第三章圖像信號分析基礎3.1圖像信號的數學表示3.1.1信號的采樣3.1.2信號的量化3.1.3圖像信號的采樣3.1.4圖像信號的量化3.1.5灰度直方圖對一時間t為自變量的實數值域內的連續函數f(t)（信號）以dt為采樣周期進行采樣，得到一個數列，即采樣值：…,f(-dt),f(0),f(dt),f(2dt),…,f(ndt),…3.1.1信號的采樣3.1.1信號的采樣理想采樣器是指閉合時間趨向于0的采樣器。理想采樣后的數列（采樣值）可以記為…,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…,f(n),…或f(n),n=…,-2,-1,0,1,2,…,n,…稱這個數列為信號f(t)的離散時間信號（或離散時間序列、采樣數據序列）。因果系統。3.1.1信號的采樣3.1.1信號的采樣對一個連續信號進行采樣，即讓該連續信號與一個等間隔的脈沖序列共同作用。

任意一個一維序列可以表示成一維單位沖激的移位加權和。x(nT)為x(t)信號在nT時刻的值，即權。采樣前后的信號之間的關系為3.1.1信號的采樣其中，Dirac函數定義為：且3.1.1信號的采樣3.1.1信號的采樣一般取T1=T2任意一個二維序列可以表示成二維單位沖激的移位加權和。對于二維系統，則有3.1.1信號的采樣二維采樣矩陣對模擬信號采樣使它離散化的程度取決于采樣器的采樣周期T。采樣周期越小，得到的采樣序列就越接近原來的信號，數據量越大。采樣周期大于某個限制時，不能從采樣序列恢復原來的信號。明文空間vs密文空間3.1.1信號的采樣3.1.1信號的采樣采樣定理：對一個頻譜有限（）的連續信號f(t)進行采樣，當采樣頻率滿足條件時，采樣序列便能無失真地恢復原來的連續信號。3.1.2信號的量化連續信號的采樣常用A/D轉換實現。A/D轉換器包括采樣器和量化器兩部分組成。量化器的作用是將離散的模擬量x(n)按照一定的規則轉換為數字量x’(n)，即把采樣信號的幅值范圍按照一定的精度要求分成若干（一般為偶數）段[pk,pk+1]，使落入某段中的采樣值使用單一的幅值來表示。從模擬量到數字量的轉換誤差的大小由量化的精度要求所決定。若采樣值f(nT)落在[pk,pk+1]，常取(pk+pk+1)/2為其量化值。3.1.3圖像信號的采樣圖像信號是二維空間的信號，是以平面上的點作為獨立變量的函數。對于黑白或灰度圖像可直接采樣，彩色圖像則可對其三基色分別采樣。二維圖像信號的采樣也要遵循采樣定理。圖像信號的采樣定理：二維采樣頻率均要大于各自的最高頻率。各維一般采用相同的采樣頻率。3.1.4圖像信號的量化幅度分布密度函數h(p)：幅度（亮度）為p的像素點的個數。h(p)通常是非均勻分布的，所以通常取不等間隔的分段，對于較常出現的幅度值范圍，建議把量化間隔取得小一些。3.1.5灰度直方圖（histogram

）對于灰度圖象，從最暗（黑）到最亮（白）通常被分為256個灰度級別。灰度直方圖是灰度級的函數，也就是圖像中具有某個灰度級的像素點的個數，其函數圖像的橫坐標是灰度級，縱坐標為該灰度級出現的頻率。對于連續圖像，定義閾值面積函數A(F)為具有灰度級F的所有輪廓線所包圍的面積。對于數字圖像，任一灰度級F的面積函數A(F)即大于或等于灰度值F的像素點的個數。設D(X,Y)表示平滑地從中心的高灰度級變化到邊沿的低灰度級的連續圖像。3.1.5灰度直方圖（histogram）連續圖像的灰度直方圖可定義為：一幅連續圖像的灰度直方圖是其面積函數的導數的負值。若將圖像看作一個二維隨機變量，則面積函數相當于該隨機變量的分布函數，而灰度直方圖相當于其概率密度函數。隨灰度級F的增加，對應的面積A(F)減小。對于灰度數字圖像，任一灰度級F的面積函數A(F)的值也就是大于等于該灰度值的像素點的個數。3.1.5灰度直方圖3.1.5灰度直方圖設r代表圖像中像素灰度級，作歸一化處理后，r將被限定在［0,1］之內。在灰度級中，r=0代表黑，r=1代表白。對于一幅給定的圖像來說，每一個像素取得［0,1］區間內的灰度級是隨機的，也就是說r是一個隨機變量。假定對每一瞬間，它們是連續的隨機變量，那么就可以用概率密度函數pr(r)來表示原始圖像的灰度分布。如果用直角坐標系的橫軸代表灰度級r，用縱軸代表灰度級的概率密度函數pr(r)，這樣就可以針對一幅圖像在這個坐標系中作出一條曲線來。這條曲線在概率論中就是概率密度曲線。3.1.5灰度直方圖3.1.5灰度直方圖例圖：圖像灰度分布概率密度函數從圖像灰度級的分布可以看出一幅圖像的灰度分布特性。例如，從上圖中(a)和(b)兩個灰度分布概率密度函數中可以看出：(a)的大多數像素灰度值取在較暗的區域，所以這幅圖像肯定較暗，一般在攝影過程中曝光偏弱就會造成這種結果；(b)圖像的像素灰度值集中在亮區，因此，圖像(b)將偏亮，一般在攝影中曝光偏強將導致這種結果。當然，從兩幅圖像的灰度分布來看圖像的質量均不理想。曝光過強（過弱）會導致大片白色（黑色），丟失明暗、對比度、紋理等細節信息，即使采用插值算法，也難以準確恢復。此時將在直方圖的一端或兩端產生尖峰。3.1.5灰度直方圖直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現次數（或頻數）的統計結果，它只反映該圖像中不同灰度值出現的次數（或頻數），而未反映某一灰度值像素所在位置。也就是說，它只包含了該圖像中某一灰度值的像素出現的概率，而丟失了其所在位置的信息。任一幅圖像，都能惟一地確定出一幅與它對應的直方圖，但不同的圖像，可能有相同的直方圖。也就是說，圖像與直方圖之間是多對一的映射關系。由于直方圖是對具有相同灰度值的像素統計得到的，因此，一幅圖像各子區的直方圖之和就等于該圖像全圖的直方圖。3.1.5灰度直方圖3.1.5灰度直方圖對于數字圖像，灰度直方圖可按如下方法計算其中，歸一化操作并不是必須的。3.1.5灰度直方圖輪廓線提供了一個確立圖像中簡單物體邊界的有效方法，使用輪廓線作為邊界的技術稱為閾值法。假設有一圖像的直方圖如下，背景是淺色的，物體是深色的，則取雙峰之間的谷底灰度作為閾值可以得到合理的邊界。3.1.5灰度直方圖直方圖是面積函數的導數，在谷底附近，直方圖的值相對較小，意味著面積函數隨閾值灰度級的變化很緩慢，若選擇谷底處的灰度作為閾值，將可以使其對物體邊界的影響達到最小，使測量物體面積的誤差最小。C#代碼BitmapMyBitmap=newBitmap(500,500);intred=MyBitmap.GetPixel(1,1).R;intgreen=MyBitmap.GetPixel(1,1).G;intblue=MyBitmap.GetPixel(1,1).B;3.2圖像運算3.2.1、點運算3.2.2、代數運算3.2.3、幾何運算一、基本概念二、線性點運算三、非線性點運算四、點運算與灰度直方圖的關系五、點運算的作用3.2.1點運算一、基本概念點運算（pointoperation）可簡單理解為圖像像素點的運算，即按照需要改變像素灰度值的運算，其輸入和輸出均為一幅數字圖像，且輸入像素和輸出像素一一對應，不改變圖像的空間關系對于一幅輸入圖像，將產生一幅輸出圖像，輸出圖像的每個像素點的灰度值由輸入像素點決定。點運算由灰度變換函數（gray-scaletransformation,GST）確定。二、線性點運算三、非線性點運算非線性點運算的設計思路：基本數學函數的運用與組合，如三角函數、指數函數、對數函數、分段函數。三、非線性點運算四、點運算與灰度直方圖灰度直方圖是目的點運算是使圖像滿足預期灰度直方圖的過程與方法五、點運算的作用點運算常用于增強圖像中感興趣的那部分的對比度（對比度增強或對比度擴展）；也可以根據灰度的不同級把一幅圖像劃分成若干部連續的區域，以便進一步確定它們的邊界，畫出輪廓線。3.2.2代數運算一、基本概念二、加法運算三、減法運算四、乘除法運算一、基本概念代數運算指對兩幅或多幅圖像進行點對點的四則運算得到一幅新圖像，其中四則運算一般是兩幅或多幅圖像的對應點的灰度值的代數運算。二、加法運算將多幅圖像的對應點相加得到新圖像。可以將一幅圖像內容加到另一幅圖像上，以達到二次暴光（doubleexposure）的要求。可以對同一場景的多幅圖像求平均值，以降低加性（additive）隨機噪聲。定理：對M幅加性噪聲圖像進行平均，可以使圖像的平方信噪比提高M倍。新圖像的灰度直方圖為兩個原始圖像灰度直方圖的卷積。水印、驗證碼三、減法運算將多幅圖像的對應點相減得到新圖像。可去除圖像中不需要的加性圖案。可用于運動檢測。可以用來計算物體邊界位置的梯度。新圖像的灰度直方圖為兩個原始圖像灰度直方圖的卷積。四、乘除法運算乘法運算可以用來去除原始圖像中的一部分：首先構造一副掩膜圖像，在需要保留區域，圖像灰度值為1，而在被去除區域，圖像灰度值為0；然后將掩膜圖像乘原始圖像。除法運算可用于多光譜遙感運算的比值計算。3.2.3幾何運算一、基本概念二、空間變換算法三、灰度插值算法一、基本概念圖像點運算和代數運算不改變圖像中各部分的幾何關系。圖像幾何運算會改變各部分的空間位置關系。圖像幾何運算的結果一般表現為場景中的物體在圖像內的移動，如轉動、扭曲、傾斜、拉伸、縮放、錯切等等。幾何運算可能會導致圖像的斷裂或支解等現象，因此需要灰度插值算法。二、空間變換算法幾何運算的空間變換算法一般定義如下：其中分別表示在水平和垂直兩個方向上的變換。二、空間變換算法若令則有即圖像不發生任何空間變化。二、空間變換算法若令即則圖像中的像素點進行了平移。二、空間變換算法若令則有即圖像沿對角線旋轉180度，圖像轉置。若令即圖像水平翻轉。二、空間變換算法二、空間變換算法若令即圖像垂直翻轉。二、空間變換算法二、空間變換算法二、空間變換算法三、灰度插值算法1、最近鄰插值2、雙線性插值3、高階插值1、最近鄰插值法令輸出像素點的灰度值等于距離它最近的輸入像素點的灰度值。該方法對于鄰近像素點的灰度值有較大變化的細微結構是粗糙的，失真較大。數字圖像中，只有整數位置（x,y）處定義了灰度值。2、雙線性插值法根據目標像素點相鄰的四個像素點灰度值進行插值計算得到目標點的灰度值。四點確定一個平面函數，屬于過約束問題。問題描述：單位正方形頂點已知，求正方形內任一點的f(x,y)值。具有平滑灰度的作用，在某些細節發生變化的區域效果不好，尤其是圖像放大時。插值函數導數不連續。2、雙線性插值法方法12、雙線性插值法2、雙線性插值法方法23、高階插值一般不用超過三次以上的插值方法，有時沒必要，且計算量太大。二次拉格朗日插值二次埃特金插值三次樣條插值3.3線性系統3.3.0基本概念3.3.1線性(linearity)系統的性質3.3.2線性(linearity)移不變(shiftinvariance)系統3.3.3二維線性移不變系統的頻率響應3.3.0基本概念把能夠對信息（信號）進行某種變換的功能體稱為系統，從形式上看，系統的功能是實行一種運算，它把一個信號（輸入）映射成另一個信號（輸出）。當且僅當兩個輸入x1和x2的任意線性組合使系統的輸出為它們各自輸出y1和y2的相同線性組合時，這個系統稱為線性的。3.3.1線性系統的性質一、線性疊加原理：如果輸入信號是兩個信號之和，則輸出信號為兩個對應的信號之和。3.3.1線性系統的性質二、齊次原理：若系統輸入是某信號的倍數，則系統的輸出是原信號輸出的相同倍數。3.3.1線性系統的性質即：線性系統對于任意個信號的任意線性組合，得到原始信號輸出的相同線性組合。一、移不變性（或時不變性）二、線性移不變系統三、線性移不變系統的性質3.3.2線性移不變系統一、移不變性/時不變性若輸入序列進行移位，則輸出序列進行同樣的移位，而信號性質不變。對于二維移不變系統，若則有二、線性移不變系統同時滿足線性和移不變性的系統稱為線性移不變系統。系統的移不變性和線性是兩個獨立的特性，其中一個特性成立并不意味著另一個特性也成立。二、線性移不變系統圖像描述：將其作為線性移不變系統的輸入二、線性移不變系統由線性性質，可得其中為(m,n)點的單位沖激響應二、線性移不變系統一個線性移不變系統的輸出就是該系統在原點處的單位沖激響應的加權和，而“權”為系統的輸入。一個線性移不變系統完全可以用它原點處的單位沖激響應來表征。線性移不變系統的輸出等于系統輸入與系統原點處單位沖激響應的卷積。三、線性移不變系統的性質1、交換率h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2、結合率三、線性移不變系統的性質h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)3、對加法的分配率三、線性移不變系統的性質h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)三、線性移不變系統的性質4、線性移不變系統對于調諧信號的響應等于輸入信號乘以一個依賴于頻率的復數，一個調諧信號輸入總是產生同樣頻率的調諧信號輸出（幅度可能會變）。5、調諧信號輸入的實部和虛部互相獨立地通過線性移不變系統。若輸入是一個余弦信號，則可以為其加上一個正弦虛部構成一個調諧信號輸入，確定系統對此調諧信號輸入的響應，并去掉復值輸出的虛部而得到原始余弦信號輸入的輸出。3.3.3二維線性移不變系統的頻率響應設線性移不變系統的輸入為其中，u是水平頻率分量，v是垂直頻率分量3.3.3二維線性移不變系統的頻率響應則輸出為其中，頻率響應（系統對某個頻率的響應）為頻率響應是單位沖激響應的傅立葉變換，是單位圓上的傳遞函數（單位沖激響應的Z變換）。頻率響應在水平和垂直兩個分量上的周期都是2π。線性移不變系統的輸出信號與輸入信號具有相同頻率的復正弦，而幅度和相位則受頻率響應的影響。對于特定的有序對（u,v），若|H(u,v)|近似等于1，則該頻率的正弦信號可以無衰減的通過；若|H(u,v)|接近于0，則該頻率的正弦信號將被抑制。對于線性移不變系統，輸出信號的傅立葉變換等于輸入信號的傅立葉變換與頻率響應的乘積。3.3.3二維線性移不變系統的頻率響應3.4圖像的卷積計算3.4.1一維卷積3.4.2二維卷積3.4.3離散二維卷積的矩陣運算3.4.4卷積濾波3.4.1一維卷積積分一、卷積積分定義二、卷積積分的含義三、卷積積分的計算四、卷積積分的性質五、卷積定理六、一維離散卷積七、使用一維離散卷積計算大數相乘或多項式相乘一、卷積積分定義卷積（convolution）積分的定義式如下其中h(t)是系統的單位沖激響應，即系統的輸入是單位沖激時的輸出。二、卷積積分的含義線性移不變系統的輸出可以通過輸入信號與該系統的單位沖激響應的卷積得到。三、卷積積分的計算卷積積分計算步驟

1、沿y軸反轉其中任意一個信號；

2、沿x軸向右平移反轉后的信號，并計算重疊部分的面積；

3、重復步驟2，直至兩信號再無重疊部分。卷積積分在任意時刻的值取決于此時刻兩信號重疊部分的面積。三、卷積積分的計算三、卷積積分的計算三、卷積積分的計算卷積結果函數1函數2111課本46頁圖3-7三、卷積積分的計算#defineN6#defineM8#defineK10#include<conio.h>#include<stdlib.h>voidinitial(int

array[],intn){

while(n>=0)

array[n--]=random(K);}三、卷積積分的計算voidjuanji(int

x[],int

y[],intz[]){

int

i,j;

for(i=0;i<=N+M;i++){

intt=0;

for(j=0;j<=N;j++)

if(i-j>=0&&i-j<=M)t+=x[j]*y[i-j];

z[i]=t;}}三、卷積積分的計算voidoutput(int

array[],intn){

inti;

for(i=0;i<=n;i++)printf("%4d",array[i]);

printf("nn");}三、卷積積分的計算voidmain(){

intx[N+1],y[M+1],z[N+M+1];

initial(x,N);

initial(y,M);

juanji(x,y,z);

output(x,N);

output(y,M);

output(z,N+M);}三、卷積積分的計算四、卷積積分的性質1、交換律四、卷積積分的性質2、分配律四、卷積積分的性質3、結合律4、求導四、卷積積分的性質五、卷積定理兩函數卷積的傅立葉變換等于兩函數卷積的傅立葉變換之積。六、一維離散卷積七、一維離散卷積應用舉例大整數相乘多項式相乘3.4.2二維卷積一、二維連續卷積二、二維離散卷積一、二維連續卷積一維卷積是面積，二維卷積的結果是一個體積二維連續卷積為二、二維離散卷積二維離散卷積定義為三、二維離散卷積計算過程1、由h(i,j)產生序列h(i-m,j-n)，首先把h(m,n)對m軸和n軸翻轉，然后進行平移，使得采樣h(0,0)處于(i,j)點上；2、計算f(m,n)h(i-m,j-n)乘積序列；3、將乘積序列的所有非零抽樣值相加，得到卷積的一個值g(i,j)；4、變化m,n值，重復步驟2、3。3.4.3離散二維卷積的矩陣運算設計算3.4.3離散二維卷積的矩陣運算第一步擴展矩陣3.4.3離散二維卷積的矩陣運算第二步構造fp矩陣3.4.3離散二維卷積的矩陣運算第三步構造Hb矩陣3.4.3離散二維卷積的矩陣運算第四步將Hb與fb相乘整理得3.4.4卷積濾波去噪聲（濾掉線性疊加在圖像上的噪聲信號），如估計未受噪聲污染前的信號、檢測噪聲背景下是否存在已知特征、去除相干（周期）噪聲。去卷積（消除另一個卷積的影響），圖像恢復特征增強，以消弱景物中的其他為代價來增強指定特征（如邊、點）的對比度。3.5圖像的統計特性3.5.1圖像振幅分布特性3.5.2差值信號的振幅分布特性3.5.3圖像的自相關函數3.5.4圖像的振幅譜3.5.5功率有限的圖像空域功率譜與自相關函數3.5.6圖像信息的信息量3.5.1圖像的振幅分布特性圖像的振幅分布特性使用圖像信號的振幅分布函數表征，即圖像信號g(x,y)的值小于某一給定值z的概率：其中，g(x,y)是二維圖像信號，即二維圖像在(x,y)點處的亮度幅值。3.5.1圖像的振幅分布特性g(x,y)的值落在z1、z2之間的概率為3.5.1圖像的振幅分布特性對振幅分布函數進行微分即可得到振幅密度函數，即3.5.2差值信號的振幅分布特性圖像中相鄰像素之間有較大的相關性，即：以較大概率落在0附近。3.5.2差值信號的振幅分布特性圖像中相鄰像素之間振幅差值的概率密度函數近似為負指數分布，其指數的衰減速度完全取決于圖像類型與圖像的細節結構。：其中，a是由圖像性質決定的距離系數，而為像素之間的距離。對于動態視頻來說，除了每一幀中相鄰像素間的相關性，還有相鄰幀之間的相關性。圖像中的相關性為圖像信號的預測編碼提供了重要的理論依據。3.5.2差值信號的振幅分布特性3.5.3圖像的自相關函數自相關函數：描述隨機信號f(t)在任意兩個不同時刻t1，t2的取值之間的相關程度。即：函數自卷積運算時不反轉乘積中的一項3.5.3圖像的自相關函數對于能量有限的圖像信號g(x,y)，自相關函數（實偶函數，其傅立葉變換為信號的能量譜）定義如下：其近似于負指數分布：對于局部特寫，a較小，群集的遠景畫面的a較大。3.5.4圖像的振幅譜圖像的振幅譜定義為圖像信號的傅立葉變換即：傅立葉變換把空域中的g(x,y)變成頻域中的G(u,v)。若已知圖像的振幅譜G(u,v)，用傅立葉逆變換可以求得原來的圖像信號3.5.4圖像的振幅譜3.5.4圖像的振幅譜圖像信號g(x,y)