不定積分

（A）

1、求下列不定積分

fdxfdx

2)J

1)

aJ口

J(x-2)2dLr

3)

r2-3x-5-2v,rCOS2X,

-----------ax1—2—~^X

J3,

5)6)」cosxsinx

j(2e'+-)t&f(1---)Vxyfxdx

7)8)」1

2、求下列不定積分（第一換元法）

pdx

J(3-2x)3tZr

2)M2-3X

1)

fdx

4)Jxlnxln(lnx)

3)JV7

(-dxpdx

I6)」"+

5)Jcosxsinx

f3d

xcos(x)ax8)」l-x

7)

rsinx,「J7/

9)

(?dx

、[cos3xdx

11)J2x2-l12)J

13)Jjsin2xcos3x6tr|tan3xsecxd^

14)J

1

-dx

22

15)16)3cosx+4sinx

102arcco&vrarctan

[,------dx

17),I-418))?(1+幻

3、求下列不定積分（第二換元法）

JxVl+x22)JsinJx以

1)

|?在三dx\-^=dx,(a>Q)

Jx4)飛a~x

3)

fdxrdx

J"(—+1)36)1+岳

5)

fdxpdx

x+Vl-x28)I+A/1-X2

7)

4、求下列不定積分（分部積分法）

[xsinxdx、(arcsinx公

1)

jx2Inxdx4)

3)

\x2arctanjoicfx2cosxdx

5)J6)J

\\n2xdxJX2cosxdx

7)J8)2

5、求下列不定積分（有理函數積分）

「乙

-----dx

Jx+3

1)

2x4-3,

—：--------ax

2)x~+3x—10

rdx

3）Jx（x2+1）

（B）

1、一曲線通過點（〃，3）,且在任一點處的切線斜率等于該點的橫坐標的倒數，求該曲線的方程。

2、已知一個函數幻的導函數為二了，且當x=i時函數值為5》,試求此函數。

3、證明：若“（x3"x）+c,則

sinx

4、設/(幻的一個原函數為x

5、求下列不定積分

，fVl-sin2x6tr

2)J

J22

5)(%+4)(1+b)

-arctanx

cinx

7)Jxjl+lnx8)(l+/)2

求以下積分

rdx

1)Ver-12)」sin(2x)+2sinx

rarctanex

a)elx

rsinxcosx

---——-~~axf

6)」sinx+cosx

第四章不定積分

習題答案

(A)

1

——+C二/+C

1.(1)X(2)3

1a—2“

-x'-2x+4x+c

(3)3(4)x—arctanx+c

2x一

(5)In2-In3(6)一(cotx+tanx)+c

4,+7)

2ex+31n|X+c(8)^V^+C

(7)

1-

--(3-2x)4+c--(2-3x)3+c

2、(1)8(2)

-2cosV7+cln|lnInR+c

(3)(4)

ln|tan^4-c

(5)(6)arctane'+c

—■^-ln|l-x4|+c

—sin(x2)+c

(7)2(8)

1

—arcsin—+—A/9-4X2+C

--------^C

(9)2cos(10)234

V2x-1

Ilri|f-3

+c.sinx

2V2V2x+1sinx--------Fc

(11)(12)3

-cosx--cos5x+c-sec3x-secx+c

(13)210(14)3

12

—x2-—ln(9+x2)+c—廣arctan-廣+c

(15)22

]02arccojir

--------+C(18)(arctan石y+c

(17)21n10

ln|cscz-cotr|⑵-2(VxcosVx-siny/x)+c

。、111

2(tan3$-4_arccosZ)+c

⑶2x

a2..xxn

——(arcsin------\a-x-)+c

⑷2aa~

X

/,+C

⑸w⑹-ln(l4-V2x)+c

x

arcsinx-+c

—(arcsinx+Inx+)+c14-71-X2

⑺2(8)

2

4、⑴一xcosx+sinx+c(2)xarcsinx+V1-x+c

lx3lnx--x3+c

——e-2'(cos—+4sin—)+c

⑶39(4)1722

13,101T/I2、

—xarctanx——x+—ln(l+x)+c

⑸366

⑹x?sinxH-2xcosx-2sinx+c

(7)xln2x—2x\nx+2x+c

32

-x+-xsmx+xcosx-sinx+c

(8)62

I3

5V—/+“7g+3|+c1n"2|+lnk+5|+c

J、\1/

ln|x|--ln(x2+l)+c

⑶2

ln|x|一gln|x+l|-；ln(.x2+l)-garctanx+c

(4)4

X24-1+在arctan2x4-1

——In)

3V3

(5)2x~+x+1

(B)

加二點心)代入即可。

設曲線y=/a),由導數的幾何意義:

1

F(x)=/(%)=

設函數為/(幻，由J］二,得

3

尸(x)=Jf{x)dx=arcsinx+C,代入(1，”即可解出以

由假設得F'(x)=F\ax+b}=f(ax+b)，故

[一b(辦+/?)]'=F(or+b),.,.

a

4、把/'(X)湊微分后用分部積分法。

2X1+COSX

cos—=-------

5.(1)用倍角公式：22

(2)注意cosx-sinxNO或cosx-sinx<0兩種情況。

11

arctan—=arccotx,----axJ=-a(arccotx)

(3)利用xl+x

(4)先分子有理化，在分開作三角代換。

(5)化為部分分式之和后積分。

(6)可令x=2asin2,。

(7)可令彳一"=S—a/in27,則6—x=3-a)cos?t

(8)令Jl+lnx=L

(9)分部積分后移項，整理。

(10)湊后分部積分，再移項，整理。

X

tan—=^

(11)令2

rdx

2)變形為戶了后,

]1=產---!--dx=2tdt

再由工一2,兩端微分得。一2),

(C)

廠--x=ln(l+“J)&=du

1)解：令de-1,則1+打

=2fln(l+=2uln(l+w2)-f)du

所以原式」」+〃-

=2〃ln(l+)-4〃+4arctanw+c

=2x7ex—1-4ylex-1+4arctanje"-1+c

2)解：方法一：

X、

嶺)^f(ztan—)

=jdxJ-----------

2sinx(l+cosx)4J.X3Xx2%

sin—cos-tan-cos一

原式2222

i2X

1+tan-

T12X1,X

--------^/(tan—)=—tan-—+—Intan—+c

*x28242

tan-

2

X

tan—=

方法：:令2

變形」sinxdx

2(1-COS2X)(1+COSX),然后令cosx=〃

方法三:

再化成部分分式積分。

=[arctan^vt/(e-2v)

3)解：原式2J

1,_xrd(e")

——[e2-xarctane-----------]

2Je2jc(l+e2x)

2xxdu

=[e~arctane-J]

(^ex=u)2.M2(l+H2)

1rdu

=——[e"arctan/一

21+M2

\e~2xarctaner+e~x+arctanev+c

2

=IJ)=；[J)一J7r4=d(x3)]

4)解：原式'4+1-Jr+14+1

i31

=-[](x3+l)4J(x3+l)-j(x3+1)4dC?+1)]

4142

=——，+1)4一(x3+1)4+c

219

=fI。」/d(一+x-2)

5)解：原式一+-2(/+*-)--2,令“=/+x2

/-收―+i

志x4+V2x2+1

1f2sinxcosx+l-l,

=----------------------ax

6)解：原式2Jsinx+cosx