2023高考數學難點突破專題訓練（5）

立體幾何

1.（廣東省深圳市高級中學（集團）2022-2023學年高三上學期期末測試數學試題）

如圖，棱長為4的正方體ABCO-ABCR,點A在平面a內，平面與平面e所成的二面角為30。,

則頂點G到平面。的距離的最大值是（）

A.2(2+72)B.2(5/3+A/2)C.2(6+1)D.2(>/2+1)

【解答】解：如圖所示，過G作C0，a,垂足為￡,

則GE為所求，/4OE=30。，

由題意，設CO=x,則AO=4夜-x,

C,O=V16+x2,OE=-OA=2y/2--x,

22

;.C\E=V16+X2+2&-gx,

令y=716+X2+2叵-；x，

4

則y，=.“一)=0,可得x-—尸，

-2石

4r-r-

:,%=忑,頂點C,到平面a的距離的最大值是2（73+V2）.

故選：B.

T

2.（江蘇省常州高級中學2022-2023學年高三上學期1月月考數學試題）

（多選題）如圖，點O是正四面體心8c底面ABC的中心，過點。且平行于平面抬8的直線分別交AC,

BC于點、M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱抬的延長線相交于點Q,與棱尸8的延長線相交于點

R,則（）

A.若MM〃平面PA8,則AB〃RQ

B.存在點S與直線MN,使尸S?（PQ+PR）=O

C.存在點S與直線MN,使PC，平面SR。

11I3

D。pQ廣網+同一網

ACD

【分析】根據線面平行的性質定理，可判斷A；由空間向量數量積可判斷B；當直線平行于直線A8,

SC=：PC時，通過線面垂直的判定定理可判斷C,由共面向量定理可判斷D.

【解析】對于A,MN〃平面PR,平面SMN與棱序的延長線相交于點Q,與棱PB的延長線相交于點

R,

■.平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN//平面PAB,MNIIRQ,

?.點。在面ABC上，過點0的直線交4C,BC于點M,N,，MNu平面ABC,

2

又MN//平面PAB,平面ABCn平面PAB=AB,■■MNIIAB,

：.AB//RQ,故A正確；

對于B,設正四面體P—ABC的棱長為=

=網?糜卜os60°+網?網cos60°=a2>0,故B錯誤；

對于C,當直線MN平行于直線AB,S為線段PC上靠近C的三等分點，即SC=^PC,此時PC±平面SRQ,

以下給出證明：在正四面體P-ABC中，設各棱長為。，

.?「ABC,△PBC,△PAC,均為正三角形，

.點。為工ABC的中心，MN//AB,

2

???由正三角形中的性質，易得CN=CM=qa,

2171

在..C7VS中，CN=-a,SC=-a/SCN=一,

33f3

由余弦定理得，SN=.1(-)+f—Y-2---—cos-=—a,

Y⑴(3)3333

SC2+SN2=^a2=CN2,則SN_LPC,

同理，SMVPC,又SMSN=S,SMu平面SR。，SNu平面SR。，

??.PC_L平面SRQ,.?.存在點S與直線MM使PC_L平面SRQ,故C正確；

221

對于D,設。為3c的中點，PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC),

又???？，A,。三點共線，PA=——PQ「：P,B,R三點共線，...尸8=—PR,-：P,S,C三點

共線,PC=PS,設卜。卜x,

3x3y3z

川\PB\\PC\

Q,R，S四點共面，；------1--------1-------=1,又：網=網=|叫,?虧+豆+武網，

3x3y3z

?一+—+—=?}—r

ryzPA

1113

附廣網+網一網故D正確.

故選：ACD.

【注意】關鍵點注意：本題考查了線面平行的性質定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數量積和

共面向量定理，解題的關鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉化能力與探究能力，屬于難題.

3.(江蘇省蘇北四市(徐州、淮安、宿遷、連云港)2022-2023學年度高三年級第一次調研測試數學試題)

如圖，在四棱錐S-A8C。中，側面底面ABC。，S4_LA￡>,且四邊形ABC。為平行四邊形，AB

兀

=1,BC=2,Z.ABC=ySA=3.

(1)求二面角S-CD-A的大小；

(2)點P在線段SO上且滿足益=2籍，試確定4的值，使得直線BP與面PC。所成角最大.

19.(1)連接XC,在△ABC,AB=\,BC=2,

jrjr

448c=§,由余弦定理得/C=G，所以=1..................................2分

因為側面S4)_L底面/8CD,面S4Dn底曲L45a>4。，SAJ.AD,

所以&4_L面4BCD,所以S4_L4C......................................................................4分

法1：以力為原點建立如圖所示空間直角坐標系.

則5(1,0,0),C(0,73,0),S(0,0,3),0(-1,6,0),CD=(-1,0,0),SC=(0,73,-3).

設平面SCD的法向量為〃=(x,y,z),

,fn?CD=0,\x=0__

由<----，得.>可取"=(0,6,1).

n-SC=0lV3y_3z=O

易知m=(0,0,1)為面ABCD的法向量...............6分

s、，nmm11

所以8so=麗=亦=5.

因為-面角S-CD-A為銳角，

所以。=].即二面角S-C。-/的大小為g............................

4

法2：因為“_L而/BCD,所以W_LCD.

因為四邊形N88為平行四邊形，所以NC_LCD,

又以cNC=N,所以CZ）_L而S4C,所以C￡>_LSC.

又面，CZ）c面SCQ=CD,所以4cs為二面角S-CD-A的平面角.........6分

因為12!!乙405=白=6,二面角$_8-4為銳角，所以e=g.

即二面角S-CD-力的大小為T..................................8分

（2）設「（XQ”Z1）,SP=ASD.得（占,必，4-3）=/1（-1,6,-3）,

x,=-A,y,=&,Z|=3-32,所以尸（一人&,3-3/1）,所以而=3-3/1）.

..............................................10分

由（1）知平面PCZ）的法向量為7=（0,6,1）.

BP>n32+3-323

因為cosa=―?_=—/—=—

18Pmi2小（力+1）2+（&y+（3-32）22V1322-162+10'

QQ

所以當2=1時，cosa值最大，即當4=點時，8尸與平面尸C。所成角最大.

..............................................12分

4.（江蘇省常州高級中學2022-2023學年高三上學期1月月考數學試題）

如圖，空間幾何體ADE-3b中，四邊形ABC。是梯形，AB//CD,四邊形CDEF是矩形，且平面A8C￡>，

平面COE￡ADA.DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是線段AE上的動點.

（1）試確定點M的位置，使AC//平面并說明理由；（7分）

（2）在（1）的條件下，平面尸將幾何體4）￡-3b分成兩部分，求空間幾何體V-DM與空間幾何

體AOM-BCF的體積的比值.（7分）

5

(1)當M是線段AE的中點時，AC〃平面理由見解析；(2)

4

【分析】(1)由線面平行的性質定理確定M是線段AE的中點，然后根據線面平行的判定定理證明.

(2)將幾何體ADE-8CF補成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體AB-CDE尸的體積，再求得三棱

錐尸-血癥的體積后可得所求比值.

【解析】(1)當M是線段AE的中點時，AC〃平面MDE.

證明如下：連接CE交OF于點N,連接MN,如圖，由于N分別是AE、CE的中點，

所以MN//AC,又MV在平面明萬內，且AC不在平面例外'內，所以AC〃平面

(2):四邊形C￡>"是矩形，CD_L￡>￡又C￡>_LAD,且4)c3E=3,

C0J_平面4DE.

平面ABCD上平面CDEF,平面43coe平面8EE=CD,A￡>u平面ABC。，ADVCD,所以ADJL平

面CDEF,又0Eu平面COEF,所以

將幾何體4)E-8b補成三棱柱4)E-B'CF,

三棱柱AQE—B'CF的體積V=SAOE-CO=JX2X2X4=8,

則幾何體ADE-3c/的體積匕=丫一匕5CF=8-gx(；x2x2)x(4-2)=T，

又三棱錐尸一。EM的體積匕=；x(gx2x2xg)x4=g.

4f204、1

?,?空間兒何體”一。七五與空間幾何體AOM-BCF的體積的比為^［與一耳)二］.

★高考引領

~6

【試題出處】2022年高考數學全國甲卷文科第19題

【試題】

小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面48co一^

是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，

△FBC,△GCO,均為正三角形，且它八/X/A

們所在的平面都與平面ABCI）垂直./3c

（1）證明：EF〃平面ABCD；\^/\[/

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的"'

厚度度

【試題分析】

考查目標試題的情境源于生活中的求喜糖包裝盒容積的問題，依

據課程標準要求，將其設計為求“不規則”幾何體的體積計算問題.試

題考查棱錐、直四棱柱等空間幾何體的基本概念，考查不規則幾何體的

割補方法，考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系

等基礎知識和基本方法.試題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力和運算求解能力，以及應用所學知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路求解不規則幾何體的體積時，如果幾何體是組合體,一

般將其分解為若干個“球、柱、錐、臺”的體積的和或差，從而將不規

則幾何體轉化為常見的簡單幾何體的形式，再運用常見幾何體的體積公

式就能求出結果.

（】）設48,8C的中點分別為￡，，可得￡￡'_L平面48C。，FF'工

平面A8C。，且EE'=FF',從而為矩形，所以EF〃E'F,因此

7

“〃平面48CD

(2)思路1點E,F,C,H到平面48GD的距離都為4&，且平面

EFGH〃平面ABCD.故該包裝盒可由底面邊長為8,高為4右的正四棱柱

ABCD-A,B,C,D,截去四個體積相等的三棱錐4-4即，B-B.EF,

C-C.FG,。-得到，且MF,G,〃分別為正四棱柱上底面各棱的

中點.

思路2設48,BC,CD,的中點分別為廣，C,點

E,F,6,，到平面A8C0的距離都為4吁，且平面EFCH〃平面48s

故該包裝盒可由底面邊長為4&,高為4吁的正四棱柱HEFG

和四個體積相等的四棱錐4-HEEW,B-EFF'E',C-FGG'F',D-

GH/TG，組合得到.

試題亮點試題落實立德樹人根本任務，從引導學生德智體美勞全

面發展的角度，以勞動實踐中的實際問題出發，以考生熟悉的正四棱柱

和棱錐的組合體為載體，設計了空間直線與平面的位置關系和平面與平

面的位置關系的證明問題及計算問題?考生對試題中的空間圖形會有似

曾相識的感覺，貼近廣大考生的學習實際?試題給出的信息量是多樣的，

給不同基礎的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺，同時為考生

分析問題和解決問題提供了發揮能力水平的空間.試題在全面考杳考生

對立體幾何基礎知識理解與掌握的同時，著重考查了考生的化歸與轉化

思想.試題重基礎、重應用、重能力，體現出較好的區分度和選拔功能，

對中學數學教學有積極的引導作用和很好的指導意義.

8

【參考答案】

(1)設48,8c的中點分別為E',F',連結￡E',FF',E'F',由題

設可知EE'J.平面ABC。，FF'_L平面48C0,且EE'=FF'=4#,故

EE'F'F為矩形，所以EF〃E'F',因此E尸〃平面48C0.

(2)解法1由題設和(1)可知，點E,F,

G,H到平面48CZ)的距離都為4吁，且平面

EFGH〃平面ABCD.故該包裝盒可由底面邊長

為8,高為4。的正四棱柱4BCD-4與G?截

去四個體積相等的三棱錐B-B.EF,

C-C.FG,O-QG”得到，且E,F,%，分

別為正四棱柱上底面各棱的中點，如圖所示.

正四棱柱ABC。-44Gd的體積匕=8x8x4。=2564.

三棱錐A-A,EH的體積匕=gx；x4x4x46=^^色.

因此該包裝盒的容積為%-4匕=包磐(cm?).

解法2設48,BC,CD,以的中點分別

為EtF',C,H二由題設和(I)可知，點

E,F,G,，到平面48C0的距離都為4力，且

平面以、G〃〃平面￡N，C7T.故該包裝盒可由底

面邊長為4々，高為4耳的正四棱柱〃￡/C-

和四個體積相等的四棱錐A-HEE'H',

B-EFF'E',C-FGG'F',。-CH//'C'組合得到.

正四棱柱HEFG-〃'￡FC'的體積%=4&x4&x4$=128萬.

四棱錐A-的體積匕=：X44X4&X2&=竺四.

33

因此該包裝盒的容積為K)+4F|=—y—(cn?).

9

【試題出處】2022年高考數學全國甲卷理科第18題

【試題】

在四棱錐中。T8CO,底面AO=O（；=C8=

48=2,DP

（1）證明：BD1PA；

（2）求PD與平面P4B所成的角的正弦值?

【試題分析】

考查目標試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過確定兩直

線的位置關系和計算宜線與平面所成用的正弦值,號杳號生的空間想象

能力'邏輯推理能力.運算求解能力，以及綜合應用知鞏分析問題解決

問題的能力.試題第（I）問難度不大，考生具備一定的空間想象能力和

邏輯推理能力即可得證.證明的關鍵是發現△48〃是自用三角形試題

第（2）問設計為求宜線與平面所成角的正弦值該問題的求解方法基礎

且多樣，既可以通過向量法求解，也可以通過綜合法求解，為不同思維

水平的考生提供了充分展示的空間?

解題思路（1）根據已知條件可得BO,PR注意到四邊形48co是

等腰梯形，容易得到乙加§=6。°?利用余弦定理和勾股定理，發現

△4BD是直角三角形，從而得到由此可得平面以。，于

是BOJ.PA.

（2）思路］用向量法求解.由題設及第（1）問得直線04，OP

兩兩垂直，因此自然以。為坐標原點，以方的方向為“軸正方向，建

立空間直角坐標系O.xyz,于是OP=（0,0,4）,運用向量法求P。與

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一個法向量即可?

思路2用綜合法求解.求PD與平面PAB所成角的正弦值，關鍵是

求出。到平面PAB的距離.由題設及第（1）問可得三棱錐P-ABD的體

積為;，利用等體積法，問題轉化為求△PAB的面積?

10

思路3用綜合法求解.求P0與平面P48所成的角的正弦值，只需

找出過。點且與平面P4B垂直的直線即可?作垂足為E,連

接PE,作。尸JME,垂足為凡得到。F_L平面尸48,則乙ZJP尸即為P0

與平面P4B所成的角.

試題亮點試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過四棱錐的

各頂點設計空間兩條直線之間位置關系的證明問題和直線與平面所成角

的計算問題.試題簡潔清晰，解題思路多樣，給不同基礎的考生提供了

廣闊的想象空間和分析問題解決問題的多維度平臺.試題在全面考查立

體幾何基礎知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉化思想方法的理解

與掌握?試題準確把握教材要求，將向量運算以及直線與平面所成角的

構建等知識進行了很好的融合，使考生的空間想象能力、邏輯推理能力

得到了有效考查.試題重基礎、重能力，符合廣大考生的學習實際.

【參考答案】

(1)由題設得乙。4^二60。-在△48。中?由余弦定理得=又

因為48=2,AD=\,從而AB?"。'"。：.故8DL4D.

因為尸〃1底面48C。，所以80_LP。，故80J.

平面因為P4U平面尸4。，所以8OJLP.4.

(2)解法1由題設及第(1)問得04.DB,DP

兩兩垂直.以。為坐標原點,畝的方向為x軸正

方向，建立如圖所示的空間在角坐標系。-XR,則

1)(0,0,0),4(1,0,0).B(0,73.0).

P(0.0,百。P4=(1,0,-⑸,河=(0,73,

TT

設平面PA8的法向量”=(x.>,z),則

r??M=o,k-y5z=o,

一即可取

n-PB=O,［歷_后=0,

n=(V3,I.I).

—??DPv5

因為cos〈n,DP>=-n-C.=v>所以

Ini?IDPI5

PD與平面PAB所成角的正弦值為T.

解法2由題設及第（1）問得三棱錐P-480的體積為V=yxlxlx

又AB=2,PA=y/DA2+DP1=2,PB=jDB、D產=R、所以

…AB2+PA2-PB21715

cosLPAB=---；—?—=—,sinLPAB=——

2X/IBXP444

設點D到平面PAB的距離為d,則2小小位

,1,VT5

由得d=v

因此PI）與平面P4B所成角的正弦值為&=g

解法3如圖所示.作0E_M8,垂足為E,連接PE.因為尸01底

面4BCD,所以PCL4B.故.481平面P0￡.

作。FJ.PE,垂足為t因為4BJ.平面P￡>&OFU平面POE,所以

DF1AB.

因為A8nPE=a所以OF_L平面P48因此

乙OPF即為PD與平面PAB所成的角.

因為;x.48xOE=；xO.4xOB,所以。犬=4,

222

故PE=/DE2+DP2=—.

y2

因此PD與平面PAR所成角的正弦值為空=叵.

PE5

12

【試題出處】2022年高考數學全國乙卷文科第12題

【試題】

已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。

的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為

【試題分析】

考查目標球與四棱錐是學生比較熟悉的幾何體，試題巧妙地將兩

者結合在一起，考查球和四棱錐的基本概念、四棱錐體積的計算等基礎

知識.試題的解決，首先要求考生具有較強的空間想象能力，在此基礎

上，將四棱錐的體積表示為高的函數.解題的關鍵在于，考生能想到四

棱錐的體積最大時的棱錐一定是正四棱錐，這就對考生的化歸與轉化、

邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求.試題有效地考查考生的理性

思維、數學探索等數學學科素養，考查考生的空間想象、運算求解、邏

輯思維等方面的關鍵能力.考生在得到了正四棱錐體積的表達式后，可

利用導數得到結果.

解題思路

思路1四棱錐底面與球面所截得的小圓的圓心記為其半徑記

為，，球心。到四棱錐底面的距離記為上則

r2+h2=1.

由于四棱錐底面是圓Oi內接四邊形，因此若給定的半徑為r,則

底面為正方形時其面積最大，最大值為2/,此時四棱錐的體積為

19

§?2r2?A=y(l-h2)h.

13

由于A”)=，(”3*),當0“〈空時，r(A)>0；釁“<1時,

r(/o<o,所以當人=?時，義句取得最大值，故當該四棱錐的體積達

到最大時,其高為*即正確選項為C.

也可以利用均值不等式得到結論：

2(14)石=(1心(1牙).2問i申丁巧.3,

當且僅當好=1時，等號成立，故人=日時，M/t)取得最大值.

思路2在給定小圓a的半徑r時,當四棱錐的底面為正方形時，

其面積達到最大，最大值為2r2,此時四棱錐的體積為

〃(/!)="?2/?h=yr271-r2=y/r4-r6.

令/(「)=/-/,則/'(,)=2『(2-3/)，易得r=，時，/(r)取得最大

值，此時/i=g,故當此四棱錐的體積達到最大時，其高為小,即正確

。J

選項為C.

試題亮點試題考杳的是球和四棱錐方面的基礎知識，題目設計簡

潔，可以有效考查考生諸多方面的學科素養和關健能力，具有一定的創

新性.

(1)試題設計的情境是考生熟悉的，問題設計自然、合理，是在實

際應用中考生常遇到的問題.這一方面體現「數學之美，具有較好的關

育價值；另一方面體現r數學之用，仃效地號在r號生的數學學科發界

和關鍵能力?試題對高號在:加強數學銜接、體現德鉀體美勞全面發展等

方面進行了有益的之試.

(2)試題探究的問題是四棱錐的體枳何時達到最大求幾何體的體

14

積及討論體積的最大值是數學教學中常見的問題.但試題要求考生先要

將求四棱錐體積的最大值問題轉化為求正四棱錐體積的最大值問題，這

就要求考生能分析、提煉及轉化問題，并善于尋找合理的解題思路.上

述解題過程對考生的邏輯推理能力提出了較高要求.試題具有一定的創

新性和開放性，達到了通過增加思維強度來選拔拔尖創新人才的目的.

(3)試題的解決需要用到導數或不等式等多方面的知識，但問題解

決過程中所用知識和方法又很基礎，充分體現了基礎性、綜合性、應用

性、創新性的考查要求.試題是嚴謹的，解決方法是靈活的，既體現r

高考的選拔功能，又能夠很好地引導高中數學的教學改革，真正實現了

高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能?

【試題出處】2022年高考數學全國乙卷文科第18題

【試題】如圖,四面體中，AD1

CD,AD=CD,JLADB=乙BDC,￡為4c的

中點.

(1)證明：平面平面

(2)設.48=80=2,4"8=60。，點F在

8。上,當△AFC的面積最小時，求三棱錐尸-48C的體積?

【試題分析】

考查目標試題以考生熟悉的四面體為載體，考查空間平面與平面

的位置關系、三棱錐的體積等立體幾何的基本知識和基本思想方法.試

題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及綜

合運用所學知識分析問題解決問題的能力.

解題思路(1)證明兩個平面垂直的關鍵是證明一個平面中的一條

直線垂直于另一個平面.觀察試題所給的圖形發現，可以嘗試證明

平面BEO或證明平面4CZZ由40=e和￡為/10的中點可得。后工

.4C,從而可以嘗試證明4C_L平面月磯Z由此發現，僅需繼續證明8￡J_

AC,其等價于BC=BA.此時利用已知條件容易得到結論.

15

（2）第（2）問的解題難點在于確定動點尸的位置，使得△AFC的面

積最小?在△4/C中，只有邊4。是固定的，所以可以考慮AC邊上高的

最小值?由兩個途徑可以得到4。邊上的高為產￡一是由乙408=

Z.BDC,AD=CD,DF=DF,得△尸D4/因此￡4=/C,于是FE

UC；二是由（1）知4CJ.平面故FE14c,即尸￡為尸C的高.

當口380時，△.C的面積最小.此時產的位置確定，接下來只需在

靜態的圖形中計算△4/C的面積.要求三棱錐48c的體積，需要找

到一個底面以及相應的高，有以下兩種思路.’

思路1由（1）知4c，平面出”所以4C_LH〃，乂￡7U8O故

8O_L平面AFC,從而平面外匕故可以把求三校錐尸-48c的體積

轉化為求A/IFC的面積和8工

由題設及（1）得4C=BC=45=2,0￡=]C=1,DE2+BE2=DB2?所

以DELBE,從而可得Er=日?又BF=JBE2-EF2=,,故三棱錐尸一

ABC的體積

1173373

%雨=%〃c=1X彳x2x彳、彳=了.

思路2由題設及（1）得4m，DE=^AC=\,DE2+BE2=

DB2,所以。E_LBE,從而發現。平面48c于是，平面°E8_L平面

ABC.過點/作BE的垂線，垂足為K,則必是三棱錐產-48。的再

故可以把求三棱錐F-ABC的體積轉化為求△/4〃C的面積和高犬K.由

EF=~,BF=jB匹評=三、可得內=/i乙以M=?.故三棱錐?

ABC的體積

j：="x；x2xyjx.=g.

16

試題亮點空間點、直線、平面之間的位置關系，直線與平面所成

的角、平面與平面所成的二面角等內容是立體幾何的重要內容，也是高

中數學的必備知識.試題以四面體為載體，利用棱的中點構造新的平面，

這些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常發揮?試題

的第（1）問“平易近人”，沒有設置過多的思維障礙，基本功較好的考生

都能輕松解答.試題的第（2）問設計精巧又不落俗套，通過設置動點孔

讓圖形產生變化.條件“△4尸C的面積最小”設置新穎，讓考生感覺既

熟悉又陌生，該問和理科卷要求不同，體現了文理科的差異性?解題時

考生可通過建立空間直角坐標系，運用空間向量的基本方法求得0尸與

平面48。所成角的正弦值.合理建立空間直角坐標系，以及正確運用空

間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的基本要求?第（2）

問還給思維能力強的學生預留了快捷的解題通道，即完全可以不建立空

間直角坐標系，通過直接作垂線輕松解決.試題讓不同水平的考生都能

在學有所得的同時，通過不同解法對其思維層次進行有效的區分.

試題貼近廣大考生的學習實際，給不同基礎的考生提供了想象的空間

和多維度的解題思路，同時考查了考生分析問題和解決問題的能力.試題

在全面考查考生立體幾何基礎知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉化

思想方法的理解與掌握，考查了思維的創新性.試題準確把握課程標準，

把直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學學科素養較好地融入試題的

第（1）問和第（2）問中?試題具有較好的選拔功能，突出對考生綜合、靈活

運用知識來解決問題的能力的考查，對中學數學教學有積極的引導作用.

17

【參考答案】

(1)由題設知，LADR=/_BDC,AD=CD,BD=BD,故

△BDC,因此B4=8C.于是BE14C.

又由題設知OEJMC,故4C_L平面BE。，所以平面BEO_L平面4CO.

（2）解法1由題設及（1）得4c=BC=48=

2,DE=^-AC=1,DE2+BE2=DB1,所以。￡

工BE.

連結E/.由（1）得4C_LEF,故△4W：的

面積為:x4CxEF.當△4/C的面積最小時，EF1BD,此時E尸=孚?

_______3

由（1）得4C_LBO,所以破_L平面4CE又BF=jBE2-EF=彳,故

三棱錐F-48c的體積

,,?1173373

VlBC=^-HC=jXjX2XyXy=y

所以當的面積最小時，三棱錐F-ABC的體積匕".

解法2由題設及(1)得4C=BC=48=2,D￡=y4C=l,DE、BE?=

4

DB2,所以DEJ.BE.從而OEJ.平面718c.于是平面_L平面48c.

過點尸作BE的垂線，垂足為K,則心是三棱錐/-48C的高線.

由￡5=當，BF=\/Bl-EF=(,可得/K=gsin乙=3.故三棱

2224

^F-ABC的體積

匕=yxlx2x/3C=與.

3244

18

【試題出處】2022年高考數學全國乙卷理科第18題

【試題】

如圖，四面體.48C。中,AD1CD,AD=CD,D

乙ADBMBDC,￡為AC的中點.

(1)證明：平面8E0_L平面4C0；

(2)設,4B=8。=2,Z.ACB=60°,點/在BD

上，當△,"(?的面積最小時,求C/與平面48。所成的角的正弦值.

【試題分析】

考查目標試題以考生熟悉的四面體為載體，考查與空間直線與平

面、平面與平面的位置關系有關的基礎知識和基本方法?試題重點考查

考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，以及綜合運用所

學知識分析問題解決問題的能力.

解題思路

(1)證明兩個平面垂直的關鍵是證明一個平面中的一條直線垂直于

另一個平面.觀察試題所給圖形發現，可以嘗試證明AC，平面或

證明8EJ.平面4CD由4。=。。和￡為4C的中點，可得〃￡"L4C,，從而

可以嘗試證明4C_L平面8磯).由此發現僅需繼續證明B￡_L4C,其等價

于BC=BA.此時利用已知條件可以得到結論.

(2)解答第(2)問的難點在于確定動點尸的位置，使得△4"?的面

積最小?A4FC中只有邊4c是固定的，所以可以考慮邊4C上高的最小

值?有兩個途徑可以得到邊4C上的高為產￡.一是由乙

4O=CD,DF=DF,得/因此￡4=/C.于是有FE,4c.

二是由(1)知4CJ.平面BED,故FE1AC,即股:為△?!”的高，從而當

￡產,80時，的面積最小.此時尸的位置確定，接下來只需在靜

態的圖形中進行計算?要求C/與平面48。所成的角的正弦值，有以下

兩種思路.

19

?II

思路1采用建立空間直角坐標系的方

法,求向量）與平面48。的法向量的夾角.

而建立空間直角坐標系的關鍵是找到垂直關

系，由（1）知，4。_1平面8￡”,所以可以聯

想0E和8E是否垂直，利用題設中給出的條

件，很容易得到。￡_LB￡于是以￡為原點,

成的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系￡-町Z,則

4(1,0,0),B(0,0),C(-i,0,0),D(0,0,1),

《0,y,|j.麗=(0,S,1),D4=(l,0,-1),叫i,冬斗

可取“=(3,G,3)為平面480的一個法向量，從而計算得尸與平面

48。所成的角的正弦值為竽.

思路2不建立空間直角坐標系，找到一個過點C且和平面.BO垂

直的平面，從而過點C作該平面和平面48。交線的垂線，可得。尸與平

面A8O所成的角.由（1）知4C_L平面所以AC18O,又EF二D

故8O_L平面AFC,從而平面平面4FC.過點C作4/的垂線垂

足為K,則乙CFK是C尸與平面48。所成的角.''事

在ZUFC中，昨“當42,從而很容易計算得“與平面

ABD所成的角的正弦值為〒?

20

試題亮點直線與平面、平面與平面的位置關系，直線與平面所成

的角，平面與平面所成的二面角等都是立體幾何的重要學習內容.試題

以四面體為載體,利用中點構造新的平面，這些都是考生熟悉的情境，

有利于考生發揮自己的水平?

試題第（1）問沒有設置過多的思維障礙，基本功較好的考生都能輕

松解答.試題第（2）問的設計精巧又不落俗套，通過設置動點凡讓圖形

產生變化.其中，條件的面積最小”設置新穎，讓考生產生既

熟悉又陌生的感覺.該問可通過建立空間直角坐標系，運用空間向址的

方法求得CF與平面ABD所成的角的正弦值?合理建立空間直角坐標系，

以及正確運用空間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的

基本要求.第（2）問還為思維能力強的考生預留了快捷的解題通道?考

生完全可以不建立空間直角坐標系，直接通過作垂線即可輕松求解。試

題在讓不同水平的考生都能學有所得的同時，通過建立空間直角坐標和

不建立空間直角坐標系的解法對考生的思維層次進行了有效的區分?

試題貼近廣大考生的學習實際，和中學教學有很好的銜接，給不同

基礎的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺?試題在全面考查立

體幾何基礎知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉化思想的掌握，考

查了考生思維的創新性，以及綜合、靈活運用知識來解決問題能力?試

題具有較好的選拔功能，對中學數學教學有積極的引導作用和很好的指

導意義.

【參考答案】

（1）由題設知AADB=乙BDC,AD=CD,BD=BD,故"DA/

△8CC,因此84=8C.于是8EUC.

又由題設知"￡_L4C,故4C_L平面8EO,所以平面BED平面ACO.

（2）解法1由題設及（1）得4c=BC=48=2,OE=（lC=1,o爐+

BE2=DB2,所以DEBE.

以￡為坐標原點，瓦（的方向為工軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系E-甘則4（1,0,0）,8（0,73,0）,c（-l,0,0）,

0（0,0,1）,80=（0,-y/3,1）,2/4=（1,o,_］）,

連結EE由（1）得R_L釬，故△*（；的面積為^^門芯式.當的

面積出時,EFLBD,則防喙｛0,%方,叫］@3\

21

4/

取〃=（3,4,3）.

一、n-CF473

所以cos",CF〉=-------=^--

Ini?\CF\7

46

因此CF與平面ABD所成的角的正弦值為手?

解法2由題設及（1）得4c=8C=48=2,DE=

-AC=\,DE2+BE2=DB2,所以DE1.BE.

連結ER由（1）得故的面積

Ityj

為LXACXEF.當的面積最小時，EFLBD,此時敏=彳?

2z

由（1）知4C_L8D,又EFLBD,故80J.平面4FC,從而平面48〃J.

平面4FC過點。作4尸的垂線，垂足為K,則乙CUK是C尸與平面480

所成的角.

在△?1尸C'中，FA=FC=^~,AC=2,可得sin4所以CF

4a

與平面48。所成的角的正弦值為一?

【試題出處】2022年高考數學全國［卷第&題

【試題】

已知正四棱錐的側棱氏為/,其各頂點都在同一球面

匕若該球的體

積為36%旦3Bw3Q,則該正四棱錐體枳的取值范|同是

A.B.

此7D.[18,27]

22

【試題分析】

考查目標試題以考生熟悉的四棱錐和球為背景，固定球的體積，

讓球的內接正四棱錐的側棱長在一定范圍內變動，要求計算該正四棱錐

體積的取值范圍.試題考查四棱錐的基礎知識，考查考生的空間想象、

邏輯推理、運算求解等關鍵能力，考查考生理性思維、數學探索等數學

學科素養，符合基礎性、綜合性、創新性的考查要求?

解題思路設正四棱錐P-ABCD的頂點在球°的球面上?由題意

可得球。的半徑為3,頂點P在底面48co上的投影是該正方形的中心，

設為E.在P,4,。所在的大圓中，有PA2=PE.2PO=6PE,故P￡=

g從而

6

——，36-廣

AE=y/PA2-PE2r=七一.p

因此,48=襄AE=,四棱錐的彳左

3顯院衛二

體積^/T

1,「(36--)、一'

一=”1*W￡=\I.

令/(x)=/(36r),xe[9,27],則了=%,f'(x)=3x(24-x).

當9<x<24時，/'(工)>0,/(工)單調遞增；當24<工<27時，/,(x)<0.

/(x)單調遞減.故/(x)a=/(24)=24?xl2,/(x)^.=min|/(9),

,y(*)m?i64/(x)SM27gj-pi

2

/(27)|=/(9)=9X27.TJiV1M1=-^-=y,乙-=了?所以

四棱錐P-48CO體積的取值范圍是信y|.故正確選項為C.

試題亮點棱錐和球是中學課程的必修內容?試題的正確運算必須

基于空間想象，同時還必須依靠嚴密的邏輯推理，才能發現空間幾何體

中