高考沖刺系列〔二〕——導數及其運用根底知識回憶導數的幾何意義函數y=f〔x〕在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f〔x〕在點p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f〔x〕在點p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率是f〔x〕。相應地，切線方程為y－y=f/〔x〕〔x－x〕。根本函數的導數公式:①〔C為常數〕②③;④;⑤⑥;⑦;⑧導數的運算法那么復合函數的導數復合函數的導數和函數和的導數間的關系為,即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積.假設,那么函數的單調性與導數的關系:在某個區間內，如果，那么函數在這個區間內單調遞增；如果，那么函數在這個區間內單調遞減．說明：特別的，如果，那么函數在這個區間內是常函數．求解函數單調區間的步驟：〔1〕確定函數的定義域；〔2〕求導數；〔3〕解不等式，解集在定義域內的局部為增區間；思維技巧對于可導函數來說,是函數思維技巧對于可導函數來說,是函數在(a,b)上為單調增函數的充分不必要條件,是函數在(a,b)上為單調減函數的充分不必要條件,如函數在R上為增函數,但,所以在處不滿足.利用導數極值：定義：設函數f〔X〕在點X0的領域內，假設在X0的領域內，f〔X0〕>f〔X〕,X≠X0那么X0稱為極大點f〔X0〕為極大值；假設在X0的領域內，f〔X0〕<f〔X〕那么X0稱為極小點f〔X0〕為極小值，函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，極大點與極小點稱為極值點定理設函數f〔X〕在點X0的領域內有定義，且X0是f〔X〕的極值點，如果f〔X〕可導，那么f`〔X0〕=0定理設函數f〔X〕滿足：①在點X0的領域內可導②f`〔X0〕=0那么：〔1〕假設在X0的左側附近f`〔X〕>0,在X0右側附近f`〔X〕<0那么f〔X0〕為極大值〔2〕假設在X0左側附近f`〔X〕<0,在X0右側附近f’〔X〕>0那么f〔X0〕為極小值〔3〕假設在X0左右兩側f`〔X〕同號,那么f`〔X〕不是極值點利用導數求函數極值步驟：〔1〕確定函數的定義域；〔2〕求出函數的導函數〔3〕令=0，解得x的值〔4〕列表求極值二、導數常見用法考點1：單調性和極值例1.設恰有三個單調區間，試確定a的取值范圍，并求其單調區間。解：假設，對恒成立，此時只有一個單調區間，矛盾假設，∴，也只有一個單調區間，矛盾假設∵，此時恰有三個單調區間∴且單調減區間為和，單調增區間為例2：函數在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.解：由=0，得，當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的極小值、極大值分別為，而故函數在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17例3：函數在上不具有單調性．〔I〕求實數的取值范圍解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有單調性，∴在上有正也有負也有0，即二次函數在上有零點………………〔4分〕∵是對稱軸是，開口向上的拋物線，∴的實數的取值范圍………………〔6分〕例4.函數．〔I〕假設函數在區間上都是單調函數且它們的單調性相同，求實數的取值范圍；解：〔I〕，……………〔2分〕∵函數在區間上都是單調函數且它們的單調性相同，∴當時，恒成立，……………〔4分〕即恒成立，∴在時恒成立，或在時恒成立，∵，∴或………………〔6分〕例5.函數．〔I〕求函數的單調區間；〔II〕函數的圖象的在處切線的斜率為假設函數在區間〔1，3〕上不是單調函數，求m的取值范圍．解：〔I〕 〔2分〕當當當a=1時，不是單調函數 〔5分〕〔II〕〔6分〕 〔8分〕〔10分〕 〔12分〕考點2：函數交點與零點問題例6.函數的圖象如下圖．〔I〕求的值；〔II〕假設函數在處的切線方程為，求函數的解析式；〔III〕在〔II〕的條件下，函數與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍．〔I〕由圖可知函數的圖象過點〔0，3〕，且得…………〔4分〕〔II〕依題意且解得所以…………〔8分〕〔III〕．可轉化為：有三個不等實根，即：與軸有三個交點；，+0-0+增極大值減極小值增．…………〔10分〕當且僅當時，有三個交點，故而，為所求．…………〔12分〕例7.函數的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值．〔I〕求實數的取值范圍；〔II〕假設方程恰好有兩個不同的根，求的解析式解：〔I〕 由，因為當時取得極大值， 所以，所以；…………〔4分〕〔II〕由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得： 所以函數的解析式是：例8.常數，為自然對數的底數，函數，討論函數在區間上零點的個數解：，由，得，列表-0+單調遞減極小值單調遞增當時，函數取極小值，無極大值．…………〔6分〕由〔I〕，∵，∴，∴，…………〔8分〕〔i〕當，即時，函數在區間不存在零點〔ii〕當，即時假設，即時，函數在區間不存在零點假設，即時，函數在區間存在一個零點；假設，即時，函數在區間存在兩個零點；綜上所述，在上，我們有結論：當時，函數無零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點．…………〔12分〕考點3：恒成立問題例9.函數f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中國^教育出版&網~]〔1〕假設對一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；[z〔2)在函數f(x)的圖像上去定點A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.解：令.當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值于是對一切恒成立，當且僅當.①令那么當時，單調遞增；當時，單調遞減.故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.綜上所述，的取值集合為.〔Ⅱ〕由題意知，令那么令，那么.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即從而，又所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.例10.設函數〔1〕求函數的單調區間、極值.〔2〕假設當時，恒有，試確定a的取值范圍.解答：〔1〕=令得列表如下：x〔-∞，a〕a〔a，3a〕3a〔3a，+∞〕-0+0-極小極大∴在〔a，3a〕上單調遞增，在〔-∞，a〕和〔3a，+∞〕上單調遞減時，，時，〔2〕∵0<a<1，∴對稱軸，∴在[a+1，a+2]上單調遞減∴，依題，即解得，又0<a<1∴a的取值范圍是例11.函數，，〔1〕證明：當時，恒有〔2〕當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍;解：〔1〕設，那么=，當時，，所以函數在〔0，單調遞增，又在處連續，所以，即，所以。〔2〕設，那么在〔0，恒大于0，，，的根為0和即在區間〔0，上，的根為0和假設，那么在單調遞減，且，與在〔0，恒大于0矛盾；假設，在〔0，單調遞增，且，滿足題設條件，所以，所以例12.函數的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值．對于〔II〕中的函數，對任意，求證：．解：對任意的實數都有 在區間[-2，2]有： 函數上的最大值與最小值的差等于81， 所以例13.函數在上不具有單調性．〔I〕求實數的取值范圍；〔II〕假設是的導函數，設，試證明：對任意兩個不相等正數，不等式恒成立解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有單調性，∴在上有正也有負也有0，即二次函數在上有零點………………〔4分〕∵是對稱軸是，開口向上的拋物線，∴的實數的取值范圍……………