齊齊哈爾市部分地區高三上學期期末考試數學試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知集合，，則集合中元素的個數為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】利用交集的性質得出，從而得到集合元素個數．【詳解】即集合中共有3個元素．故選C．【點睛】解決本題的關鍵是找出集合A與集合B共有的元素，即可得到中的元素．2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通過復數除法將，化簡為，再利用復數相等求解.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查復數的基本運算和復數相等，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3.有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數為（）A.35 B.75 C.155 D.315【答案】C【解析】【分析】構造等比數列模型，利用等比數列的前項和公式計算可得結果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數為.故選：C.【點睛】本題考查了等比數列模型，考查了等比數列的前項和公式，屬于基礎題.4.平面向量，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用垂直關系的向量表示求出，再利用夾角公式求解作答.【詳解】向量，則，即，因此，而，則，所以與的夾角是.故選：C5.現有10名學生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（）種.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，分3步進行分析：①，將4名男生分成1、3的兩組，②，將6名女生全排列，排好后有7個空位，③，將分好的2組安排到7個空位中，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分3步進行分析：①，將4名男生分成1、3的兩組，有種分組方法，其中三人組三人之間的順序有種，②，將6名女生全排列，有種情況，排好后有7個空位，③，將分好的2組安排到7個空位中，有種情況，則不同的排法有種，故選：D．6.已知函數的圖象的相鄰兩個零點的距離為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據函數圖象相鄰兩個零點的距離為，求出周期，算出的值，再根據求出的值，即可得到答案.【詳解】因為函數的圖象的相鄰兩個零點的距離為，所以，所以，所以，又因為，所以，解得，因為，所以，所以.故選：B.7.已知點在同一個球面上，，若四面體體積的最大值為10，則這個球的表面積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，從而可得球心在過中點與面垂直的直線上，根據球的幾何性質可得，當過球心時體積最大，由四面體體積的最大值為10，求出，再利用勾股定理求出球的半徑，從而可求出球的表面積【詳解】解：由，可得，所以，則球心在過中點與面垂直的直線上，因為面積為定值，所以四面體的高最大時體積最大，根據球的幾何性質可得，當過球心時體積最大，因為四面體的最大體積為10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面積為，故選：B．【點睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②可以轉化為長方體的外接球；③特殊幾何體可以直接找出球心和半徑；④設球心（在過底面多邊形外接圓圓心與底面垂直的直線上），利用待定系數法求半徑.8.已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，進而可得在上恒成立，構造函數，利用導數研究函數的單調性以及最值，即可求出參數的取值范圍.【詳解】等價于．令函數，則，故是增函數．等價于，即．令函數，則．當時，，單調遞增：當時，，單調遞減．.故實數a的取值范圍為．故選：C.二、多選題（每題5分，共20分，漏選得2分，錯選不得分）9.將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象，則（）A.函數是偶函數B.x＝－是函數的一個零點C.函數在區間上單調遞增D.函數的圖象關于直線對稱【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根據正弦函數的性質逐一判斷即可.【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），可得，對于A選項，令，則，，故函數不是偶函數，A不正確；對于B選項，因為，故是函數的一個零點，B正確；對于C選項，當時，，所以函數在區間上單調遞增，C正確；對于D選項，因為對稱軸滿足，解得，則時，，所以函數的圖象關于直線對稱，D正確.故選：BCD.10.若甲組樣本數據，，…，（數據各不相同）的平均數為2，方差為4，乙組樣本數據，，…，的平均數為4，則下列說法正確的是（）A.a的值為-2 B.乙組樣本數據的方差為36C.兩組樣本數據的樣本中位數一定相同 D.兩組樣本數據的樣本極差不同【答案】ABD【解析】【分析】結合平均數、方差、中位數、極差的概念以及平均數的和差倍分性質，及一組數據同時乘一個數，同時加一個數對方差的影響，逐項分析即可求出結果.【詳解】由題意可知：，故，故A正確；乙組樣本數據方差為，故B正確；設甲組樣本數據的中位數為，則乙組樣本數據的中位數為，所以兩組樣本數據的樣本中位數不一定相同，故C錯誤；甲組數據極差為，則甲組數據的極差為，所以兩組樣本數據的樣本極差不同，故D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F，且，則下列結論中正確的有（）A.當E點運動時，總成立B.當E向運動時，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】證明平面即可判斷A；二面角即是二面角，即可判斷B；建立坐標系利用向量法即可判斷C；求出三棱錐的體積可判斷D，進而可得正確答案.【詳解】對于A：因為，，，所以面，因為面，所以，同理可證，因為，所以平面，因為平面，所以總成立，故選項A正確；對于B：平面即平面，而平面即平面，所以當向運動時，二面角大小不變，選項B不正確；對于C：建立如圖所示的空間幾何體，則，，因為在上，且，故可設，，設平面法向量為，又，所以，取，則，平面的法向量為，所以，設二面角的平面角為，則為銳角，故，當，故，所以，當且僅當時取最大值即取最小值，故C正確；對于D：因為，點到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故選項D正確．故選：ACD.12.下列說法正確的有（）A.若，則最大值是B.若，，都是正數，且，則的最小值是3C.若，，，則的最小值是2D.若實數，滿足，則的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】對于A，湊分母，結合基本不等式，可得答案；對于B，根據基本不等式，結合“1”的妙用，可得答案；對于C，根據基本不等式的變式，整理出關于所求整式的二次不等式，可得答案；對于D，采用換元法，設，，可將原式化簡為，結合基本不等式，可得答案．【詳解】對于A，因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，故A正確；對于B，因為x，y，z都是正數，且，所以，，，所以，當且僅當，即，即時等號成立，所以的最小值為3，故B正確；對于C，因為，，所，即（當且僅當時等號成立），因為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，當且僅當時等號成立，所以的最小值為4，故C錯誤；對于D，，設，，∵，當且僅當，即時，取等號∴則的最大值為，故D正確．故選：ABD.三、填空題（每題5分，共20分）13.在某項測量中，測得變量．ξ在內取值的概率為，則ξ在內取值的概率為______．【答案】0.4##【解析】【分析】根據題意和正態分布曲線的性質可知曲線的對稱軸是，即可求解.【詳解】因為ξ符合正態分布，所以曲線的對稱軸是，因為ξ在內取值的概率為0.8，所以ξ在內取值的概率為0.4．故答案為：0.4.14.函數f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線2x+y﹣3＝0垂直，則a＝_____．【答案】【解析】【分析】函數求導，利用切點處導數值求出a的值．【詳解】解：由題意得：．又∵切線與直線垂直，故切線斜率．∴，∴．故答案為：．【點睛】函數在點處的導數的幾何意義是在曲線上點處的切線的斜率．相應地，切線方程為．特別地，如果曲線在點處的切線垂直于軸，則此時導數不存在，由切線定義可知，切線方程為.15.過直線：上任意點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當切線長最小時，△PAB的面積為_______．【答案】【解析】【分析】依據題意作出圖形，如圖，由于,所以當取最小值時，最小，此時與直線垂直，利用點到直線的距離公式可求出的長，從而可得的值，由圓的對稱性和切線長定理可知，，從而可求出△PAB的面積【詳解】依據題意作出圖形，如下圖：因為直線過點且與圓相切于點A，所以，所以，要使得最小，則要最小，由題可得：的最小值就是點到直線的距離．此時，，所以由切線的對稱性可得：所以△PAB的面積為，故答案：【點睛】本題主要考查了圓的切線長公式及圓的有關性質，考查轉化能力及計算能力，還考查了點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于中檔題．16.拋物線上一點到拋物線準線的距離為，點關于軸的對稱點為，為坐標原點，的內切圓與切于點，點為內切圓上任意一點，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【詳解】因為點在拋物線上，所以，點A到準線的距離為，解得或．當時，，故舍去，所以拋物線方程為∴，所以是正三角形，邊長為，其內切圓方程為，如圖所示，∴．設點（為參數），則，∴．【點睛】本題主要考查拋物線性質的運用，參數方程的運用，三角函數的兩角和公式合一變形求最值，屬于難題，對于這類題目，首先利用已知條件得到拋物線的方程，進而可得到為等邊三角形和內切圓的方程，進而得到點的坐標，可利用內切圓的方程設出點含參數的坐標，進而得到，從而得到其取值范圍，因此正確求出內切圓的方程是解題的關鍵.四、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.等差數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）記，數列的前項和為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數列基本量求出通項公式；（2）利用等差數列前項和公式求出，代入已知求出，對裂項,通過裂項相消求和可解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）可求得，所以，則，所以.【點睛】本題考查等差數列通項公式及用裂項法求和.（1）等差數列基本量計算問題的思路：與等差數列有關的基本運算問題，主要圍繞著通項公式和前項和公式，在兩個公式中共涉及五個量：，已知其中三個量，選用恰當的公式，利用方程(組)可求出剩余的兩個量．用裂項法求和的裂項原則及規律:(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發現被消去項的規律為止．(2)消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．18.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求B；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據輔助角公式及三角函數即可得解；（2）由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，∵，所以，所以，∴；【小問2詳解】解：依題意，∴ac＝4，所以，當且僅當時取等號，又由余弦定理得，∴，當且僅當a＝c＝2時取等號，所以的周長最小值為．19.某機構為研究某種圖書每冊的成本費（單位：元）與印刷數量（單位：千冊）的關系，收集了一些數據并進行了處理，得到了下面的散點圖及一些統計量的值．15.253630.2692085.5－230.30.7877.049表中（1）根據散點圖判斷：與哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費（單位：元）與印刷數量（單位：千冊）的回歸方程（只要求給出判斷，不必說明理由）．(2)根據（1）的判斷結果及表中數據，建立關于的回歸方程．（回歸系數的結果精確到0.01）(3)若該圖書每冊的定價為10元，則至少應該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78840元？（假設能夠全部售出，結果精確到1）附：對于一組數據（…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．【答案】（1）見解析；（2）．（3）10千冊．【解析】【詳解】（1）由散點圖判斷，適宜作為每冊成本費與印刷冊數的回歸方程．（2）令，先建立關于的線性回歸方程，∵，∴，∴關于的線性回歸方程為，從而關于的回歸方程為．（3）假設印刷千冊，依題意，，即，∴，∴至少印刷10千冊．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是4長為的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，M為PA的中點，PA＝PD＝．（1）求證：PC∥平面BMD；（2）求二面角M－BD－P的大小．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】連接AC交BD于N，連接由三角形中位線知MN∥PC即得證；取AD的中點O，連接OP，說明OP、OD、ON兩兩相互垂直，則分別以OD、ON、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系利用向量法即可求出二面角的大小.【小問1詳解】連接AC交BD于N，連接在正方形ABCD中，，∴N是AC的中點.又M是AP的中點，∴MN是的中位線，，∵面BMD，面BMD，∴∥平面BMD，【小問2詳解】取AD的中點O，連接OP，在中，，O是AD的中點，∴，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面在正方形ABCD中，O，N分別是AD、BD的中點，∴，∴OP，OD，ON兩兩相互垂直，分別以OD，ON，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，∴，，設平面MBD的一個法向量，則，即取，得，∴是平面MBD的一個法向量：同理，是平面PBD的一個法向量，∴，設二面角的大小為，由圖可知，，，且為銳角，∴，故二面角的大小是21.如圖，已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到準線的最小距離為1．（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于C，D兩點，M，N分別為弦AB，CD的中點，求|MF|·|NF|的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程