函數在給定取值范圍內“恒成立”及“存在性”問題的解決方法課前導入：如對于恒成立，其實是求的最小值；若存在，使得成立，應求的最大值。新課內容：設a為實常數，是定義在R上的奇函數，當時，，若對一切成立，求a的取值范圍。解：由于，故；當時，，（并且僅當時取等號）因此應恒成立，但,例2、設（1）如果存在使得成立，求滿足上述條件的最大整數M；（2）如果對于任意的，都有成立，求實數a的取值范圍。解：（1）存在使得成立，等價于由于，在區間上，，，則滿足條件的最大整數。（3）對于任意的，都有成立，等價于在上，函數由于在上，。，即恒成立。而在[,2]上，例3、已知是定義在上的奇函數，且，若，時，有成立。（1）判斷在上的單調性，并證明；（2）解不等式：；（3）若對所有的恒成立，求實數m的取值范圍。解：（1）任取，且，則。為奇函數由已知得，又，，即在上單調遞增。（2）在上單調遞增，（3），在上單調遞增，在上，問題轉化為，即對恒成立。設，則,綜上所述，實數m的取值范圍是例4、若函數在區間上恒為正數，求實數a的取值范圍。解：由題意，問題等價于①或②解法一（討論法）令，其對稱軸當時，，在上單調遞增。得。當時，，則解得當，即時，在上單調遞增，，得，故。當，即時，，得，矛盾，舍去。（3）當，即時，在上單調遞減，，得，矛盾，舍去。因此，使不等式組②成立的a的取值范圍為。綜上，a的取值范圍為解法二由解法一，當時，對恒成立，故解得。此時，，則在上單調遞增，，即。綜合方法一，可得a的取值范圍為解法三（等價轉化法）當時，不等式組②可化為，即在上恒成立。令，即當時，對上恒成立，即，如圖：（以下數形結合）結合解法一，實數a的取值范圍為解法四（分離變量法）當時不等式組②等價于<<對恒成立，即[]max<<[]min，.綜合，實數a的取值范圍為解法五（數形結合法）當時，，當時，，即，當時，，即.綜上，實數a的取值范圍為例5、設，若時均有，求a的取值。解法一由等價關系，可以把已知不等式化為以下兩種情況：,（2）對（1），有易知，函數在上為增函數，在區間右端點取到最大值，而函數在上是減函數，.對（2），有這時，對，有，即即當，（1）在上恒成立，而（2）在恒成立，即原不等式在恒成立。因此，所求解法二將已知看成關于a的不等式，對有比較與的大小，當時，有；當時，有當時，恒成立,即當時，恒成立,即綜上，當時，原不等式對恒成立，所以即為所求。解法三（1）當時，原不等式為，不對恒成立.不是解。當時，即，原不等式化為.但當時，恒有，，故原不等式為，在上，不恒成立，無解。當時，由已知有但當時，恒有，故上式有當且僅當時，上式對恒成立，即為方程的解，有綜上，所求解法四當時，有，取，得，無解；以下同解法三解法五由解法三、四知時無解；當時，方程有兩個異號的實根，不妨設是它的兩根，且，原不等式化為對恒成立。即對恒成立。也是方程的根，.解法六作出函數與的圖象如圖：可知：兩函數圖象過定點。在的右半平面上，繞定點旋轉直線，應當兩函數圖象或者同時在X軸下方，或者同時在X軸上方，滿足條件的情況只有兩圖象的另一交點在X軸的正半軸上，所以即為所求。解法七對，已知條件可以變化為關于a的不等式，即直線介于兩函數與的圖象之間，如圖故直線過兩圖象與的交點解法八取，有當時，，有即為所求。小結函數在給定取值范圍內“恒成立”及“存在性”的問題，如能分離成型，就可轉化為最值問題來求解；或者采用命題轉換的方式解決問題，而用數形結合更為直觀；而例5給出的是多個區間上恒成立的問題就應分段求解，綜合分析。課內練習，若對任意實數都有，求實數a的取值范圍。時，不等式恒成立，求a的取值范圍。無解，求實數a的取值范圍。課