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文檔簡介
2024屆甘肅省隴東中學高三4月調(diào)研測試(二模)數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A. B. C. D.2.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達式為()A. B.C. D.4.復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.設為虛數(shù)單位,復數(shù),則實數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.26.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.8.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題9.已知,是兩條不重合的直線,是一個平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則10.為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強11.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,,若,則數(shù)列的前n項和______.14.已知,,,,則______.15.已知集合,則____________.16.安排名男生和名女生參與完成項工作,每人參與一項,每項工作至少由名男生和名女生完成,則不同的安排方式共有________種(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點為線段上的點,過三點的平面與交于點.將①,②,③中的兩個補充到已知條件中,解答下列問題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.(12分)設函數(shù).(1)若,時,在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當時,.20.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.21.(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,對,恒有成立,求實數(shù)的最小值.22.(10分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】
聯(lián)立方程解得M(3,),根據(jù)MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是邊長為4的等邊三角形,計算距離得到答案.【題目詳解】依題意得F(1,0),則直線FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x軸的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為故選:C.【題目點撥】本題考查了直線和拋物線的位置關系,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、B【解題分析】
利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.3、A【解題分析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【題目點撥】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導公式,屬于基礎題.4、C【解題分析】
利用復數(shù)模與除法運算即可得到結果.【題目詳解】解:,故選:C【題目點撥】本題考查復數(shù)除法運算,考查復數(shù)的模,考查計算能力,屬于基礎題.5、A【解題分析】
根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡,由復數(shù)的意義即可求得的值.【題目詳解】復數(shù),由復數(shù)乘法運算化簡可得,所以由復數(shù)定義可知,解得,故選:A.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的乘法運算,復數(shù)的意義,屬于基礎題.6、B【解題分析】
由題意建立空間直角坐標系,表示出各點坐標后,利用即可得解.【題目詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【題目點撥】本題考查了空間向量的應用,考查了空間想象能力,屬于基礎題.7、B【解題分析】
直接利用集合的基本運算求解即可.【題目詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【題目點撥】本題考查集合的基本運算,屬于基礎題.8、B【解題分析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【題目詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當,即時,;當,即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【題目點撥】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9、D【解題分析】
利用空間位置關系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【題目詳解】解:選項A中直線,還可能相交或異面,選項B中,還可能異面,選項C,由條件可得或.故選:D.【題目點撥】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎知識;考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎題.10、D【解題分析】
根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【題目詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【題目點撥】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.11、D【解題分析】
先求出的值域,再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【題目詳解】因為,故,當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.12、A【解題分析】
利用逐一驗證的方法進行求解.【題目詳解】若甲預測正確,則乙、丙預測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預測正確,則丙預測也正確,不符合題意;若丙預測正確,則甲必預測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預測正確,不符合題意,故選A.【題目點撥】本題將數(shù)學知識與時政結合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
,求得的通項,進而求得,得通項公式,利用等比數(shù)列求和即可.【題目詳解】由題為等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,故答案為【題目點撥】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項,等比數(shù)列求和,熟記等差等比性質(zhì),熟練運算是關鍵,是基礎題.14、【解題分析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【題目詳解】,,,,,,,,.故答案為:【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎題.15、【解題分析】
根據(jù)并集的定義計算即可.【題目詳解】由集合的并集,知.故答案為:【題目點撥】本題考查集合的并集運算,屬于容易題.16、1296【解題分析】
先從4個男生選2個一組,將4人分成三組,然后從4個女生選2個一組,將4人分成三組,然后全排列即可.【題目詳解】由于每項工作至少由名男生和名女生完成,則先從4個男生選2個一組,將4人分成三組,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有種.故答案為:1296【題目點撥】本題主要考查了排列組合的應用,考查了學生應用數(shù)學解決實際問題的能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】
若補充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補充兩個條件,結果都一樣,以①②作為條件分析;(1)設,可得,進而求出梯形的面積,可求出,即可求出結論;(2),以為坐標原點,建立空間坐標系,求出坐標,由(1)得為平面的法向量,根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【題目詳解】第一種情況:若將①,②作為已知條件,解答如下:(1)設平面為平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又為中點.設,則.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面積,,,平面,,,∴,故,.(2)如圖,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系,設,則,由(1)得為平面的一個法向量,因為,所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況:若將①,③作為已知條件,則由知平面,,又,所以平面,,又,故為中點,即,解答如上不變.第三種情況:若將②,③作為已知條件,由及第二種情況知,又,易知,解答仍如上不變.【題目點撥】本題考查空間點、線、面位置關系,以及體積、直線與平面所成的角,考查計算求解能力,屬于中檔題.18、(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關.【解題分析】
(1)排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表;(3)由列聯(lián)表計算可得結論.【題目詳解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016(3)由于,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關.【題目點撥】本題考查莖葉圖,考查獨立性檢驗,正確認識莖葉圖是解題關鍵.19、(1)(2)見解析【解題分析】
(1)在上單調(diào)遞減等價于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對求導,化簡后根據(jù)零點存在性定理判斷唯一零點所在區(qū)間,構造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【題目詳解】(1),時,,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時,;時,,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時,,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點.且,時,,;時,,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當時,.【題目點撥】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),和零點存在性定理等知識點,難點為找到最值后的構造函數(shù)求值域,屬于較難題目.20、(1)見解析;(2)【解題分析】
(1)利用余弦定理化簡已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(1)的結論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進而求得的值,從而求得角.【題目詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【題目點撥】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解題分析】
(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成
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