《導數及其應用》一、填空題1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點〔1，2〕及附近一點〔1+Δx，2+Δy〕，那么為.2、是函數在點處取極值的條件3.假設曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，那么a,b的值是4．函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3時取得極值，那么a=5.直線是曲線的一條切線，那么實數的值為6.函數的導數為_________________7.假設函數上不是單調函數，那么實數k的取值范圍8.二次函數的導數為，，對于任意實數都有，那么的最小值為9、函數在x=1處有極值為10，那么f(2)等于____________.10．函數在區間上的最大值是11．函數在R上有兩個極值點，那么實數的取值范圍是12.函數是定義在R上的奇函數，，，那么不等式的解集是13．點P在曲線上移動，設在點P處的切線的傾斜角為為，那么的取值范圍是14.設在內單調遞增，，那么是的條件。二、解答題15.設函數f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函數f(x)的單調區間與極值．16..設p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞〕上是單調增函數；q:不等式x2-2x＞a的解集為R.如果pq為真，pq為假，求a的取值范圍.17．函數(x>0)在x=1處取得極值-3-c，其中a,b,c為常數。〔1〕試確定a,b的值；〔2〕討論函數f(x)的單調區間；〔3〕假設對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。18.某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上〔含邊界〕，且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為〔1〕按以下要求寫出函數關系式：①設∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數關系式；②設OP=x(km)，將y表示成x的函數關系式；BCBCDAOP19.是函數的一個極值點，其中〔1〕求與的關系式；〔2〕求的單調區間；〔3〕當，函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于，求的取值范圍。20.函數為自然對數的底數〕〔1〕求的單調區間，假設有最值，請求出最值；〔2〕是否存在正常數，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？假設存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；假設不存在，請說明理由。《導數及其應用》參考答案解答題15.[解析]f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＋1(0<x<2π)令f′(x)＝0，即sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，解之得x＝π或x＝eq\f(3,2)π.x，f′(x)以及f(x)變化情況如下表：x(0，π)π(π，eq\f(3,2)π)eq\f(3,2)π(eq\f(3,2)π，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)遞增π＋2遞減eq\f(3π,2)遞增∴f(x)的單調增區間為(0，π)和(eq\f(3,2)π，2π)單調減區間為(π，eq\f(3,2)π)．f極大(x)＝f(π)＝π＋2，f極小(x)＝f(eq\f(3,2)π)＝eq\f(3π,2).16.解命題p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,∴=3x2-2ax-4,y′的圖象為開口向上且過點〔0，-4〕的拋物線.由條件得≥0且≥0,即∴-2≤a≤2.命題q:∵該不等式的解集為R，∴a<-1.當p正確q不正確時,-1≤a≤2;當p不正確q正確時，a<-2.∴a的取值范圍是〔-∞，-2〕∪［-1，2］.17.解：〔1〕由題意知，因此，從而．又對求導得．由題意，因此，解得．〔2〕由〔I〕知〔〕，令，解得．當時，，此時為減函數；當時，，此時為增函數．因此的單調遞減區間為，而的單調遞增區間為．〔3〕由〔II〕知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使〔〕恒成立，只需．即，從而，解得或．所以的取值范圍為18.【解析】：本小題考查函數的概念、解三角形、導數等根本知識，考查數學建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力。〔1〕①由條件知PQ垂直平分AB，假設∠BAO=θ(rad)，那么，故又，所以所求函數關系式為②假設OP=x(km)，那么OQ=10-x，所以所求函數關系式為〔2〕選擇函數模型①，令得當時，y是θ的減函數；當時，y是θ的增函數；所以當時，此時點O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處。19.解：〔1〕因為是函數的一個極值點.所以即所以〔2〕由〔1〕知，當時，有，當為化時，與的變化如下表：1-0+0-單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減故由上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.〔3〕由得，即又，所以，即設，其函數圖象開口向上，由題意知①式恒成立，所以解之得所以即的取值范圍為20.解：〔1〕①當恒成立上是增函數，F只有一個單調遞增區間〔0，-∞〕，沒有最值……3分②當時，， 假設，那么上單調遞減； 假設，那么上單調遞增，時，有極小值，也是最小值， 即…………6分 所以當時，的單調遞減區間為 單調遞增區間為，最小值為，無最大值…………7分〔2〕方法一，假設與的圖象有且只有一個公共點， 那么方程有且只有一解，所以函數有且只有一個零點…………8分 由〔1〕的結論可知…………10分 此時，的圖象的唯一公共點坐標為 又的圖象在點處有共同的切線， 其方程為，即…………13分 綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該點處的公切線方程為…………14分 方法二：