知識點1矩形的性質與判定1.矩形：有一個角是直角的_____________叫作矩形.2.矩形的性質：（1）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質.（2）矩形的四個內角相等且都是________.（3）矩形的兩條對角線__________.（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有___條對稱軸.平行四邊形直角相等2第一頁第二頁，共63頁。3.矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線__________的平行四邊形是矩形.（3）有__________是直角的四邊形是矩形.相等三個角第二頁第三頁，共63頁。知識點2菱形的性質與判定1.菱形：有一組鄰邊_________的平行四邊形叫作菱形.2.菱形的性質：（1）菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質.（2）菱形的四條邊都_______.相等相等第三頁第四頁，共63頁。（3）菱形的對角線互相________________，每條對角線平分一組對角.（4）菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有____條對稱軸.垂直且平分2第四頁第五頁，共63頁。3.菱形的判定：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)四條邊都___________的四邊形是菱形.(3)對角線相互__________的四邊形是菱形.4.菱形面積的計算：(1)可以作為平行四邊形來計算面積：S=________.(2)利用菱形的對角線的長度計算：S=兩條對角線乘積的_______________.相等垂直且平分底×高一半第五頁第六頁，共63頁。知識點3正方形的性質與判定1.正方形的性質：（1）正方形具有矩形和菱形的所有性質；正方形的四個角都是________，四條邊都_______；正方形的兩條對角線相等且_________，每條對角線平分一組對角.（2）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有__條對稱軸.直角相等垂直平分4第六頁第七頁，共63頁。2.正方形的判定：（1）有一個角是________的菱形是正方形.（2）有一組鄰邊________的矩形是正方形.（3）有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.（4）對角線相等且相互___________的四邊形是正方形.直角相等垂直第七頁第八頁，共63頁。3.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，正方形又是特殊的菱形，還是特殊的矩形，他們之間的關系如圖：第八頁第九頁，共63頁?！久麕熤更c】本考點主要考查矩形的判定及性質的運用.解答這類問題時，既要注意運用矩形的特殊性質，也要注意運用矩形作為一般平行四邊形所具有的性質.考點1矩形的性質與判定第九頁第十頁，共63頁。第十頁第十一頁，共63頁?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形，得出AB=CD，∠B=∠C，再由BF=CE，得出BE=CF,從而證明△ABE≌△DCF，即可證明AE=DF.【解答】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°.又∵BF=CE，∴BF+FE=CE+EF.即BE=CF.∴△ABE≌△DCF,∴AE=DF.第十一頁第十二頁，共63頁。（2014·貴州安順）如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點E.(1)求證：四邊形ADCE為矩形；(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.第十二頁第十三頁，共63頁?！痉治觥?1)四邊形ADCE中已知有兩個直角,要判定其是矩形,只需再證明有一個角是直角即可,通過觀察可知,判斷∠DAE是直角比較方便.(2)此題是條件結論都開放型問題,答案不唯一.一般地,使矩形變為正方形可以添加鄰邊相等或是對角線垂直,可以通過添加△ABC的條件間接獲得證明.第十三頁第十四頁，共63頁?！窘獯稹?1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,∴∠MAE=∠CAE，又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形.第十四頁第十五頁，共63頁。(2)例如,當∠BAC=90°時,四邊形ADCE是正方形.∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.由(1)知四邊形ADCE為矩形,∴矩形ADCE是正方形.第十五頁第十六頁，共63頁。

1.(2015·高新一模)如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD，AC于點E，O，連接CE，則CE的長是()A.2.5B.2.8C.3D.3.5第十六頁第十七頁，共63頁。2.(2015·天橋二模)如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF.其中結論正確的是_________(填序號).①②③④第十七頁第十八頁，共63頁。3.(2014·濟南)如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是邊AD的中點，求證：EB=EC.第十八頁第十九頁，共63頁。解：在△ABE和△DCE中，AB=DC,AE=DE,∠EAB=∠EDC,∴△ABE≌△DCE,∴EB=EC.第十九頁第二十頁，共63頁。4.（2015·聊城）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC.四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE.求證：四邊形BECD是矩形.第二十頁第二十一頁，共63頁。證明：∵四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD,BE=AD.∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴AD=CD,∴四邊形BECD是平行四邊形.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形.第二十一頁第二十二頁，共63頁。又∵BD平分∠ABC，∴BD⊥AC.即∠BDC=90°.∴四邊形BECD是矩形.第二十二頁第二十三頁，共63頁?！久麕熤更c】本考點主要考查菱形的判定及性質的運用.菱形具有四條邊都相等，對角線相互垂直平分，且每條對角線都平分一組對角的特殊性質，又有一般平行四邊形的性質.在解答有關菱形的問題時，要靈活運用這些性質.考點2菱形的性質與判定第二十三頁第二十四頁，共63頁。(2015·濟南)如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分別交BC，BD于點E，F，CE=2，連接CF，以下結論：①△ABF≌△CBF；②點E到AB的距離是④△ABF的面積為其中一定成立的是______________.(把所有正確結論的序號都填在橫線上)第二十四頁第二十五頁，共63頁。【分析】利用SAS證明△ABF≌△CBF，從而①正確；根據含30°角的直角三角形的性質得出點E到AB的距離是從而②正確；進而得出△ABF的面積及tan∠DCF的值，從而判斷③④的正誤.第二十五頁第二十六頁，共63頁。【解答】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6.∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°.在△ABF和△CBF中，AB=BC，∠ABF=∠FBC，BF=BF，∴△ABF≌△CBF.故①正確.第二十六頁第二十七頁，共63頁。過點E作EG⊥AB，過點F作MH⊥CD，MH⊥AB，如圖：∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6-2=4.∵EG⊥AB，∴EG=即點E到AB的距離是故②正確.第二十七頁第二十八頁，共63頁。∵BE=4，EC=2，∴S△BFE∶S△FEC=4∶2=2∶1，∴S△ABF∶S△FBE=3∶2，∴△ABF的面積為故④錯誤.第二十八頁第二十九頁，共63頁。故③正確.【答案】①②③第二十九頁第三十頁，共63頁。(2015·濟寧)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角.實踐與操作：根據要求尺規作圖，并在圖中標明相應字母(保留作圖痕跡，不寫作法).第三十頁第三十一頁，共63頁。(1)作∠DAC的平分線AM；(2)作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE,CF.猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.第三十一頁第三十二頁，共63頁?！痉治觥?1)回顧用尺規作一個角的角平分線的方法作出角平分線.(2)回顧用尺規作一個線段的垂直平分線的方法作出線段AC的垂直平分線，先證明四邊形AECF為平行四邊形，再由鄰邊相等即可證明四邊形AECF為菱形.第三十二頁第三十三頁，共63頁?！窘獯稹?1)如圖：第三十三頁第三十四頁，共63頁。(2)猜想：四邊形AECF是菱形.證明：∵AB=AC，AM平分∠CAD，∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM.∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD=∠B+∠ACB，∴∠CAD=2∠ACB,∴∠CAM=∠ACB，∴AF∥CE.第三十四頁第三十五頁，共63頁。∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE=90°，∴AOF≌△COE，∴AF=CE.在四邊形AECF中，AF∥CE，AF=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形.第三十五頁第三十六頁，共63頁。第三十六頁第三十七頁，共63頁。1.(2015·歷下一模)如圖,在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是()A.AB∥DCB.OA=OCC.AC⊥BDD.AC=BD第三十七頁第三十八頁，共63頁。2.(2014·歷城一模)如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，AE⊥BC于點E，求AE的長.第三十八頁第三十九頁，共63頁。解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm,BO=BD=4cm,AO⊥BO,∴BC==5cm,∴S菱形ABCD==BC·AE，即×6×8=5·AE.解得AE=cm.答：AE的長是cm.第三十九頁第四十頁，共63頁。3.（2015·貴州遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積.第四十頁第四十一頁，共63頁。解:（1）∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵點E是AD的中點，∴DE=AE.又∵∠AEF=∠DEB,∴△AEF≌△DEB.第四十一頁第四十二頁，共63頁。（2）∵點D是BC的中點，∴BD=DC.由（1）知△AEF≌△DEB，∴AF=BD,∴AF=DC.又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形.又∵在Rt△ABC中，點D是斜邊BC的中點，∴AD=DC,∴四邊形ADCF是菱形.第四十二頁第四十三頁，共63頁。（3）∵S四邊形ADCF=2S△ADC，SRt△ABC=2S△ADC，∴S四邊ADCF=SRt△ABC=×AB×AC=×5×4=10.第四十三頁第四十四頁，共63頁?！久麕熤更c】本考點考查正方形的判定及性質運用，正方形是一類比較特殊的平行四邊形，它既具有矩形的性質，也具有菱形的性質，因此正方形的判定方法和性質比較多，在解答有關正方形的問題時，要注意根據題干中提供的條件選擇合適的方法.考點3正方形的性質與判定第四十四頁第四十五頁，共63頁。

(2015·濟南)如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB，BD于M，N兩點.若AM=2，則線段ON的長為()第四十五頁第四十六頁，共63頁?！痉治觥孔鱉H⊥AC于點H，由正方形的性質得∠MAH=45°，則△AMH為等腰直角三角形，進而再根據角平分線的性質得于是利用正方形的性質得所以然后證明△CON∽△CHM，再利用相似比可計算出ON的長.第四十六頁第四十七頁，共63頁?！窘獯稹孔鱉H⊥AC于點H，如圖，第四十七頁第四十八頁，共63頁?！咚倪呅蜛BCD為正方形，∴∠MAH=45°,∴△AMH為等腰直角三角形，∴∵CM平分∠ACB,第四十八頁第四十九頁，共63頁?！連D⊥AC，∴ON∥MH,∴△CON∽△CHM,∴∴ON=1.【答案】C第四十九頁第五十頁，共63頁。

（2015·日照）小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使平行四邊形ABCD為正方形（如圖），現有下列四種選法，你認為其中錯誤的是()A.①②B.②③C.①③D.②④第五十頁第五十一頁，共63頁?！痉治觥緼.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當②∠ABC=90°時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；B.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當③AC=BD時，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項正確；第五十一頁第五十二頁，共63頁。C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；D.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當④AC⊥BD時，矩形ABCD是正方形，故此選項錯誤.【答案】B第五十二頁第五十三頁，共63頁。1.(2015·歷城模擬)如圖，正方形ABCD的邊CD與正方形CGFE的邊在一條直線上，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于H，連接OH，FH，EG與FH交于M，對于下面四個結論：GH⊥BE；②③點H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE∽△GMF.其中正確的結論有()A.1個B.2個C.3個D.4個第五十三頁第五十四頁，共63頁。2.（2015·湖北黃岡）如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E.若∠CBF=20°，則∠AED=_____度.65第五十四頁第五十五頁，共63頁。3.(2015·市中二模)如圖，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，則正方形的邊長為_______.第五十五頁第五十六頁，共63頁。4.(2015·槐蔭二模)如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)