第3章傅里葉光學根底3.1光波的標量衍射理論3.2衍射問題的頻率域分析3.3基爾霍夫衍射公式的近似3.4透鏡的變換特性3.5光學成像系統的空間變換特性3.6光學成像系統的頻率特性及其傳遞函數3.7實際光學系統的傳遞函數3.8相干成像和非相干成像的比較3.1光波的標量衍射理論

光衍射的數理根底

1.衍射概述

索末菲把“不能用反射或折射來解釋的、光線對直線光路的任何偏離〞定義為衍射。衍射是波動光學的普遍現象，幾何光學認為光按直線傳播是衍射理論的“短波長〞近似。1818年，菲涅耳綜合惠更斯原理和干預原理，認為次級波源是彼此相干的，由此得到惠更斯-菲涅耳原理：波前上任何一個未受阻擋的點，都可以看做一個次級波源，在其后空間任一點P處的光振動那么是這些次級波源產生的次級波相干疊加的結果,其數學表達式為

(3.1-1)

圖3.1-1惠更斯-菲涅耳原理示意圖2.亥姆霍茲方程

亥姆霍茲方程是討論基爾霍夫衍射積分定理的物理根底。根據1.1節的知識，光波場中P點在t時刻的光振動用復值標量函數u(P,t)表示，對于單色光場，有

(3.1-2)

式中:U(P)為光波場中P點的復振幅；ν為光波的時間頻率。根據電磁場理論，光波場中的每一個無源點上，光振動u(P,t)滿足波動方程

(3.1-3)式中:c為光在真空中的速度;為拉普拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空間單色光場滿足的波動方程為

(3.1-4)

式中:k=2πν/c=2π/λ為波矢量的大小。該式稱為亥姆霍茲方程。這說明自由空間傳播的任何單色光波的復振幅必然滿足亥姆霍茲方程。3.格林定理

格林定理是基爾霍夫衍射積分定理的數學根底。格林定理表述為設V是封閉曲面S所包圍的體積，P是空間任一點，U(P)和G(P)為兩個位置坐標的任意復函數，如果U(P)、G(P)及其一階、二階偏微商在S上和S內都單值、連續，那么有

(3.1-5)基爾霍夫衍射公式

1.基爾霍夫積分定理

為了應用格林定理，取如圖3.1-2所示的積分面S，S包圍的體積為V。令觀察點P在封閉曲面S內，選擇格林函數G為以P點為中心，向外發散的單位振幅的球面波函數，它在空間任一點P′處的復振幅為

(3.1-6)圖3.1-2積分曲面的選取式中:r為P與P′間的距離。由于函數G(P′)在P點的值為無窮大，因此為滿足格林定理的要求，把P點從V內去掉。為此，以P點為中心，以ε為半徑做小球面Sε，這樣在以

S和Sε包圍的體積V′上應用格林定理，有

(3.1-7)在V′中,G和U都滿足亥姆霍茲方程

把上式代入式(3.1-7)，得到于是式(3.1-7)簡化為

或

(3.1-8)在Sε面上，n與r處處反向，有

故

(3.1-9)令ε→0，那么有

(3.1-10)式中:Ω為Sε面對P點所張開的立體角。將式(3.1-10)代入式(3.1-8)得

(3.1-11)

2.基爾霍夫衍射公式

現在討論無限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射問題。衍射裝置如圖3.1-3所示，從點源P0發出的單色光波，傳播并通過不透明屏S′上的一個小孔Σ，在屏后的P點觀察。假設開孔Σ的線度、P0點和P點到孔Σ的距離遠大于波長λ，P0和P到Σ上任一點P1的矢徑分別為r0和r。圖3.1-3平面屏衍射裝置示意圖為了應用基爾霍夫積分定理求P點的復振幅，選擇包圍P點閉合曲面S由三局部組成：①開孔Σ局部SΣ；②屏幕后外表局部面積S1；③以P點為中心，半徑為R的局部球面SR。由基爾霍夫積分定理得到光場中P的復振幅為

(3.1-12)1)索末菲輻射條件和SR上的積分

對于SR面上的積分，由于基爾霍夫積分定理中積分面的選擇的任意性，可以假定R→∞，那么SR為趨于無限大的半球殼。考慮到U和G在SR面上都按1/R隨R的增大而減小，所以，R→∞時，在SR面上被積函數趨于零，但同時積分面的面積SR按R2增大，故不能直接認為SR面上的積分為零。下面具體討論SR面上的積分。當R很大時，在SR面上有

(3.1-13)因此

(3.1-14)式中:Ω為SR對P點所張開的立體角。因為|eikR|在SR上有界，所以只要滿足條件

(3.1-15)

在SR上的積分就等于零。我們稱式(3.1-15)為索末菲輻射條件。索末菲輻射條件在有限大小光源照明的條件下都能滿足。簡單證明如下：首先設照明光源為點光源，由圖3.1-3可知，當R→∞時，就SR面上光場復振幅而言，P0和P間的距離以及屏幕的影響都可以忽略不計，于是SR面上光場復振幅可近似取為將其代入式(3.1-15)等號左面得到2)基爾霍夫邊界條件及其衍射公式

在忽略了SR面上的積分之后，要求解P點的復振幅，仍需要知道SΣ和S1上的光場復振幅分布U以及。為此基爾霍夫提出以下兩個邊界條件：

(1)在透光孔面Σ上，光場復振幅分布U及其微商

與沒有屏幕時完全相同；

(2)在屏幕的背光面上，光場復振幅分布U及其微商

恒為零。應用基爾霍夫邊界條件，式(3.1-12)可簡化為

(3.1-16)

寫成一般形式為

(3.1-17)根據衍射裝置給定的條件r0,r>>λ；k=2π/λ>>1/r0,1/r。對于SΣ面上點P1可得同理將以上各式代入式(3.1-17)，整理后得

(3.1-18)

或者寫成

(3.1-19)對于近軸點光源照明近軸衍射孔的情況，n和r0的夾角很小，在SΣ面上各點都近似有cos(n,r0)≈－1，那么式(3.1-19)可改寫為

(3.1-20)3.巴比涅原理

設有一個衍射屏，衍射孔為Σ0，在衍射場中P點產生確定的光波復振幅U0(P)。假設把衍射孔分為Σ1和Σ2兩局部，并且Σ1的透光局部正好是Σ2的不透光局部(這樣的兩個屏稱為互補屏)，三者關系可表示為Σ1+Σ2=Σ0，如圖3.1-4所示。圖3.1-4巴比涅原理對于上述衍射屏，應用基爾霍夫衍射公式可得

即

(3.1-21)巴比涅原理在研究光的夫瑯和費衍射中非常有用，

比方用平行光照明衍射屏，并在透鏡的焦平面上觀察衍

射光分布,只要Σ0足夠大，那么除了焦點之外，其余局部有

U0(P)=0，由巴比涅原理，除去該點之外有

(3.1-22)

相應光強分布為

(3.1-23)瑞利-索末菲衍射公式

索末菲通過巧妙地選擇格林函數G，排除了邊界條件中對U和同時規定為零的要求，從而克服了基爾霍夫理論的不自恰性。在解決了SR上的積分之后，式(3.1-12)簡化為

(3.1-24)索末菲選擇的格林函數為

(3.1-25)

或

(3.1-26)式(3.1-25)和式(3.1-26)均由兩項組成，第一項仍為中心在觀察點P的單位球面波函數，第二項為中心在P對衍射屏的

鏡像點P′的單位球面波函數，r和r′分別為P和P′到空間任一點的矢徑。兩個單位球面波具有相同的波長λ(和波矢大小k)，相位相反或相同，如圖3.1-5所示。圖3.1-5平面衍射屏的索末菲理論對于式(3.1-25)表示的格林函數有

(3.1-27)考慮到P和P′的鏡像關系，在整個衍射屏面上，恒有r=r′，cos(n,r)=－cos(n,r′)，這些結論應用到式(3.1-25)和式(3.1-27)，在屏幕面S1+SΣ上可得

(3.1-28)把式(3.1-28)代入式(3.1-24)得

(3.1-29)可以看出，由于格林函數G-的正確選擇，使積分式中只包含復振幅U，不包含因此只需對U應用基爾霍夫邊界條件就夠了，即假定:

(1)在透光孔面Σ上，光場復振幅分布U與沒有屏幕時完全相同；

(2)在屏幕的背光面上，光場復振幅分布U恒為零。

于是式(3.1-29)簡化為

(3.1-30)采用與基爾霍夫衍射公式相同的討論方法，令衍射孔由來自P0點的發散球面波照明，那么有

以及

(3.1-31)非單色光的衍射

1.復色光波的衍射公式

設不透明衍射屏上有通光孔Σ，用復色光照明,復色光場用空間和時間變量的復值函數u(P1，t)表示，現求解在孔后的衍射場中觀察點P處的光擾動u(P，t)。采用時間域頻譜分析方法，將u(P1，t)和u(P，t)用傅里葉逆變換表示為各種單色光成分的線性組合：

(3.1-32)

(3.1-33)式中:U(P1，ν)和U(P，ν)分別為u(P1，t)和u(P，t)的時間頻譜函數;ν為光波時間頻率。為了遵循我們前面的約定，即用e－i2πνt表示頻率為ν的單位振幅的平面波，作變量代換ν′=－ν，以上兩式變為

(3.1-34)

(3.1-35)對每一種單色光成分，由單色光衍射公式有

(3.1-36)

把式(3.1-36)代入式(3.1-35)，并注意到k′=2πν′/c，λ′=c/ν′，可得

(3.1-37)對式(3.1-34)求時間t的微商有

(3.1-38)同理有

(3.1-39)

因此式(3.1-37)可寫成

(3.1-40)

2.準單色光波的衍射公式

實際光源都不是理想的單色光源，發出的光波都有一定的線寬。如果光源的線寬比光波的平均頻率小得多，滿足光源發出的光波稱為準單色光。對于準單色光，式(3.1-37)中的ν′、λ′可用來代替，而指數因子中k′當Δkr<<2π時，可近似為這時式(3.1-37)可改寫為

(3.1-41)再利用式(3.1-34)得到

(3.1-42)

如果我們把光振動的復標量函數重新定義為

(3.1-43)式中：U(P1,t)和U(P,t)分別表示P1點和P點處準單色光的復振幅，它們都是空間坐標和時間的函數。把式(3.1-43)代入式(3.1-42)得到

(3.1-44)3.2衍射問題的頻率域分析

頻譜的傳播效應

把式(3.1-30)寫成直角坐標變量的函數

(3.2-1)式中:(x,y,z)和(x1,y1,z1)分別表示衍射場中P點和衍射屏上P1點的坐標。利用二維傅里葉逆變換將UΣ(x1,y1,z1)和

U(x,y,z)展開為

(3.2-2)

(3.2-3)式中:AΣ(ξ1,η1)和Az(ξ,η)分別為UΣ(x1,y1,z1)和U(x,y,z)的頻譜函數。所以衍射問題既可以看成是空域中復振幅UΣ(x1,y1,z1)到U(x,y,z)的傳播，也可以看成是頻率域中頻譜分布AΣ(ξ1,η1)到Az(ξ,η)的傳播。為了導出AΣ和Az之間的關系，令z1=0，即衍射屏位于z=0的平面上。在無源點上U滿足亥姆霍茲方程(+k2)U=0，應用到式(3.2-3)得到

(3.2-4)因此應有

(3.2-5)

由于Az(ξ,η)僅是空間坐標z的函數，與x、y無關，故有由式(3.2-5)可以得到如下坐標變量的微分方程:

(3.2-6)

當z=0時，應有Az(ξ,η)=AΣ(ξ,η)，那么式(3.2-6)的一個根本解為

(3.2-7)分析式(3.2-7)，可以看出頻譜傳播的物理意義：

(1)當(λξ)2+(λη)2<1時，［1-(λξ)2－(λη)2］為實數。式(3.2-7)表示頻譜傳播一段距離z的效應是使各空間頻譜分量僅產生一個相位變化，而振幅和傳播方向保持不變。

(2)當(λξ)2+(λη)2=1時，有λζ=［1－(λξ)2－(λη)2］1/2=0，即ζ=0。ζ表示平面光波沿z軸方向的空間頻率，該頻率分量相當于傳播方向垂直于z軸的平面波，它在z軸方向的凈能流為零。(3)當(λξ)2+(λη)2>1時,［1－(λξ)2－(λη)2］1/2為虛數。令

那么式(3.2-7)可改寫為

(3.2-8)把式(3.2-7)代入式(3.2-3)，得到衍射屏面上頻譜表示的空間復振幅表達式為

(3.2-9)衍射過程的頻譜分析

1.衍射孔對光波頻率的影響

設衍射屏的振幅透射系數為t(x1,y1)，照明光波入射在衍射屏面上的復振幅為U1(x1,y1)，出射光波為UΣ(x1,y1)，三者關系可表示為

(3.2-10)

根據傅里葉變換的乘積定理有

(3.2-11)式中:AΣ、A1和T分別為UΣ、U1和t的頻譜函數。在單位振幅的單色平行光波垂直入射照明的情況下，有A1(ξ,η)=δ(ξ,η)，因此

(3.2-12)2.光波傳播過程的“系統〞分析

光波傳播過程的傳遞函數可由式(3.2-7)直接求得

(3.2-13)

假設傳播距離至少大于幾個波長，那么衰逝波可以忽略，得到傳遞函數為

(3.2-14)3.3基爾霍夫衍射公式的近似

基爾霍夫衍射公式的近似處理方法

1.衍射分區

為了區分不同情況給出不同條件下的衍射近似公式，首先仔細分析無限大不透明屏上的孔被單色平面光波垂直入射照明的衍射結果。實驗得到的衍射場中離衍射屏不同距離各平面上的光強度分布，即衍射把戲如圖3.3-1所示。圖3.3-1平面孔的衍射及其分區2.菲涅耳近似及夫瑯和費近似

由衍射分區的討論可知，不同的衍射區，衍射把戲的主要特征不同，以下討論不同衍射區相應光場分布的數學描述方法。

如圖3.3-2所示，設衍射孔Σ處于(x1,y1,0)面，光源位于(x0,y0,z0)面(圖上未畫出)；那么衍射場中(x,y,z)面上的光場分布由基爾霍夫衍射公式給出

(3.3-1)圖3.3-2衍射公式近似討論示意圖首先假設滿足近軸條件：光源、衍射孔Σ和(x,y,z)面上觀察范圍都分布在z軸附近；并且光源的線度和衍射孔的線度遠小于它們之間的距離，衍射孔的線度和觀察范圍的線度遠小于它們之間的距離。那么有cos(n,r)≈1，cos(n,r0)

≈－1，1/r≈1/z，于是式(3.3-1)可改寫為

(3.3-2)式中:r=［z2+(x－x1)2+(y－y1)2］1/2。在近軸條件下，

［(x－x1)2+(y－y1)2］/z2<<1，故r可展開為假設滿足菲涅耳近似條件：

即

(3.3-3)得到近似式

(3.3-4)此近似式稱為菲涅耳近似。把式(3.3-4)代入式(3.3-2)，得到菲涅耳衍射公式

(3.3-5)如果對衍射孔Σ作更嚴格的限制，使其滿足夫瑯和費近似條件

即

(3.3-6)可進一步得到近似式

(3.3-7)

應用式(3.3-7)，可得到反映衍射把戲根本保持不變的夫瑯和費衍射公式

(3.3-8)菲涅耳及夫瑯和費衍射的“系統〞分析

1.菲涅耳衍射的“系統〞分析

菲涅耳衍射公式，即式(3.3-5)可寫成卷積形式

(3.3-9)由于輸出U(x,y)是輸入UΣ(x1,y1)的疊加積分，因此菲涅耳衍射系統具有線性空不變的性質，而式(3.3-9)中h(x－x1,y－y1)=就是系統的點擴散函數。根據線性不變系統點擴散函數與傳遞函數之間的關系有

(3.3-10)應用卷積定理有

(3.3-11)

式中:A、AΣ分別為U、UΣ的頻譜函數。由于系統的點擴散函數和相應的傳遞函數，對于給定的任意形狀的衍射孔，我們可以很方便地求得衍射光場分布或其頻譜函數。此外，菲涅耳衍射公式還可以寫成傅里葉變換形式

(3.3-12)可見，除了與(x1,y1)無關的振幅和相位因子外，菲涅耳衍射可以看做函數UΣ(x1,y1)×的傅里葉變換。

當用會聚球面波照明時，復振幅UΣ(x1,y1)中將會含有相

位因子當z=z0時，可與相位因子

相消，使衍射積分對應的傅里葉變換大大簡化。2.夫瑯和費衍射的“系統〞分析

與式(3.3-12)相似，夫瑯和費衍射公式可改寫為

(3.3-13)夫瑯和費衍射實例

1.矩孔的夫瑯和費衍射

如圖3.3-3所示，衍射孔的寬、長分別為a和b，求離孔距離為z的觀察平面上的夫瑯和費衍射分布。

顯然，衍射屏后外表上的復振幅分布為

(3.3-14)圖3.3-3矩孔夫瑯和費衍射代入式(3.3-13)得

(3.3-15)衍射強度分布為

(3.3-16)

這說明夫瑯和費衍射光強分布與波長的平方成反比，與衍射孔到觀察面的距離的平方成反比，與衍射孔面積的平方成正比，并在x=y=0處取最大值。矩孔夫瑯和費衍射沿x軸的相對光強分布如圖3.3-4所示。圖3.3-4矩孔夫瑯和費衍射光強分布曲線2.圓孔的夫瑯和費衍射

設衍射孔的半徑為R，如圖3.3-5所示,那么衍射屏后外表上的復振幅分布為

(3.3-17)代入式(3.3-13)得

(3.3-18)圖3.3-5圓孔夫瑯和費衍射光強分布為

(3.3-19)

圓孔衍射的光強分布一般稱為愛里圖樣，中央亮斑稱為愛里斑。愛里圖樣的相對強度分布曲線如圖3.3-6所示。表3.3-1列出了愛里圖樣的一些極大值和極小值點的數據。圖3.3-6圓孔夫瑯和費衍射光強分布曲線由表3.3-1按第一級極小值點得到愛里斑的半徑為

(3.3-20)

式中：D=2R為衍射孔的直徑。應該指出的是，圓孔夫瑯和費衍射的絕大局部光能量都衍射到了愛里斑范圍內。

3.正弦振幅光柵的夫瑯和費衍射

一般來說，衍射屏的振幅透射系數t(P1)可以是模小于1的任意復值函數，當t(P1)為實值函數時，衍射屏只對入射光波的振幅起調制作用，而不影響其相位分布，這樣的衍射屏稱為振幅衍射屏。這里討論正弦振幅光柵的夫瑯和費衍射，其振幅透射系數為

(3.3-21)

式中：0<m≤1。這表示邊長為l的正方形正弦振幅光柵，其振幅透過率曲線如圖3.3-7所示。圖3.3-7正弦振幅光柵透過率曲線由式(3.3-13)得(3.3-22)注意到依賴于變量x的三個sinc函數中央寬度均為2λz/l，而其相鄰的間隔為ξ0λz。當ξ0λz>>2λz/l時，即光柵總條(縫)數N=ξ0l>>2，三個sinc函數之間的交疊可以忽略不計，所以計算衍射光強時，交叉相乘項可以忽略，于是有

(3.3-23)由此得到的正弦型振幅光柵夫瑯和費衍射的相對強度分布曲線如圖3.3-8所示。可見,正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射只有0和±1級頻譜分量。圖3.3-8正弦振幅光柵衍射光強分布曲線假設用多色平面波垂直入射照明，所有波長的夫瑯和費0級衍射極大值都位于x=0處，而由正1級衍射極大值位置方程x－ξ0λz=0可求得1級衍射譜線的色散為

(3.3-24)

又根據瑞利判據可求得1級衍射譜線的分辨本領為

(3.3-25)

可見，正弦型振幅光柵的分辨本領正比于光柵的總條(縫)數。4.正弦相位光柵的夫瑯和費衍射

假設衍射屏只對入射光波的相位起調制作用，不影響其振幅分布，那么稱之為相位衍射屏。而正弦相位光柵的振幅透射系數為

(3.3-26)

式中：m/2為相位調制度，m為任意實數。應用數學關系有

(3.3-27)代入式(3.3-13)得到

(3.3-28)沿x軸的光強分布為

(3.3-29)

由式(3.3-29)可知，正弦相位光柵各級衍射分量的位置由x=nξ0λz確定，而n級衍射分量的峰值強度等于(l2/λz)2J2n(m/2)。與正弦振幅光柵不同的是，正弦相位光柵衍射級次多,但是可以通過適中選擇m/2，使J0(m/2)=0，從而使零級衍射分量消失，將入射光波的能量轉移到分辨本領不等于零的高級衍射分量中去。圖3.3-9示出了調制度m/2=4rad時，光強I(x,0)的曲線圖，其中以(l2/λz)2為強度單位。而圖3.3-10給出了不同n值的J2n(m/2)隨m/2的變化曲線。圖3.3-9正弦相位光柵衍射強度分布曲線圖3.3-10J2n(m/2)隨(m/2)的變化曲線菲涅耳衍射計算

1.圓孔的菲涅耳衍射

1)圓孔衍射的頻率域計算

由衍射的系統分析，我們知道菲涅耳衍射系統是一線性不變系統，衍射光場的頻譜函數可以用衍射系統的傳遞函數求得。為此，假設用單位振幅的平面波垂直入射照明半徑為R的圓孔，那么衍射屏后外表上的復振幅為UΣ(r1)=circ(r1/R)，相應的頻譜函數為

(3.3-30)利用線性不變系統的性質可求得衍射光場復振幅U(x,y)的頻譜函數為

(3.3-31)

這就是圓孔菲涅耳衍射的空間頻譜分布，它表示觀察面上光波場不同空間頻率成分的含量及其相位延遲量。而頻譜強度分布為

(3.3-32)2)圓孔軸線上的菲涅耳衍射

為求得圓孔軸線上的菲涅耳衍射光場分布，建立如圖3.3-11所示的柱坐標系，衍射孔半徑為R，圓孔軸線與z軸重合，圓孔上任一點Q的坐標為(r,θ)，觀察面上P點的

坐標為(ρ,j,z)。假設用單位振幅的平面波垂直入射照明的圓孔，那么衍射屏后外表上的復振幅為UΣ(r1)=circ(r/R)。假設觀察點P(ρ,j,z)在z軸上，有ρ=0，于是菲涅耳衍射積分式(3.3-5)可寫成

(3.3-33)相應的光強分布為

(3.3-34)圖3.3-11圓孔軸上菲涅耳衍射分析示意圖光強分布隨z的變化曲線如圖3.3-12所示，隨著z的增大，I(0,j)在z等于…，R2/5λ，R2/3λ，R2/λ處取極大值，在兩個極大值之間有一極小值零，這說明軸線上的光強有亮暗變化；進一步，當z>R2/λ時，軸上衍射光強隨著z的增加而單調減小，I(0,j)不再有亮暗交替變化，即逐漸趨于滿足夫瑯和費衍射條件。圖3.3-12圓孔軸上菲涅耳衍射光強分布2.直邊的菲涅耳衍射

1)矩形孔的菲涅耳衍射和菲涅耳積分

設邊長為2a的方孔用單位振幅的單色平面波垂直入射照明，那么衍射屏后外表的復振幅分布為代入式(3.3-5)得

(3.3-35)作變量代換：

式(3.3-35)簡化為

(3.3-36)其中積分上、下限分別為

(3.3-37)

為求解式(3.3-36)，引入菲涅耳積分

(3.3-38)以及菲涅耳積分函數

(3.3-39)

菲涅耳積分具有如下性質：

(3.3-40)應用菲涅耳積分，式(3.3-36)可改寫為

(3.3-41)相應的光強分布為

(3.3-42)用菲涅耳積分求衍射光場分布一般按如下步驟進行：對于給定的觀察點(x,y)，將其代入式(3.3-37)，確定積分上下限v1、v2、w1、w2；再查菲涅耳積分值表(表3.3-2)確定C(v1)、C(v2)、S(w1)、S(w2)的值；然后把上述值代入式(3.3-41)和式(3.3-42)便可求得該觀察點的復振幅U(x,y)和

光強度I(x,y)值。重復以上步驟，便可得到菲涅耳衍射光場分布。對于正方形孔，菲涅耳衍射的復振幅和光強沿x和y的分布相同，圖3.3-13所示為振幅隨x的變化曲線。圖3.3-13矩孔菲涅耳衍射振幅曲線2)單縫的菲涅耳衍射

單縫菲涅耳衍射可作為方孔衍射的一個特例來處理，只需將方孔的一個對邊向y(或x)軸方向無限延伸，便成為單縫。此時有w1=－∞,w2=∞。由菲涅耳積分性質可知把此值代入式(3.3-41)和式(3.3-42)，分別得到單縫菲涅耳衍射的復振幅和光強分布為

(3.3-43)

(3.3-44)3)半無限大開孔的菲涅耳衍射

如果單縫的寬度遠大于照明波長，在菲涅耳衍射中衍射的影響主要在直邊附近的范圍，求直邊的菲涅耳衍射光場分布可以只考慮狹縫的一個邊，而將其另一個邊看做在無窮遠處。此時，可以取v1=－∞，及C(－∞)=S(－∞)=－1/2，代入式(3.3-43)和式(3.3-44)，得到直邊菲涅耳衍射的復振幅和光強分布為

(3.3-45)

(3.4-46)如果觀察點離開幾何投影的陰影區足夠遠，這時可近似認為v2=∞，及C(∞)=S(∞)=1/2，代入式(3.3-45)得

這實際上就是無衍射屏時觀察點上的復振幅。如果觀察點剛好在幾何投影的陰影區邊緣，那么有v2=0，及C(0)=S(0)=0，代入式(3.3-45)得

可見，在幾何陰影區邊緣上的復振幅值等于無阻擋時復振幅的一半，而光強是無阻擋時的1/4。如果觀察點在幾何投影的陰影區，而且離開陰影邊緣足夠遠，便可近似認為v2=∞，可得

即觀察點在較深陰影區時，與完全阻擋時一樣。半無限大開孔的菲涅耳衍射的光強分布曲線如圖3.3-14所示。圖3.3-14半無限大開孔的菲涅耳衍射光強分布曲線3.會聚光照明時的菲涅耳衍射

假設用會聚光照明，根據式(3.2-10)，衍射屏后外表上的復振幅分布為

(3.4-47)如果照明光波的會聚中心到衍射屏的距離z1=z，那么根據式(3.3-12)，得到

(3.3-48)3.4透鏡的變換特性

透鏡的相位變換特性

由于透鏡的折射率與周圍介質的折射率不同，因此光波通過透鏡會產生相位延遲。又因為各光線入射點對應的透鏡厚度不同，所以形成的相位延遲就不一樣。下面推導光波經過薄透鏡的相位變化與透鏡結構參數之間的關系。圖3.4-1所示為所要研究的薄透鏡。圖3.4-1薄透鏡相位變換透鏡的兩外表曲率半徑分別為R1和R2，中心厚度為Δ0，折射率為n；把點(x,y)處的透鏡厚度記作Δ(x,y)，對應于R1和R2上的拱高分別為z1(x,y)和z2(x,y)。假設入射光波在入射平面(透鏡前外表)的復振幅為U(x,y)，那么經透鏡后的出射面(透鏡后外表)內的復振幅U′(x,y)應為

U′(x,y)=t(x,y)U(x,y)

(3.4-1)式中:t(x,y)=eij(x,y),j(x,y)表示光波經過透鏡的相位延遲。按薄透鏡假設，入射到點(x,y)處的相位延遲可以寫成

(3.4-2)由幾何關系可求得用R1和R2所表示的z1(x,y)和z2(x,y)。假設仍按幾何光學中的符號規那么來確定透鏡曲率半徑的正、負，那么R1>0，R2<0，應用旁軸近似條件，可以得到

即

(3.4-3)由于R2<0，同理可得

(3.4-4)

將式(3.4-3)和式(3.4-4)代入式(3.4-2)得

(3.4-5)式中:f為薄透鏡焦距。將式(3.4-5)代入式(3.4-1)得

(3.4-6)

那么

(3.4-7)假設入射光波是單位振幅的軸向平面波，那么出射光分布為

可見，當f>0時，出射光波會聚于透鏡后距透鏡為f的F′點，為會聚球面波，如圖3.4-2(a)所示；當f<0時，出射光為發散球面波，發散點位于透鏡前距透鏡為f的F點，如圖3.4-2(b)所示。圖3.4-2透鏡對平面波的相位變換(a)會聚透鏡對軸向平面波的作用；(b)發散透鏡對軸向平面波的作用透鏡的傅里葉變換特性

1.一般變換關系式

假設所研究物體置于透鏡前d處的輸入面P0，振幅透射系數為t(x0,y0),用復振幅分布為A(x0,y0)的光波照明物體，考察透鏡后距透鏡為q的P面上的復振幅分布，如圖3.4-3所示。圖3.4-3透鏡的一般變換示意圖由圖3.4-3看出，P0面的出射光場復振幅分布為

U(x0,y0)=A(x0,y0)t(x0,y0)

(3.4-8)

入射到透鏡P1面上的復振幅分布可由菲涅耳衍射公式求得

(3.4-9)應用式(3.4-6)，得到經透鏡變換后光場的復振幅分布為

(3.4-10)

再一次應用菲涅耳衍射公式，得到輸出面P上的復振幅分布為

(3.4-11)對中括號內指數局部變量x和y分別配方，積分后得

(3.4-12)式中:c為一復常數；m=fq－dq+df。假設取

那么式(3.4-12)可改寫為(3.4-13)2.輸入面位于透鏡前d處

1)軸上平行光照明

軸上平行光照明即軸上點光源位于透鏡前無限遠處。設照明平面波振幅為1，那么有

(3.4-14)

考慮輸出面位于透鏡后焦平面，那么有q=f，q－f=0，因此E(ξ,η)=δ(ξ,η)，所以

(3.4-15)如果物體位于透鏡前焦面，有d=f，這時由于物面偏離前焦面帶來的二次曲面相位彎曲為零，式(3.4-15)可簡化為

(3.4-16)

即位于透鏡前焦面的光場分布與透鏡后焦面的光場分布之間的關系為傅里葉變換關系。

如果物體緊貼透鏡，那么有d=0，m=f2。此時，式(3.4-15)變為

(3.4-17)

輸入、輸出面之間為準傅里葉變換關系。2)軸上點光源照明

設點光源S在透鏡前距透鏡p處，并與輸出面軸上點S′成像共軛，即1/p+1/q=1/f，如圖3.4-4所示。圖3.4-4軸上光源照明這時，照明光束在物面上的光場復振幅分布為

應用那么有

(3.4-18)以及

(3.4-19)

作卷積有

(3.4-20)考慮到1/p+1/q=1/f，有p－d+m/(f－q)=0，以及

和δ函數的乘積特性，式(3.4-20)可簡化為

將上述結果代入式(3.4-13)得到輸出面上的復振幅分布為

(3.4-21)這說明，當照明光源面和輸出面對于透鏡成像共軛時，輸入物體透射率與輸出面上的光場復振幅分布滿足準傅里葉變換。相應的空間頻率分別為

(3.4-22)

3.物位于透鏡后d1處

如圖3.4-5所示，振幅透射系數為t(x0,y0)的物體位于透鏡后距透鏡d1處，軸上點光源照明，仍考慮光源共軛面為輸出面，即1/p+1/q=1/f。圖3.4-5物體位于透鏡后d1處下面我們來討論物面復振幅分布和輸出面上的復振幅分布之間的變換關系。

點源發出球面波，在透鏡前外表上的復振幅分布為

(3.4-23)經透鏡變換后，透鏡后外表上的復振幅分布為

(3.4-24)顯然，這是會聚于輸出面軸上點的會聚球面波，因此入射在物體上的光場復振幅分布為

物面出射光波場的復振幅分布為應用菲涅耳衍射公式，得到輸出面上光場的復振幅分布為

(3.4-25)3.5光學成像系統的空間變換特性

正薄透鏡的成像

假設所研究的透鏡是無像差的正薄透鏡，它是最簡單的光學成像系統。如圖3.5-1所示，設物體置于透鏡前d0處，用單色光照明，并設緊貼物體后平面上的光場復振幅分布為U0(x0,y0),在透鏡后di處平面上的光場復振幅分布為

Ui(xi,yi)，且滿足1/d0+1/di=1/f。圖3.5-1正薄透鏡成像中各平面對應位置把物函數U0(x0,y0)分解為基元函數的線性組合

(3.5-1)

那么根據線性系統理論，只要求得基元函數δ函數的響應，即系統的點擴散函數h，即可求得輸出面上的復振幅分布Ui(xi,yi)為

(3.5-2)由菲涅耳衍射公式，物面上點(x0,y0)處發出的單位振幅的光波在透鏡前后外表上的復振幅分布分別為

(3.5-3)再應用一次菲涅耳衍射公式，略去相位延遲中的常數項，得到點擴散函數

(3.5-4)考慮到1/d0+1/di=1/f，那么有

(3.5-5)由于透鏡成像的橫向放大率為M=di/d0，因此有

(3.5-6)代入式(3.5-2)得

(3.5-7)考慮到最終測量和觀測的是光強分布，所以式(3.5-7)中相位項不影響光強分布，故幾何像為

(3.5-8)

相應幾何像的點擴散函數為

(3.5-9)實際透鏡尺寸有限，為此，引入光瞳函數P(x,y)描述透鏡的有限孔徑，這時透鏡的相位變換函數為

且光瞳函數P(x,y)定義為

(3.5-10)這時，忽略二次相位因子的點擴散函數為

(3.5-11)

作變量代換：以幾何像點為參考點，式(3.5-11)可改寫為

(3.5-12)式中：xg=－Mx0,yg=－My0為幾何像點的位置坐標。所以有

(3.5-13)

假設用幾何像點的位置坐標代替物面坐標，式(3.5-7)可改寫為

(3.5-14)式中:

(3.5-15)一般光學系統的黑箱模型及線性特性

1.一般光學成像系統的黑箱模型

由物理光學的知識可知，在所有光學元件中，總可以找到一個孔徑光闌，它實際限制物點的成像光束寬度。孔徑光闌經它前面的光學元件所成的像就是入射光瞳，經它后面的光學元件所成的像就是出射光瞳。入射光瞳(入瞳)和出射光瞳(出瞳)是一對等光程共軛面。

這樣，就不需要考慮系統的真實結構，形象地認為把全部光學元件裝入黑箱中，入射光瞳和出射光瞳是它的兩個端面。其模型如圖3.5-2所示。圖3.5-2成像系統的黑箱模型2.一般光學系統的線性特性

1)相干光照明時系統的線性特性

由局部相干理論可知，準單色光波可看做波長是中心波長的單色光波，因此，相干光照明時的物像關系仍可由式(3.5-14)描述，不過系統點擴散函數中的波長應當理解為準單色光的中心波長。像面上的光強分布由下式給出:

(3.5-16)把式(3.5-14)代入，交換積分和求時間平均值的順序得到

(3.5-17)當物面完全相干時有

(3.5-18)

即把物面上任一點的復振幅隨時間的變化用原點復振幅隨時間的變化來表示。對Ug(xg′,yg′,t)作同樣處理，并應用于式(3.5-17)得到

(3.5-19)同理有

(3.5-20)

所以

(3.5-21)

可見，相干成像系統對復振幅是線性的。2)非相干光照明時系統的線性特性

當物面光場為空間非相干時，像面光場也是非相干的，不同位置上的幾何像點的光擾動互不相關。因此有

(3.5-22)

代入式(3.5-17)得

(3.5-23)3.6光學成像系統的頻率特性

及其傳遞函數

相干成像系統的頻率特性和相干傳遞函數

1.相干傳遞函數的概念

由節的討論可知，相干成像系統對復振幅是線性的，對于衍射受限系統，像面上的復振幅分布與物體理想幾何像的復振幅分布的關系為

(3.6-1)式中：h′(xi,yi)為相干光學成像系統的點擴散函數。對式(3.6-1)兩邊進行傅里葉變換，并由卷積定理得

(3.6-2)

式中:Gi(ξ,η)、Gg(ξ,η)分別為像和幾何像復振幅的頻譜；Hc(ξ,η)為相干光學成像系統點擴散函數的傅里葉變換，顯然它是系統的傳遞函數，這里定義為相干光學成像系統的相干傳遞函數。由于因此由傅里葉變換的性質得

(3.6-3)

其中，“－〞是由于一個函數連續兩次傅里葉變換所產生的，它與光瞳坐標的指向有關。假設使坐標指向反向，那么式中負號消失。這并不影響所研究的問題，故式(3.6-3)可改寫為

(3.6-4)2.相干傳遞函數的計算實例

例3.1方形光瞳。設相干成像系統的出射光瞳為邊長l的正方形，那么光瞳函數為

于是根據式(3.6-4)得到相干傳遞函數為

(3.6-5)即

(3.6-6)把Hc取值開始為零時對應的頻率稱為截止頻率。方形光瞳在ξ和η方向上的截止頻率均為ξ0=η0=l/2λdi，其通頻帶如圖3.6-1所示。顯然，沿圖3.6-2所示θ=45°方向上，其截止頻率最大，是ξ或η方向的倍，即

圖3.6-1方形光瞳的傳遞函數圖3.6-245°方向上的相干傳遞函數例3.2圓形光瞳。當光學成像系統的出射光瞳為直徑等于l的圓孔時，其光瞳函數為圓域函數

那么相干傳遞函數為

(3.6-7)即

(3.6-8)

此時，截止頻率ξ0=l/(2λdi)，如圖3.6-3所示。圖3.6-3圓形光瞳的傳遞函數

3.相干傳遞函數的物理意義

由式(3.6-2)可知，相干傳遞函數

(3.6-9)非相干成像系統的頻率特性和光學傳遞函數

1.光學傳遞函數的概念

當光學系統用非相干光照明時，物、像光強分布之間的關系是線性的，而對復振幅是高度非線性的。為了表示光學成像系統的這種特性，引入光學傳遞函數的概念。在非相干光照明情況下，像面光場強度分布與幾何像光強分布之間的關系為

(3.6-10)

式中：hI′

(xi,yi)=|h′(xi,yi)|2為強度點擴散函數。對式(3.6-10)兩邊進行傅里葉變換得

(3.6-11)定義Ii、Ig和hI′的歸一化頻譜分別為那么非相干成像的物像強度歸一化頻譜間的關系為

(3.6-12)

式中:H(ξ,η)描述了非相干光照明時成像系統的頻率特性，稱為光學傳遞函數(OTF)。一般來說，H(ξ,η)是一個復值函數，即

2.光學傳遞函數的性質

1)光學傳遞函數與相干傳遞函數的關系

應用相關定理有