第一章隨機事件與概率在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變萬化……，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.如同物理學中基本粒子的運動、生物學中遺傳因子和染色體的游動、以及處于緊張社會中的人們的行為一樣，自然界中的不定性是固有的.這些與其說是基于決定論的法則，不如說是基于隨機論法則的不定性現象，已經成為自然科學、生物科學和社會科學理論發展的必要基礎.C.R.勞從亞里士多德時代開始，哲學家們就已經認識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性看作為破壞生活規律、超越了人們理解能力范圍的東西.他們沒有認識到有可能去研究隨機性，或者是去測量不定性.

概率作為一門數學學科，誕生于17世紀中葉，它來源于對機會游戲和賭博的研究。古典概率（帕斯卡和費馬）分析概率（Demoivre和拉普拉斯）概率論體系（Kolmogorov）將不定性數量化，來嘗試回答這些問題，是直到20世紀初葉才開始的.還不能說這個努力已經十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經給人類活動的一切領域帶來了一場革命.這場革命為研究新的設想，發展自然科學知識，繁榮人類生活，開拓了道路.而且也改變了我們的思維方法，使我們能大膽探索自然的奧秘.概率論的研究對象

隨機現象量的統計規律性一.隨機現象在同一條件下,所觀察的現象可能發生,也可能不發生.帶有隨機性、偶然性的現象.

當人們在一定的條件下對它加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結果是多個可能結果中的某一個.而且在每次試驗或觀察前都無法確知其結果，即呈現出偶然性.或者說，出現哪個結果“憑機會而定”.隨機現象的特點A.太陽從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.新生嬰兒的體重.我們的生活和隨機現象結下了不解之緣.下面的現象哪些是隨機現象？隨機現象例隨機現象是不是沒有規律可言呢?否！在一定條件下對隨機現象進行大量觀測會發現某種規律性.思考：例如:一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現出一定的規律性，如一定的命中率，一定的分布規律等等.再如:測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環境的影響，每次測量的結果可能是有差異的.但多次測量結果的平均值隨著測量次數的增加逐漸穩定于一常數，并且諸測量值大多落在此常數的附近，越遠則越少，因而其分布狀況呈現“兩頭小，中間大，左右基本對稱”.二.隨機試驗對某一隨機現象所做的一次觀察或進行的一次實驗,稱為隨機試驗,簡稱試驗.1.試驗可以在相同條件下重復進行。2.每次試驗可能出現的結果不止一個，但在試驗之前不能肯定會出現哪一個結果。隨機試驗的特點：H

例如,

擲硬幣試驗擲一枚硬幣，觀察出正還是反.T擲骰子試驗擲一顆骰子，觀察出現的點數

三.隨機事件在一定條件下可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件，或簡稱為事件，通常用大寫字母A,B,C…表示。“擲出2點”例如，在擲骰子試驗中，首先，隨機事件的發生具有偶然性,在一次試驗中，可能發生，也可能不發生.

其次，在大量重復試驗中，隨機事件的發生具有某種規律性.隨機事件的特點：事件基本事件復合事件（相對于觀察目的不可再分解的事件）（兩個或一些基本事件并在一起，就構成一個復合事件）事件B={擲出奇數點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.事件Ai

={擲出i點}

i=1,2,3,4,5,6必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數小于7”是必然事件;即在試驗中必定發生的事件，常用S或Ω表示;

不件可事能即在一次試驗中不可能發生的事件，常用φ表示.而“擲出點數8”則是不可能事件.兩個特殊的事件：現代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.四.樣本點和樣本空間我們把隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點，記作e或ω.全體樣本點的集合稱為樣本空間.樣本空間用S或Ω表示.樣本點e.

S如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：在每次試驗中必有一個樣本點出現且僅有一個樣本點出現.如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負數，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數都是一個可能結果，S={t：t≥0｝故樣本空間

如果一彩民購買體育彩票，一次只購買一張，直到中獎為止，觀察其所買的獎券數，則樣本空間

引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本空間的子集.例如，擲一顆骰子，觀察出現的點數S={i：i=1,2,3,4,5,6｝樣本空間：事件B就是S的一個子集B={1,3,5｝B發生當且僅當B中的樣本點1，3，5中的某一個出現.五.事件間的關系及其運算1.事件的包含：如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件B包含事件A。記為等價說法：如果事件B不發生，必然導致事件A也不會發生。即A中的每一樣本點都包含于B中。2.事件的相等：如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A則稱事件A與事件B相等。記為A=B3.事件的交（積）：事件A與事件B同時發生的事件，稱為事件A與事件B的積（交）事件。記為或AB即由事件A與B的公共樣本點組成的集合4.互不相容事件：如果事件A與事件B不能同時發生，則稱事件A與事件B為互不相容（互斥）事件。即即所有包含在A中的樣本點與包含在B中的樣本點全不相同。5.事件的并（和）：事件A與事件B至少有一個發生的事件稱為事件A與事件B的并（和）事件。記為即由A與B中所有樣本點組成的集合。6.事件的對立：事件A不發生的事件稱為事件A的對立事件（或逆事件）。記為

7.事件的差：事件A發生，而事件B不發生，稱為事件A與B的差。記為A-B即樣本空間中所有不包含在A中的樣本點組成的集合。即所有包含在A中而不包含在B中的樣本點組成的集合。隨機事件的運算律1.交換律:2.結合律:3.分配律:4.對偶原則:考慮某教育局全體干部的集合，令A為女干部，B為已婚干部，C為具有碩士學歷的干部。（1）用文字說明，以及的含義。（2）用A,B,C的運算表示“碩士學歷的單身女干部”，“不是已婚碩士的干部”。例1例2設A、B、C為三個隨機事件,表示下列事件：1、A發生但B與C都不發生2、A與B都發生，而C不發生3、三個事件中恰好發生一個4、A、B、C中至少有一個發生5、A、B、C中至少有兩個發生6、A、B、C都不發生7、A、B、C中不多于（最多）一個發生8、A、B、C中不多于兩個（不都）發生注意：設A、B為任意兩個事件，則

A∪B-A=B

錯誤A∪B-A因為請看下圖事件的概率概率是隨機事件發生可能性大小的度量

事件發生的可能性越大，概率就越大！研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事件的概率.

事件發生的可能性最大是百分之百，此時概率為1.0≤P(A)≤1我們用P(A)表示事件A發生的概率，則

事件發生的可能性最小是零，此時概率為0.事件在一次試驗中是否發生具有隨機性，它發生的可能性大小是其本身所固