2024屆湖北省通城市雋水鎮南門中學九年級數學第一學期期末聯考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，□ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF:FC等于（）A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:22．將分別標有“孔”“孟”“之”“鄉”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻.隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球.兩次摸出的球上的漢字能組成“孔孟”的概率是（）A．18 B．16 C．13．式子有意義的的取值范圍（）A．x≥4 B．x≥2 C．x≥0且x≠4 D．x≥0且x≠24．計算的結果是（）A． B． C． D．5．一副三角板（△ABC與△DEF）如圖放置，點D在AB邊上滑動，DE交AC于點G，DF交BC于點H，且在滑動過程中始終保持DG＝DH，若AC＝2，則△BDH面積的最大值是（）A．3 B．3 C． D．6．已知正比例函數y1的圖象與反比例函數y2圖象相交于點A(2,4)，下列說法正確的是（A．反比例函數y2的解析式是B．兩個函數圖象的另一交點坐標為(2,-4)C．當x<-2或0<x<2時，yD．正比例函數y1與反比例函數y2都隨7．如圖，是由等腰直角經過位似變換得到的，位似中心在軸的正半軸，已知，點坐標為，位似比為，則兩個三角形的位似中心點的坐標是（）A． B． C． D．8．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），函數y與自變量x的部分對應值如下表所示：x…﹣10123…y…﹣23676…當y＜6時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞39．如圖，⊙O的半徑為1，點O到直線的距離為2，點P是直線上的一個動點，PA切⊙O于點A，則PA的最小值是（）A．1 B． C．2 D．10．下列對于二次根式的計算正確的是()A． B．2＝2C．2＝2 D．2＝二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC繞點A按順時針方向旋轉60°后得到△AB′C′，若AB＝4，則線段BC在上述旋轉過程中所掃過部分（陰影部分）的面積是_____．（結果保留π）．12．在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長是__________．13．函數y＝kx，y＝，y＝的圖象如圖所示，下列判斷正確的有_____．（填序號）①k，a，b都是正數；②函數y＝與y＝的圖象會出現四個交點；③A，D兩點關于原點對稱；④若B是OA的中點，則a＝4b．14．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，則A'B'的長為_____．15．已知，關于原點對稱，則__________．16．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=_______________.17．在二次函數中，y與x的部分對應值如下表：x......-101234......y......-7-2mn-2-7......則m、n的大小關系為m_______n．（填“>”,“=”或“<”）18．一個不透明的口袋中裝有個紅球和個黃球，這些球除了顏色外，無其他差別，從中隨機摸出一個球，恰好是紅球的概率為__________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖內接于，，CD是的直徑，點P是CD延長線上一點，且．求證：PA是的切線；若，求的直徑．20．（6分）如圖，在梯形中，，，是延長線上的點，連接，交于點．（1）求證：∽（2）如果，，，求的長．21．（6分）某商場今年2月份的營業額為萬元，3月份的營業額比2月份增加，月份的營業額達到萬元．求3月份到5月份營業額的平均月增長率．22．（8分）方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，﹣1）．（1）作出△ABC關于y軸對稱的，并寫出的坐標；（2）作出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后得到的，并求出所經過的路徑長．23．（8分）如圖，學校操場旁立著一桿路燈（線段OP）．小明拿著一根長2m的竹竿去測量路燈的高度，他走到路燈旁的一個地點A豎起竹竿（線段AE），這時他量了一下竹竿的影長AC正好是1m，他沿著影子的方向走了4m到達點B，又豎起竹竿（線段BF），這時竹竿的影長BD正好是2m，請利用上述條件求出路燈的高度．24．（8分）操作：在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°，將一塊直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。探究：（1）如圖①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則重疊部分四邊形DCEP的面積為___，周長___.（2）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系?并結合圖②加以證明；（3）三角板繞點P旋轉,△PBE是否能成為等腰三角形?若能,指出所有情況(即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長)；若不能，請說明理由。25．（10分）小明準備進行如下操作實驗：把一根長為的鐵絲剪成兩段，并把每一段圍成一個正方形．（1）要使這兩個正方形的面積之和等于，小明該怎么剪？（2）小剛對小明說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于.”小剛的說法對嗎？請說明理由．26．（10分）如圖，△ABC的邊BC在x軸上，且∠ACB=90°．反比例函數y=（x＞0）的圖象經過AB邊的中點D，且與AC邊相交于點E，連接CD．已知BC=2OB，△BCD的面積為1．（1）求k的值；（2）若AE=BC，求點A的坐標．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據題意得出△DEF∽△BCF，進而得出，利用點E是邊AD的中點得出答案即可．【詳解】解：∵?ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵點E是邊AD的中點，∴AE=DE=AD，∴．故選D．2、B【分析】根據簡單概率的計算公式即可得解.【詳解】一共四個小球，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球一共有12中可能，其中能組成孔孟的有2種，所以兩次摸出的球上的漢字能組成“孔孟”的概率是16故選B.考點：簡單概率計算.3、C【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【詳解】解：根據題意得：且，解得：且．故選：C．【點睛】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數．本題應注意在求得取值后應排除不在取值范圍內的值．4、D【分析】根據同底數冪相乘的運算公式進行計算即可．【詳解】解：=故選：D．【點睛】本題考查同底數冪相乘的運算，熟練掌握運算公式是解題的關鍵．5、C【分析】解直角三角形求得AB=2，作HM⊥AB于M，證得△ADG≌△MHD，得出AD=HM，設AD=x，則BD=2x，根據三角形面積公式即可得到S△BDHBD?ADx(2x)(x)2，根據二次函數的性質即可求得．【詳解】如圖，作HM⊥AB于M．∵AC=2，∠B=30°，∴AB=2，∵∠EDF=90°，∴∠ADG+∠MDH=90°．∵∠ADG+∠AGD=90°，∴∠AGD=∠MDH．∵DG=DH，∠A=∠DMH=90°，∴△ADG≌△MHD(AAS)，∴AD=HM，設AD=x，則HM=x，BD=2x，∴S△BDHBD?ADx(2x)(x)2，∴△BDH面積的最大值是．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解直角三角形，三角形全等的判定和性質以及三角形面積，得到關于x的二次函數是解答本題的關鍵．6、C【解析】由題意可求正比例函數解析式和反比例函數解析式，由正比例函數和反比例函數的性質可判斷求解．【詳解】解：∵正比例函數y1的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點∴正比例函數y1=2x∴兩個函數圖象的另一個角點為(-2,-4)∴A，B選項錯誤∵正比例函數y1=2x中，y隨x的增大而增大，反比例函數y2=8∴D選項錯誤∵當x<-2或0<x<2時，y∴選項C正確故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練運用反比例函數與一次函數的性質解決問題是本題的關鍵．7、A【分析】先確定G點的坐標，再結合D點坐標和位似比為1：2，求出A點的坐標；然后再求出直線AG的解析式，直線AG與x的交點坐標，即為這兩個三角形的位似中心的坐標．.【詳解】解：∵△ADC與△EOG都是等腰直角三角形∴OE=OG=1∴G點的坐標分別為（0，-1）∵D點坐標為D（2，0），位似比為1：2，∴A點的坐標為（2，2）∴直線AG的解析式為y=x-1∴直線AG與x的交點坐標為（，0）∴位似中心P點的坐標是．故答案為A．【點睛】本題考查了位似中心的相關知識，掌握位似中心是由位似圖形的對應項點的連線的交點是解答本題的關鍵．8、D【分析】根據表格確定出拋物線的對稱軸，開口方向，然后根據二次函數的圖像與性質解答即可.【詳解】∵當x=1時，y=6；當x=1時，y=6，∴二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，∴二次函數圖象的頂點坐標是（2，7），由表格中的數據知，拋物線開口向下，∴當y＜6時，x＜1或x＞1．故選D．【點睛】本題考察了二次函數的圖像和性質，對于二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），當a>0時，開口向上，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大；當a<0時，開口向下，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小.9、B【分析】因為PA為切線，所以△OPA是直角三角形．又OA為半徑為定值，所以當OP最小時，PA最小．根據垂線段最短，知OP=1時PA最小．運用勾股定理求解．【詳解】解：作OP⊥a于P點，則OP=1．

根據題意，在Rt△OPA中，AP==故選：B．【點睛】此題考查了切線的性質及垂線段最短等知識點，如何確定PA最小時點P的位置是解題的關鍵，難度中等偏上．10、C【解析】根據二次根式的加減法對A、B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的乘法法則對D進行判斷．【詳解】A、原式=2，所以A選項錯誤；B、原式＝，所以B選項錯誤；C、原式＝2，所以C選項正確；D、原式＝6，所以D選項錯誤．故選C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．二、填空題(每小題3分,共24分)11、2π．【分析】由題意根據陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面積，分別求得：扇形BAB′的面積和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面積，進而分析即可求解．【詳解】解：扇形BAB′的面積是：，在直角△ABC中，，．扇形CAC′的面積是：，則陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積=．故答案為：2π．【點睛】本題考查扇形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積是解題的關鍵．12、【分析】根據弧長公式：即可求出結論．【詳解】解：由題意可得：弧長=故答案為：．【點睛】此題考查的是求弧長，掌握弧長公式是解決此題的關鍵．13、①③④【分析】根據反比例函數、一次函數的性質以及反比例函數系數k的幾何意義即可判斷．【詳解】解：由圖像可知函數y＝kx經過一、三象限，h函數y＝，y＝在一、三象限，則k＞0，a＞0，b＞0，故①正確；由圖像可知函數y＝與y＝的圖像沒有交點，故②錯誤；根據正比例函數和反比例函數的圖像都是中心對稱圖像可知，A，D兩點關于原點對稱，故③正確；若B是OA的中點，軸OA＝2OB，作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，∴BN∥AM，∴△BON∽△AOM，∴，∴，∴b＝4a，故④正確：故答案為①③④．【點睛】本題考查了相似性質、反比例函數、一次函數的性質以及反比例函數系數k的幾何意義，數形結合的思想是解題的關鍵14、1【分析】由相似三角形的面積比得到相似比，再根據AB即可求得A'B'的長.【詳解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：1，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝2，∴A′B′＝1．故答案為1．【點睛】此題考查相似三角形的性質，相似三角形的面積的比等于相似比的平方.15、1【分析】根據點（x，y）關于原點對稱的點是（-x，-y）列出方程，解出a，b的值代入計算即可．【詳解】解：∵，關于原點對稱∴，解得，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標的特點，熟知點（x，y）關于原點對稱的點是（-x，-y）是解題的關鍵．16、【詳解】試題分析：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4.又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC.∴tan∠BPC=tan∠BAH.在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=1．∴tan∠BAH=.∴tan∠BPC=.考點：1.等腰三角形的性質；2.銳角三角函數定義；1.轉化思想的應用.17、=【分析】根據表格的x、y的值找出函數的對稱軸，即可得出答案．【詳解】解：由表格知：圖象對稱軸為：直線x＝，

∵m，n分別為點（1，m）和（2，n）的縱坐標，

兩點關于直線x＝對稱，

∴m=n，

故答案為：=．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，能根據表中點的坐標特點找出對稱軸是解此題的關鍵．18、【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】∵一個不透明的口袋中裝有3個紅球和9個黃球，這些球除了顏色外無其他差別，

∴從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率為：．故答案為：．【點睛】本題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）的直徑為．【解析】連接OA，根據圓周角定理求出，再根據同圓的半徑相等從而可得，繼而根據等腰三角形的性質可得出，繼而由，可得出，從而得出結論；利用含的直角三角形的性質求出，可得出，再由，可得出的直徑．【詳解】連接OA，如圖，，，又，，又，，，，是的切線．在中，，，又，，，．的直徑為．【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握切線的判定定理、圓周角定理及含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵.20、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）根據三角形相似的判定定理，即可得到結論；（2）由∽，得，進而即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，∴∽；（2）解：∵，，，，∴．由（1）知，∽，∴，即∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質定理，掌握相似三角形對應邊成比例，是解題的關鍵．21、【解析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設3月份到5月份營業額的平均增長率是x，則四月份的營業額是400（1+10%）（1+x），5月份的營業額是400（1+10%）（1+x）2，據此即可列方程求解．要注意根據實際意義進行值的取舍．【詳解】設月份至月份的營業額的平均月增長率為．依題意，得:．整理得:．解得:（不合題意，舍去）．答：月份至月份的營業額的平均月增長率為．【點睛】可根據題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．22、(1)作圖詳見解析；（﹣5，﹣4）；(2)作圖詳見解析；．【解析】試題分析：（1）分別作出各點關于y軸的對稱點，再順次連接即可，根據點在坐標系中的位置寫出點坐標即可；（2）分別作出各點繞點O逆時針旋轉90°后得到的對稱點，再順次連接即可，根據弧長公式計算可得所經過的路徑長．試題解析：（1）如圖，即為所求作三角形（﹣5，﹣4）；（2）如圖，即為所求作三角形，∵=，∴所經過的路徑的長為=．考點：作圖——旋轉變換；作圖——軸對稱變換．23、1m高【分析】根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝燈高．在△CEA與△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．設AP＝xm，OP＝hm，則，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②聯立①②兩式，解得x＝4，h＝1．∴路燈有1m高．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．24、（1）4，8；（1）證明見詳解；（3）CE=0或1或或；【分析】（1）根據點P是AB的中點可判斷出PD、PE是△ABC的中位線，繼而可得出PD、PE的長度，也可得出四邊形DCEP的周長和面積．（1）先根據圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結論．（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分四種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．【詳解】解：（1）根據△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴PD∥BC，PE∥AC，又∵點P是AB中點，∴PD、PE是△ABC的中位線，∴PD=CE=1，PE=CD=1，∴四邊形DCEP是正方形，面積為：1×1=4，周長為：1+1+1+1=8；故答案為：4，8（1）PD=PE；證明如下：AC=BC，∠C=90°，P為AB中點，連接CP，∴CP平分∠C，CP⊥AB，∵∠PCB=∠B=45°，∴CP=PB，∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，∴∠DPC=∠EPB，在△PCD和△PEB中，,∴△PCD≌△PBE（ASA），∴PD=PE．（3）△PBE是等腰三角形，∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴，∴PB=；①PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；②當PB=BE時，如圖，E在線段BC上，CE＝；③當PB=BE時，如圖，E在CB的延長線上，CE＝；④當PE=BE時，此時，點E是BC中點，則CE=1．綜合上述，CE的長為：0或1或或；【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質與判定，第三問的解答應分情況進行論證，不能漏解，有一定難度．25、（1）剪成40cm和80cm的兩段；（2）小剛的說法正確，理由見解析