4.2.2等差數列的前n項和公式選擇性必修第二冊第四章數列

高斯（Gauss，1777-1855)，德國著名數學家、物理學家、天文學家，

近代數學奠基者之一，并享有"數學王子"之稱.

他和阿基米德、牛頓、

歐拉并列為世界四大數學家.以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數學家中之最.據說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…＋100=？當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，…，n,…前100項和的問題。

在問題中高斯運用的是“兩兩配對”的方法，它使不同數求和問題轉化為相同數（即101）的求和，從而簡化運算，那對于一般等差數列的求和問題，也能否這樣處理呢？思考:高斯在求和過程中利用了數列的什么性質？

你能從中得出求數列的前n項和的方法嗎？不行，當n不一定是偶數，這樣就不好“兩兩配對”了你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎？

能否設法避免分類討論？某倉庫堆放的一堆鋼管(如圖)，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數呢？假設在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管．設等差數列{an}的前n項和為Sn，公差為d，即

Sn=a1＋a2＋a3＋……

＋

an

再將項的次序反過來，Sn可以寫成

Sn=an＋an－1＋an－2＋……

＋a1兩式兩邊分別相加，得2Sn=(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋……

＋(an

＋a1)=n

(a1＋an)由此得到等差數列{an}的前n項和的公式又因為an=a1＋(n－1)d，所以上述公式又可以寫成

如果數列{an}為等差數列，那么

an＋

am

=ap＋

aq（n，m，p，q∈N+）(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=…倒序相加發法

這個公式表明，等差數列的前n項和可由首項、公差和項數唯一確定．等差數列的前項和n公式：

如果等差數列{an}的首項a1，公差為d，那么該等差數列的前n項和公式為：

等差數列的通項公式和前n項和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個量，故知三可求其二．

如何根據公式的結構特征來記憶公式呢？等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積

整理,得

解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12等差數列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結合等差數列的性質解題：等差數列的常用性質：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結合使用．例7

已知一個等差數列的前10項和是310，前20項和是1220，求該數列的前n項和．解：記該數列為{an}，公差為d，根據等差數列前n項和公式，可得

S10=10a1＋45d=310，S20=20a1＋190d=1220，

解得a1=4，d=6，

因此該等差數列的前n項和