安徽省合肥二中2024年數學高三第一學期期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數（其中是自然對數的底數）的大致圖像為（）A． B． C． D．2．設集合（為實數集），，，則（）A． B． C． D．3．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．4．復數的共軛復數記作，已知復數對應復平面上的點，復數:滿足.則等于（）A． B． C． D．5．已知函數在區間上恰有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對7．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．8．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的值為（）A． B． C． D．9．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員?面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．43210．在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．11．已知點P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．12．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和且，設，則的值等于_______________.14．已知二項式ax-1x6的展開式中的常數項為-16015．等差數列（公差不為0），其中，，成等比數列，則這個等比數列的公比為_____.16．如圖，某市一學校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學校道路，其中，，以學校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當地政府欲投資開發區域發展經濟，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設，的面積為.（1）求關于的函數解析式；（2）當為何值時，面積為最小，政府投資最低？三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-5：不等式選講]:已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）設，，且的最小值為.若，求的最小值.18．（12分）已知函數，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，求的值．19．（12分）已知數列滿足,，數列滿足.（Ⅰ）求證數列是等比數列；（Ⅱ）求數列的前項和.20．（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是__________.21．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意得，函數點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，故選D.2、A【解析】

根據集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.3、C【解析】

根據雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用．4、A【解析】

根據復數的幾何意義得出復數，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【詳解】由于復數對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數模的計算，考查了復數的坐標表示、共軛復數以及復數的除法，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

函數的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數，利用導數得出函數的單調性和最值，由此可根據方程解的個數得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉化為，即，所以或．因為，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數解，故在區間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數的零點．考查轉化與化歸思想，函數零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數的性質，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．6、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．7、C【解析】

根據題目中的基底定義求解.【詳解】因為，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.8、D【解析】

利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式，再根據三角函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數又由函數為偶函數，所以，解得，因為，當時，，故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象變換，合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．9、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數為．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．10、B【解析】

計算出的值，推導出，再由，結合數列的周期性可求得數列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數列求和，考查了數列的新定義，推導出數列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.11、C【解析】

設，則，，，設，根據化簡得到，得到答案.【詳解】設，則，，，則，設，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.12、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】

根據題意，當時，，可得，進而得數列為等比數列，再計算可得，進而可得結論.【詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，故，又，，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數列遞推關系、函數求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.14、2【解析】

在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項，再根據常數項等于-160求得實數a的值．【詳解】∵二項式(ax-1x)令6-2r=0，求得r=3，可得常數項為-C63故答案為：2．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．15、4【解析】

根據等差數列關系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關系，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.16、（1）；（2）.【解析】

（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，，進而表示直線的方程，由直線與圓相切構建關系化簡整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數值域可求得t的取值范圍，進而對原面積的函數用含t的表達式換元，再令進行換元，并構建新的函數，由二次函數性質即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，.所以直線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以.因為點在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調遞減.所以，當，即時，取得最大值，取最小值.答：當時，面積為最小，政府投資最低.【點睛】本題考查三角函數的實際應用，應優先結合實際建立合適的數學模型，再按模型求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）當時，，原不等式可化為，分類討論即可求得不等式的解集；（2）由題意得，的最小值為，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．【詳解】（1）當時，，原不等式可化為，①當時，不等式①可化為，解得，此時；當時，不等式①可化為，解得，此時；當時，不等式①可化為，解得，此時，綜上，原不等式的解集為.（2）由題意得，，因為的最小值為，所以，由，得，所以，當且僅當，即，時，的最小值為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．18、（1）（2）【解析】

（1）當時，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因為函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，所以，解得，當時，，函數的圖象與軸沒有交點，不符合題意；當時，，函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，符合題意．綜上，可得．19、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用等比數列的定義結合得出數列是等比數列（Ⅱ）數列是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解：（Ⅰ）當時，，故.當時，，則，，數列是首項為，公比為的等比數列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【點睛】（Ⅰ）證明數列是等比數列可利用定義法得出（Ⅱ）采用分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列．20、【解析】

原不等式等價于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數，故.故.故答案為：.【點睛】本題考查含參數的不等式的恒成立，對于此類問題，優先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數的新函數的最值問題，本題屬于基礎題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點，連結，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點，連結，，，，，為直角，，平面，平面，∴面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可取為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為.則，其中，，不妨取，則..為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.22、（1）見證明；（2）【解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可