2023—2024學年度九年級（上）第一次月考數學試卷試時間：120分鐘一、選擇題（每題2分，共20分）1.關于x的一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A.1，， B.，， C.1，，1 D.1，5，1【答案】C【解析】【分析】求出一元二次方程的一般式，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，∴二次項系數、一次項系數、常數項分別是1，，1，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．2.用配方法解方程時，配方后正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據配方法，先將常數項移到右邊，然后兩邊同時加上，即可求解．【詳解】解：移項得，兩邊同時加上，即∴，故選：C．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵．3.近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為16的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內隨機擲點，經過大量實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在0.6左右，則據此估計此二維碼中黑色陰影的面積為（）A.9.6 B.0.6 C.6.4 D.0.4【答案】A【解析】【分析】經過大量實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在0.6左右，說明點落在陰影部分的概率為0.6，再結合正方形的面積為16，即可估計陰影部分的面積．【詳解】解：∵經過大量實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在0.6左右，∴點落在陰影部分的概率為0.6，設陰影部分面積為S，則，即：，∴黑色陰影的面積為9.6，故選：A．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，理解并熟練運用概率公式是解題關鍵．4.如圖，在中，，點為邊的中點，，，則的長為（）A.3 B.4 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】根據直角三角形斜邊中線的性質，推導得，再根據勾股定理性質計算，即可得到答案．【詳解】∵，點為邊的中點，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線、勾股定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的性質，從而完成求解．5.關于x的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數根 D.沒有實數根【答案】A【解析】【分析】對于，當,

方程有兩個不相等的實根，當,

方程有兩個相等的實根，,

方程沒有實根，根據原理作答即可．【詳解】解：∵，∴，所以原方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．6.如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列判斷正確的是（）A.若，則四邊形ABCD是菱形B.若，則四邊形ABCD是矩形C.若，，則四邊形ABCD是正方形D.若，，則四邊形ABCD是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD，才可得四邊形ABCD是菱形，故A錯；對角線相等的平行四邊形是矩形，即AC、BD互相平分，且AC=BD，才可得四邊形ABCD是矩形，故B錯；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD、AC=BD，才可得四邊形ABCD是正方形，故C錯；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D正確．故選D【點睛】本題考查平行四邊形，特殊的平行四邊形的判定，準確掌握判定定理是解題的關鍵．7.某小區原有一塊長為30米，寬為20米的矩形康樂健身區域，現計劃在這一場地四周（場內）筑一條寬度相等的健走步道，其步道面積為214平方米，設這條步道的寬度為x米，可以列出方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設這條步道的寬度為x米，則健走步道內的健身區長為（30-2x）米，寬（20-2x）米，面積為米，根據矩形的面積公式結合題意中的面積，可列方程．【詳解】解：設這條步道的寬度為x米，則健走步道內的健身區長為（30-2x）米，寬（20-2x）米，面積為米，根據題意得，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是弄清題意，找準相等關系，列出方程．8.在元旦晚會上有一個闖關活動：將4張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任意翻開2張，如果翻開的2張都是既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，就可以過關．那么一次過關的概率是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，利用列表法求概率，先判斷出哪些圖形是中心對稱圖形和軸對稱圖形，然后利用列表法畫出翻開2張卡片的所有結果，找出翻開的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果，再利用概率的公式，概率等于所求結果數與總結果數之比即可求解．【詳解】解：正方形、圓、菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，設“正方形、圓、平行四邊形、菱形”的卡片分別為“A、B、C、D”，其中“A、B、D”既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，列表如下，ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）∴翻開的2張都是既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率是，故選：D．【點睛】本題主要考查了求概率，明確題意，準確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．9.出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一，最早是由三國時期數學家劉徽創建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內容之一，如圖，在矩形中，，，對角線與交于點，點為邊上的一個動點，，，垂足分別為點，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，連接，根據矩形的性質可求出的長，根據三角形面積的計算方法可得，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，，，∵，∴，且，∴，整理得，，∴，故選：．【點睛】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，幾何圖形面積的計算方法，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．10.如圖，點、分別在正方形的邊、上，，已知，，則（）A.6 B.15 C.12 D.30【答案】B【解析】【分析】作交的延長線于點，證、即可求解．【詳解】解：作交的延長線于點，如圖：設，則∵解得：∴故選：B【點睛】本題考查了“半角模型”，熟記相關模型的構成、求解及結論是解題關鍵．二、填空題（每題3分，共18分）11.關于x的一元二次方程的一個根是3，則另一個根是___________．【答案】【解析】【分析】設方程的另一根為則由一元二次方程根與系數的關系可得：從而可得答案.【詳解】解：關于x的一元二次方程的一個根是3，設方程的另一根為則故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，掌握“一元二次方程根與系數的關系”是解本題的關鍵.12.不透明的袋子中裝了2個白球、1個黃球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機出1個球，則摸出2個白球的概率為____________．【答案】【解析】【分析】先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，再找出2個白球的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】解：根據題意畫如下樹狀圖：共有9種等可能的情況數，其中摸出2個白球有4種，則摸出2個白球的概率為，故答案為：．【點睛】考查概率的計算，明確概率的意義是解題的關鍵．13.一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，有人統計一共握了66次手，求這次會議到會的人數，若設這次會議到會人數為x，則根據題意可列方程_________________.【答案】【解析】【分析】設參加會議有x人，每個人都與其他（x-1）人握手，共握手次數為，根據一共握了66次手列出方程求解．【詳解】解：設參加會議有x人，依題意得：

【點睛】本題考查一元二次方程的應用，計算握手次數時，每兩個人之間產生一次握手現象，故共握手次數為．14.如圖所示的兩個轉盤進行“配紫色”游戲，配得紫色的概率是______．（第一個圓三等份，第二個圓二等份，紅色和藍色配成紫色）【答案】##0.5【解析】【分析】運用畫樹狀圖把所有等可能結果表示出來，再根據概率的計算方法即可求解．【詳解】解：轉盤一中的顏色分別用紅，紅，藍表示，轉盤二中的顏色分別用紅，藍表示，∴畫樹狀圖把所有等可能結果表示，如圖所示，共有種等可能結果，其中紅色和藍色配成紫色的有種，∴配得紫色的概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查運用畫樹狀圖法求隨機事件概率的計算，掌握以上知識是解題的關鍵．15.如圖，正方形的對角線相交于點O，以O為頂點的正方形的兩邊于點M，N．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為_____．【答案】9【解析】【分析】根據正方形的性質得出，推出，證出可得答案．【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，在與中，，∴，∴∴，故答案為：9．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定等知識，證明是解答此題的關鍵．16.如圖，菱形的對角線、相交于點，且，，分別過點、作與的平行線相交于點．點在直線上運動，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據菱形的性質，可得四邊形是矩形，如圖所示，作點關于的對稱點，連接，連接與交于點，可得，在中，運用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，即，∵，，∴四邊形是矩形，且，，∴，，，如圖所示，作點關于的對稱點，連接，連接與交于點，此時滿足最小，∴，則，∴，則，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查菱形的性質，矩形的判定和性質，對稱圖形求線段最小值的方法，勾股定理的運用，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．三、解答題17.解下列方程：（1）（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）移項后，利用因式分解法求解即可；（2）直接利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：，，，或，解得：，；【小問2詳解】解：，，，，，，．【點睛】本題考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟練掌握因式分解的方法及求根公式是解題的關鍵．18.在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小穎做摸球實驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統計數據：摸球的次數10020030050080010003000摸到白球的次數651241783024815991803摸到白球的頻率0.650.620.590.6040.6010.5990.601（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近

．（精確到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=

．（3）試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只？【答案】（1）0.6；（2）；（3）黑球16個，白球有24個【解析】【分析】（1）根據表中的數據，估計得出摸到白球的頻率．（2）根據概率與頻率的關系即可求解；（3）根據摸到白球的頻率即可得到白球數目，根據總數求黑球數目．【小問1詳解】解：由表中數據可知，當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6，故答案為：0.6．【小問2詳解】解：∵摸到白球的頻率為0.6，∴摸到白球的概率P(白球)=0.6=，故答案為；【小問3詳解】解：盒子里白色的球有40×0.6=24（只）．盒子里黑色的球有40-24=16（只）答：盒子里黑球有16只，白球有24只．【點睛】本題比較容易，考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：部分的具體數目=總體數目×相應頻率．19.已知：如圖，是的角平分線，過點D分別作和的平行線交于點E，交于點F．（1）求證：四邊形菱形；（2）若，試求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）24【解析】【分析】（1）由已知易得四邊形是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得，進而證明，則四邊形是菱形；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，可得，根據勾股定理得，則，最后根據菱形的面積即可求出答案．【小問1詳解】證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴∴，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：如圖所示，連接，與交于點O，∵四邊形是菱形，∴互相垂直且平分，∴，根據勾股定理得，∴，∴四邊形的面積．【點睛】本題主要考查了菱形的性質和判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，熟知菱形對角線垂直平分是解題的關鍵．20.為弘揚中華優秀傳統文化，學校舉辦“經典誦讀”比賽，將比賽內容分為“唐詩”“宋詞”“元曲”三類（分別用，，依次表示這三類比賽內容）．現將正面寫有，，的三張完全相同的卡片背面朝上洗勻，由選手抽取卡片確定比賽內容．選手小明先從三張卡片中隨機抽取一張，記下字母后放回洗勻，選手小梅再隨機抽取一張，記下字母．請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小梅抽到不同類比賽內容的概率．【答案】【解析】【分析】運用畫樹狀圖將所有等可能結果表示出來，再根據概率的計算方法即可求解．【詳解】解：用樹狀圖法表示所有等可能出現的結果如下：共有種等可能出現的結果，其中小明和小梅抽到不同類比賽內容的有種，∴小明和小梅抽到同一類比賽內容的概率為．【點睛】本題主要考查畫樹狀圖求隨機事件的概率，掌握畫樹狀圖把所有等可能結果表示出來，概率的計算公式是解題的關鍵．21.閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程的兩個實數根和系數a，b，c有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數根，∴．則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：（1）應用：一元二次方程的兩個實數根為，則___________，___________；（2）類比：已知一元二次方程的兩個實數根為m，n，求的值；（3）提升：已知實數s，t滿足且，求的值．【答案】（1），（2）（3）的值為或．【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數的關系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數的關系可求出，，再根據，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．【小問1詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：，；【小問2詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；【小問3詳解】解：∵實數s、t滿足，∴s、t可以看作方程的兩個根，∴，，∵，∴或，當時，，當時，，綜上分析可知，的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形計算，分式的混合運算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數的關系：和是解題關鍵．22.如圖，在中，，．點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，另外一點也隨之停止運動．（1）幾秒后，四邊形的面積等于？（2）的面積能否等于？請說明理由．【答案】（1）1秒（2）不能，見解析【解析】【分析】（1）根據題意可得當運動時間為時，，，，根據題意列出方程，進行求解即可；（2）看的面積能否等于，只需要看方程是否有解即可．【小問1詳解】解：，，當運動時間為時，，根據題意可得：，整理得：，解得：或，當時，點重合，不符合題意，舍去，∴經過1秒鐘，四邊形的面積等于；【小問2詳解】解：的面積不能等于，理由如下：根據題意可得：，整理得：，，所列方程沒有實數根，∴的面積不能等于．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用以及根的判別式，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程求解．23.杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；（2）經市場預測，7月份的銷售量將與6月份持平，現商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，調查發現，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該吉祥鈞售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？【答案】（1）該款吉祥物4月份到6月份銷售量月平均增長率為25%（2）該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元【解析】【分析】（1）設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（2）設該吉祥物售價為元，則每件的銷售利潤為元，利用月銷售利潤=每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【小問1詳解】解：設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，根據題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；【小問2詳解】設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．24.在綜合與實踐活動課上，老師組織同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動，如圖1，現有矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝7．動手操作將圖1中的矩形紙片折疊，使點A落在BC邊上的點F處，然后展平，得到折痕BE，連結EF，EC，如圖2．解決問題請根據圖2完成下列問題：（1）線段CF的長為．線段CE的長為．（2）試判斷四邊形ABFE的形狀，并給予證明．拓展探究（3）將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D落在CE上的點N處，然后展平，得到折痕EM，連結MN，如圖3，則線段CM的長為．【答案】（1）3，5；（2）四邊形ABFE是正方形，證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）由折疊可知△FBE≌△ABE，可得∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，則CF＝BC﹣BF＝3，根據矩形的性質得到∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，可得到四邊形ABFE是矩形，則AE＝BF＝4，DE＝3，根據勾股定理可得CE的長；（2）由折疊可知△FBE≌△ABE，可得BF＝BA，∠A＝∠BFE，根據矩形的性質得到∠A＝∠ABC＝∠BFE＝90°，可得到四邊形ABFE是矩形，由于BF＝BA，于是得到四邊形ABFE是正方形；（3）設CM＝x，則DM＝4﹣x，由折疊可知△ENM≌△EDM，可得∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x，EN＝ED＝3，則CN＝5﹣3＝2，在Rt△CNM中，根據勾股定理可得x的值，即可求解．【詳解】解：（1）由折疊可知△FBE≌△ABE，∴∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°，∴四邊形ABFE矩形