2.4一元二次方程的根與系數的關系1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發現什么結論？1111211013/213/20-5/2-5/2-525/4填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積a與b之間關系a與c之間關系猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發現什么結論？1111211013/213/20-5/2-5/2-525/4121113/20-525/4已知：如果一元二次方程的兩個根分別是、。求證：推導:如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程一元二次方程根與系數的關系，也叫韋達定理。韋達（1540－1603）法國數學家十六世紀最有影響的數學家之一，被尊稱為“代數學之父”。他是第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進的數學家。

一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韋達定理）提示：能用韋達定理的條件為b2-4ac≥02x2-4x+10=0X1+x2=？

X1x2=？韋達定理有用嗎（一用）：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2

-2×(-3)＝6韋達定理有用嗎（2）設X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則

X1+X2=

___

X1X2=____，

X12+X22=

；

(X1-X2)2

=

；

基礎練習例2

已知一個一元二次方程的二次項系數是3，它的兩個根分別是1/3，1.寫出這個方程。韋達定理有用嗎（3）典型題講解：例3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由韋達定理，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。韋達定理有用嗎（4）典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解二：設方程的另一個根為x1.由韋達定理，得x1＋2=k+1x1

●2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。例4方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數？方程的兩根互為倒數？方程的一根為零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵兩根互為相反數∴兩根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1時,方程的兩根互為相反數.②∵兩根互為倒數

m2

6m

5,∴兩根之積2m

1

1m

1且

0,∴m

1時,方程的兩根互為倒數.③∵方程一根為0,∴兩根之積2m

1

0

且

0,∴時,方程有一根為零.引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若兩根互為相反數,則b

0;（2）若兩根互為倒數,則a

c;（3）若一根為0,則c

0;（4）若一根為1,則a

b

c

0;（5）若一根為

1,則a

b

c

0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數根.今天我學會了......1、韋達定理及證明2、利用韋達定理解決有關一元二次方程根與系數問題時，注意隱含條件：根的判別式b2-4ac≥0

2.應用一元二次方程的根與系數關系時，首先要把已知方程化成一般形式.

3.應用一元二次方程的根與系數關系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數里，當且僅當時，才能應用根與系數的關系.

1.一元二次方程根與系數的關系是什么?總結歸納補充規律：兩根均為負的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根一正一負的條件：X1+X2

且X1X2

。

當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0

練習：已知長方形相鄰兩邊長是一元二次方程x2-12x+9＝0

的兩個根,

求這個長方形的周長和面積.

試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設方程的另一個根為x1,則x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由韋達定理，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=拓廣探索1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韋達定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數根，得即-8k+4≥0由韋達定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經檢驗，k2=4不合題意，舍去?！鄈=0如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推論你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根，分別根據下列條件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2(2)x1=

3,x2=-6(3