ON上，在邊A2cl上取點氏，以左改為邊長繼

續(xù)作正方形A2B2c乂3,使得點C2在線段ON上，點A3在線段OM上，……，依次規(guī)律，繼續(xù)作正方形,

19.如圖，有一顆棋子放在圖中的1號位置上，現(xiàn)按順時針方向，第一次跳一步到2號位置上第二次跳兩

步跳到4號位置上，第三次跳三步又跳到了1號位置上，第四次跳四步…一直進行下去，那么第2017

次跳2017步就跳到了號位置上.

20.用火柴棒按下圖中的方式搭圖形，按照這種方式搭下去，搭第2015個圖形需根火柴棒.

凹巴H]En_rvn_ri

第一個圖形第二個圖形第三個圖形

21.如圖，觀察每一個圖中白色正方形的排列規(guī)律，則第〃個圖中白色正方形有個.

第一個圖第二個圖第三個圖

n=l6個n=21衿n=338個

22.觀察圖形的排列規(guī)律，

飛丫If飛飛丫Ifq飛丫If……

第2008個圖形是（填序號即可）.

①丫；②4;③I;④多.

23.如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第一個圖案需要7枚棋子，擺第二個圖案需要19枚棋子，第三個圖案

需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第六個圖案需要枚棋子，擺第〃個圖案需要

枚棋子.

24.因式分解：y(2x-y)-/+/=.

三.解答題(共20小題)

25.我們知道一個數(shù)x的絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上表示這個數(shù)x的點離原點(表示數(shù)0)的距離，x

的絕對值表示為僅I，也可以寫成b-0|,比如|2|=|2-0|=2；

在數(shù)軸上表示兩個數(shù)x,y的點之間的距離可以表示為k-y|,比如，表示3的點與-1的點之間的距離表

示為|3-(-1)|=|3+1|=4；

優(yōu)+21+h-1|可以表示點x與點1之間的距離跟點x與-2之間的距離的和，根據(jù)圖示易知：當點X的位置

在點A和點8之間(包含點A和點B)時，點X與點A的距離跟點X和點B的距離之和最小，且最小

值為3,即k+2|+|x-1|的最小值是3,且此時x的值為-2WxWl

請根據(jù)以上閱讀，解答下列問題：

(1)僅+1|+優(yōu)-2|的最小值是,此時x的值為；

(2)|x+2|+|x|+k-1|的最小值是,此時x的值為；

⑶當仇+1|+團+卜-2|+在-“|的最小值是4.5時，求出〃的值及x的值.

AXB

^2x-01>

26.(1)閱讀下面材料：

點A,B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a,h,A,B兩點之間的距離表示為

當A,B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖(1),\AB\^\OB\=\b\=\a-b\；

當A,B兩點都不在原點時，

①如圖(2),點A,8都在原點的右邊,\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a=\a-b\；

②如圖(3),點A,8都在原點的左邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(-a)=\a-b\；

③如圖(4),點A,B在原點的兩邊，|AB|=\OA\v\OB\=\a\+\b\=a+(-b)=\a-b\,

綜上，數(shù)軸上A,8兩點之間的距離=

(2)回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是,

數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是,如果|AB|=2,那么x為.

③當代數(shù)式|x+l|+k-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是.

④解方程仇+l|+|x-2|=5.

0(A)B0AB

—1-----------------1~>-1----1----------------1--->

0b0ab

(1)(2)

BA0

―1----------1-------?------->

ba0b0a

(3)(4)

27.閱讀材料，求值：1+2+22+23+24+…+2235.

解：設(shè)5=1+2+22+23+24+-+22015,將等式兩邊同時乘以2得:

234..20152016

2S=2+2+2+2+-+2+2

將下式減去上式得2S-5-22016-1

即S=1+2+22+23+24+--+22015=22016-1

請你仿照此法計算：

(1)l+2+22+23+—+210

(2)1+3+32+33+34+…+3"(其中〃為正整數(shù))

28.老師在課下給同學們留了如圖所示的一個等式，讓同學自己出題，并作出答案，請你回答處下列兩個

同學所提出問題的答案.

芳芳提出的問題：當?代表-2時:求口所代表的有理數(shù)；

小宇提出的問題：若口和?所代表的有理數(shù)互為相反數(shù)，求?所代表的有理數(shù).

7x□-5x?=38

29.在數(shù)軸上，與表示正的點距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是,請證明你的結(jié)論.

30.已知機是聽的小數(shù)部分，〃是丁百的整數(shù)部分.求：

(1)(/77-H)2的值；

(2)三也+瓶的值.

2

31.有一種用“☆”定義的新運算：對于任意實數(shù)a,b都有“☆6=序+”.例如7+4=42+7=23.

(1)已知加食2的結(jié)果是6,則〃?的值是多少？

(2)將兩個實數(shù)〃和”+2用這種新定義“☆”加以運算，結(jié)果為4,則〃的值是多少？

32.有三個有理數(shù)x、y、z,其中x=————(〃為正整數(shù))且x與y互為相反數(shù)，y與z互為倒數(shù).

(-l)n_l

(1)當〃為奇數(shù)時，求出x、y、z這三個數(shù)，并計算孫-y-(y-2z)2。卜的值.

(2)當"為偶數(shù)時，你能求出X、>、z這三個數(shù)嗎？為什么？

2222

33.設(shè)ai=32-12,a2—5-3,<73—7-5"",容易知道ai=8,。2=16,43=24,如果一個數(shù)能表示為8

的倍數(shù)，我們就說它能被8整除，所以41，"2,。3都能被8整除.

(1)試探究4”是否能被8整除，并用文字語言表達出你的結(jié)論.

(2)若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出。|,42,的…斯這一

系列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并說出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù).

34.圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上

一層多一個圓圈，一共堆了〃層.將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所

有圓圈的個數(shù)為l+2+3+“?+”=n(n+l).

2

如果圖3中的圓圈共有13層.

(1)我們自上往下，在每個圓圈中按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,…，則最底層最

左邊這個圓圈中的數(shù)是：

(2)我們自上往下，在每個圓圈中按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,-20,…，求

最底層最右邊圓圈內(nèi)的數(shù)是；

(3)求圖4中所有圓圈中各數(shù)值之和.(寫出計算過程)

盤屬蠹

第雇OQpO00-^0VOQ-OO

35.老師在黑板上寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，形式如下：

-(a+2b)2—a2-4b2

(1)求所捂的多項式；

(2)當”=-1,6=近時求所捂的多項式的值.

36.閱讀下面的文字，回答后面的問題：求5+52+53+…+5i°°的值.

解:^S=5+52+53+-+5100(1),將等式兩邊同時乘以5得到:5S=52+53+54+-+5101(2),

(2)-(1)得：4S=5101-5,；.e=J：-------1

4

問題：(1)求2+2?+23+…+21°°的值;(2)求4+12+36+…+4X340的值.

37.我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個三角形的構(gòu)造

法則：兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(〃+6)"(〃為正整數(shù))的展

開式（按。的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1,2,1,恰

好對應(yīng)（a+h）2=/+2必+/展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1,3,3,1,恰好對應(yīng)著（a+匕）3=

1+3/什3“廿+/展開式中的系數(shù)等等.

1

(mb)2

(a^b尸

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（。+6）5的展開式.

(2)利用上面的規(guī)律計算:25-5X24+10X23-10X22+5X2-1.

38.(1)計算：|-6|+(2013-V2)°-(―)-1-2sin600

3

(2)化簡：(1+a)(I-a)+a(tz-3)

39.相信大家一定記得：在探究乘法公式、勾股定理時都采用了拼圖法，然后借助所拼圖形面積相等，更

形象、直觀地說明它們成立.希望中學數(shù)學興趣小組的同學也利用這種數(shù)形結(jié)合思想，借助如圖1所示

所示的兩個邊長分別為〃、bCa>b）的正方形，說明平方差公式J-/=（a+h）（a-b）成立，請你和

他們一起探究吧!

（1）填空:

雪

圖3

b鷺

圖4

操作說明:把圖2中的陰影部分沿虛線兩次剪下來，拼成如圖3中所示的矩形.

.??這個矩形的長為.，寬為.

?'?S陰影（矩形）=.

又：圖2中S陰影=。2-〃2

'.a2-h2=(a+h)(a-b)

(2)請你提供一種不同于(1)的剪拼方法，再次說明/_/=(a+b)(a-b)成立.(要求：①最多

剪3次，在圖4中畫出剪切線，用虛線表示：②畫出拼圖；③寫出操作說明.)

40.化簡：

①(la4b4c)2-(fa4b-ic)2i

(2)[(x-2y)2+(x-2y)(2y-x)-2x(2x-y)]-?2x

2

③1房■[(卜皇"《蔣)];

④(a2-b2)4-(a”+6I+(a2-/?2)4-(?1-1).

b

a的意義是a例如：1j=lX4-2X3=

41.閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號

cd

-2,

(1)按照這個規(guī)定，請你計算56的值；

78

(2)按照這個規(guī)定，請你計算：當/-4x+4=0時，x+12x的值.

x-12x-3

42.(1)因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)；

(2)設(shè)丫="，是否存在實數(shù)人,使得上式的化簡結(jié)果為7?求出所有滿足條件的/的值.若不能，請

說明理由.

43.“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如a?+笈y+cj的關(guān)于-y的二次三項式來說，方法

的關(guān)鍵是把7項系數(shù)”分解成兩個因數(shù)。1，及的積，即把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù)ci，

C2的積，即C=C1?C2，并使arc2+a2，ci正好等于孫項的系數(shù)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax^+bxy+cy2-

=(aix+ciy)(a”+c2y).

例：分解因式:x2-2xy-8y2.

解：如圖1,其中1=1X1,-8=(-4)X2,而-2=1X2+1X(-4).

-2xy-8/=(x-4y)(x+2y)

而對于形如a?+ZuT+cV+dr+W的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖2,將。分解成

，"〃乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，/分解成及乘積作為第三列，如果〃的+〃p=b,pk+qj—

e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=(加+0句)(心+q)4A)；

例：分解因式：x2+2xy-3y2+3x+y+2

解：如圖3,其中1=1X1,-3=(-1)X3,2=1X2；

而2=1X3+1X(-1),1=(-1)X2+3X1,3=1X2+1XI；

；./+加.，-3/+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2)

請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：

（1）分解因式:

①6,-11xy+12y2=

②2X2-xy-6y2+2x+17y_12=

③x2-xy-6y2+2x-6y~

（2）若關(guān)于x,y的二元二次式/+7xy-18『-5x+歿-24可以分解成兩個一次因式的積，求機的值.

圖1圖2圖3

44.定義：將一個大于0的自然數(shù)，去掉其個位數(shù)字，再把剩下的數(shù)加上原數(shù)個位數(shù)字的4倍，如果得到

的和能被13整除，則稱這個數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)，如果和太大無法直接觀察出來，就再次重復(fù)這個過程

繼續(xù)計算.

例如55263f5526+12=5538,5538f553+32=585,585f58+20=78,78+13=6,所以55263是“一刀

兩斷”數(shù).3247f324+28=352,35+8=43,43+13=3…4,所以3247不是“一刀兩斷”數(shù).

（1）判斷5928是否為“一刀兩斷”數(shù)：（填是或否），并證明任意一個能被13整除的數(shù)是“一

刀兩斷”數(shù)；

（2）對于一個“一刀兩斷"數(shù)，"=10004+1006+1Oc+d（lWaW