第03講3.3拋物線目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查拋物線定義理解 1題型二：重點考查利用拋物線定義求軌跡方程 3題型三：重點考查拋物線上點到定點距離及最值 5題型四：重點考查拋物線上點到焦點的距離和差最值 8題型五：重點考查拋物線焦半徑公式 11題型六：重點考查求拋物線標準方程 15題型七：重點考查拋物線范圍 17題型八：重點考查拋物線對稱性 20題型一：重點考查拋物線定義理解典型例題1．（2023春·河南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】設，由拋物線方程化為，得焦點，準線，由拋物線定義可得，解得，故選：B.2．（2023秋·河南·高三校聯考開學考試）拋物線焦點為，準線上有點是拋物線上一點，為等邊三角形，則點坐標為．【答案】【詳解】拋物線焦點為，點在準線上，在等邊中，，因此長等于點到準線的距離，即有與拋物線準線垂直，

令拋物線準線與x軸交于點，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點坐標為.故答案為：精練核心考點1．（2023秋·北京豐臺·高三北京豐臺二中開學考試）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【詳解】如下圖所示：

根據題意可得拋物線的準線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A2．（2023秋·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知拋物線C：的頂點為O，經過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】因為點在拋物線上，，所以，所以，所以，所以，解得.故選：C

題型二：重點考查利用拋物線定義求軌跡方程典型例題1．（2023·全國·高二專題練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M.求點M的軌跡方程；【答案】【詳解】由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，所以點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為；3．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知點，直線，兩個動圓均過A且與l相切，若圓心分別為?，則的軌跡方程為；若動點M滿足，則M的軌跡方程為.【答案】【詳解】解：由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，所以的軌跡方程為，設，，，因為動點滿足，所以，即，，所以，，因為，所以，所以，即的軌跡方程為.故答案為：；.精練核心考點1．（2023·江西·校聯考三模）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，所以的軌跡方程為．故選：A.2．（2023·全國·高二假期作業）已知動點與點的距離與其到直線的距離相等.(1)求動點的軌跡方程；(2)求點與點的距離的最小值，并指出此時的坐標.【答案】(1)；(2)，或【詳解】（1）解：由題意知動點到的距離與它到直線的距離相等，所以動點的軌跡為以為焦點、以直線為準線的拋物線，因此動點的軌跡方程為.（2）解：設，由兩點間的距離公式得：，當，即時，，即當或時，點與點的距離最小，最小值為.3．（2023·全國·高三專題練習）（1）已知拋物線定點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線x－y＋2＝0上，則拋物線方程為.（2）動圓過點(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為.【答案】y2＝－8x或x2＝8yy2＝4x【詳解】（1）易得直線x－y＋2＝0與坐標軸的交點分別為(－2，0)和(0，2)，當焦點為(－2，0)時，拋物線焦點在x軸負半軸上，且p＝4，則拋物線方程為y2＝－8x；當焦點為(0，2)時，拋物線焦點在y軸正半軸上，且p＝4，則拋物線方程為x2＝8y；綜上：拋物線方程為y2＝－8x或x2＝8y.（2）設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡為拋物線，其中，故軌跡方程為y2＝4x.故答案為：y2＝－8x或x2＝8y；y2＝4x.題型三：重點考查拋物線上點到定點距離及最值典型例題1．（2023春·甘肅蘭州·高三校考開學考試）已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點A（5，3），M為拋物線上一點，且M不在直線AF上，則周長的最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【詳解】由題意知，焦點為,當|MA|＋|MF|的值最小時，的周長最小.設點M在拋物線的準線上的射影為，根據拋物線的定義，可知，因此的最小值即的最小值.根據平面幾何的知識可得，當三點共線時，即可作準線于,與拋物線交于,此時三點共線，此時.又，所以周長的最小值為故選：B2．（2023·全國·高二假期作業）已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于為拋物線上一個動點，焦點坐標為，準線為，為圓上一個動點，，圓心為，半徑，那么點到點的距離與點到軸距離之和最小值可結合拋物線的定義，到軸距離為到焦點距離減去，則最小值為拋物線的焦點到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.故選：B.3．（2023·全國·高二課堂例題）已知點P在拋物線上，且，求的最小值．【答案】【詳解】設點P的坐標為，則，而且，又因為，所以時，．因此所求最小值為.精練核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】由題意知，，設，則，所以，

故當時，，所以.故選：B.2．（2023·全國·高二假期作業）已知拋物線：，，為上一點，則取最小值時點的坐標為．【答案】【詳解】設點，則，當時，，此時點.故答案為：.3．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線，點A的坐標為，則拋物線上距離點A最近的點P的坐標為，距離＝，【答案】【詳解】設拋物線上任一點P的坐標為，則，則，因為，且在此區間上隨著x的增大而增大，所以當x＝0時，取得最小值，最小值為，則的最小值為.故距離點A最近的點P的坐標為，距離是.故答案為：，題型四：重點考查拋物線上點到焦點的距離和差最值典型例題1．（2023春·河南周口·高二統考期中）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由拋物線可知其焦點為，準線方程為記拋物線的焦點為，

所以，當且僅當點在線段上時等號成立，所以的最小值為3．故選：A．2．（2023·四川成都·校聯考二模）已知點是拋物線的焦點，點，且點為拋物線上任意一點，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】因為點是拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線的方程為：．由拋物線的定義知：點到點的距離等于點到準線的距離，結合點與拋物線的位置關系可知，的最小值是點到準線的距離，故的最小值為7．故選：C.

3．（2023秋·高二課時練習）已知點的坐標為，點為拋物線的焦點，若點在此拋物線上移動，求的最小值，并求此時點的坐標．【答案】；【詳解】根據題意，作圖如下，設點在其準線上的射影為，由拋物線的定義得，欲使取得最小值，就是使最小，，當且僅當三點共線時，等號成立.所以取得最小值，此時三點共線，即點的縱坐標，設點的橫坐標為，為拋物線上的點，，點的坐標為.

精練核心考點1．（2023·福建寧德·統考模擬預測）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一個動點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意可知拋物線的焦點坐標為，準線的方程為，過作于，由拋物線定義可知，所以，則當共線時取得最小值，所以最小值為．故選：B．2．（2023·江西九江·統考一模）已知點分別是拋物線和圓上的動點，點到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖所示：

由圓的標準方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點為，準線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點到圓上點的距離滿足，即；所以，當且僅當三點共線時，等號成立；即的最小值為．故答案為：3．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，則，若點在拋物線上，點，則的最小值為.【答案】【詳解】拋物線的焦點為，可得，即，拋物線方程為，則拋物線的準線方程為，過作直線的垂線，垂足為，，則當三點共線時，取得最小值，且最小值為（即到準線的距離）.故答案為：；

題型五：重點考查拋物線焦半徑公式典型例題1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考開學考試）已知的頂點在拋物線上，若拋物線的焦點恰好是的重心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的焦點為，由重心的性質有，又由拋物線的定義知，同理可得，又因為，所以，故選：C．2．（2023春·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考期中）已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且點坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設，則易知，點為拋物線的焦點，所以當且僅當時，等號成立，所以的取值范圍為.故選：B3．（2023春·上海金山·高二上海市金山中學校考期末）已知拋物線(其中)的焦點為，點在拋物線上，若，且的最小值為，則點到拋物線的準線的距離為【答案】【詳解】設直線的方程為，由消去并化簡得，，則①，，當時等號成立，所以②，由①②解得或，因為，所以，即到拋物線的準線的距離為.故答案為：.精練核心考點1．（2023秋·湖南長沙·高三湘府中學校考開學考試）已知拋物線的焦點為F，準線為，點P為C上一點，過P作的垂線，垂足為A，若AF的傾斜角為，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【詳解】由題意，得，準線方程為，設準線與軸交于點K，，則，如圖，因為AF的傾斜角為150°，所以，故，所以，故，解得，所以.故選：A.2．（2023秋·江西·高三統考開學考試）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則.【答案】【詳解】由題意知，設，，的橫坐標分別為，，，由，得，所以，由拋物線的定義得.故答案為：

3．（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）如圖，是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則.

【答案】10【詳解】依題意，過向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設的橫坐標為，則，.因為，所以.由，得，故.故答案為：

題型六：重點考查求拋物線標準方程典型例題1．（2023秋·高二課時練習）已知動拋物線的準線為y軸，且經過點，求拋物線焦點的軌跡方程.【答案】【詳解】由題可知，動拋物線的準線為y軸，且經過點設拋物線焦點為，則點到焦點的距離與到準線的距離相等,則,則,綜上所述,拋物線焦點的軌跡方程為.2．（2023秋·高二課時練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為；(2)頂點在原點，且過點；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【詳解】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，故拋物線標準方程為；（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，則設拋物線標準方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標準方程為或；（3）由于直線與x軸的交點為，由題意可知拋物線焦點為，則，故拋物線標準方程為；（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，則設拋物線方程為，焦點為，準線為，故，故拋物線標準方程為.精練核心考點1．（2023·全國·高二課堂例題）求適合下列條件的拋物線的標準方程和準線方程：(1)拋物線的焦點到準線的距離是3，而且焦點在軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點是.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）根據題意可知，拋物線的標準方程具有的形式，而且，因此所求標準方程為，準線方程為.（2）因為拋物線的焦點坐標是，所以拋物線的標準方程具有的形式，而且因此，從而所求拋物線的標準方程是，準線方程為.2．（2023秋·高二課時練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)焦點為；(2)準線方程為.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為拋物線焦點為在y軸的負半軸上，設焦準距為p，則，即.因此，所求拋物線的標準方程為.（2）由拋物線準線方程為知，焦點在x軸的負半軸上，并且，即，因此，所求拋物線的標準方程為.題型七：重點考查拋物線范圍典型例題1．（2023·全國·高三專題練習）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【詳解】∵設P為拋物線的任意一點，則P到焦點的距離等于到準線：x的距離，顯然當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值．∴，即p＞2．故選：D．2．（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點,若在此封閉曲線上恰有三對不同的點,滿足每一對點關于點對稱,則實數的取值范圍是

A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：顯然，過點與軸平行的直線與封閉曲線的兩個交點關于點對稱，且這兩個點在同一曲線上．當對稱的兩個點分屬兩段曲線時，設其中一個點為，，其中，且，則其關于點的對稱點為，，所以這個點在曲線上，所以，即，所以，即，此方程的的解必須剛好有且只有兩個，當時，其對稱點的橫坐標剛好為，故，于是，且，，即，故選：．3．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由已知，，.如圖，設點，則，，在中，有，易知，則，則，因為，，所以當時，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.精練核心考點1．（2023·江西南昌·校聯考模擬預測）已知拋物線，圓，P為E上一點，Q為C上一點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【詳解】由題意知,設，則,所以當時,，又因為圓的半徑為1，所以.故選：B.

2．（2023秋·高二課前預習）已知點在拋物線上，且為焦點，若為上的一個動點，設點的坐標為，則的最小值為.【答案】【詳解】解：已知點在拋物線上，且為焦點，由定義知，，拋物線.設，由題意知，則，當時，取得最小值8，則的最小值為.故答案為：.3．（2023秋·高二課時練習）已知，，是拋物線：上一點，則的最小值是．【答案】5【詳解】設，則，，從而．因為點在拋物線上，所以，所以，當且僅當時取等號．故答案為：5題型八：重點考查拋物線對稱性典型例題1．（2023春·安徽蕪湖·高二統考期末）為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，拋物線中時可得，且則，取（如圖）

，,又對稱性可知.故選；C.2．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數且不超過2022的直線的條數是（

）A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【答案】A【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物