請你幫幫它如圖，兩條小河交匯形成的三角區(qū)，土壤肥沃，氣候宜人，小豬看中了這塊寶地，想在這里建一個小房子，并使房子到兩條小河的距離相等，但它不知該如何選址，你能幫幫它嗎？房子該建在哪兒呢？情境導(dǎo)航昌邑市奎聚中學(xué)齊亞軍D····CBAE

19.4.3

角平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的證明過程，掌握角的平分線的性質(zhì)定理及其逆定理2.能運用角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理解決有關(guān)問題.

3.通過觀察、類比、歸納等方法嘗試從不同角度分析問題，提高解決問題的能力。角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等角的平分線的性質(zhì)定理:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分線∴

PD＝PE用數(shù)學(xué)語言表述：復(fù)習(xí)回顧你能證明嗎？角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。ODAPE

B∟∟已知OP平分∠ＡＯＢ，PD⊥OA,PE⊥OB垂足分別為D、E。求證：PD＝PE。1、請你寫出角平分線性質(zhì)定理的逆命題為：

2、這個命題是否正確？你能用邏輯推理的方法加以驗證嗎？試一試。交流總結(jié)到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴

Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）

∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．到一個角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：總結(jié)歸納：角平分線性質(zhì)定理的逆定理角平分線的判定定理1、如圖，點P是菱形ABCD的對角線上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F,已知PF=5，則PE=2、如圖，點P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB=30°，則∠AOB=

學(xué)以致用OPAB560°BDACFEP3、如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上鞏固運用請你總一總

通過剛才的練習(xí)，你認(rèn)為角平分線的兩個定理有什么區(qū)別？它們各有什么作用？已知角平分線用性質(zhì)定理，可得兩線段相等;由所給條件判定出角平分線用性質(zhì)定理的逆定理，可得角相等。直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程1、如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P也在∠BAC的平分線上.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,PD⊥AB，PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴點P在∠BAC的平分線上.試一試通過本題的證明，你能得到一個關(guān)于三角形角平分線的什么結(jié)論？三角形的三條角平分線交于一點，并且交點到三角形三邊的距離相等。想一想實踐應(yīng)用1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處提示:由于沒有限制在何處選址,你應(yīng)怎樣考慮？D 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？與你的同伴交流一下。課堂小結(jié)1、關(guān)于三角形的角平分線的說法錯誤的是()A.兩角平分線的交點在三角形內(nèi)B.兩角平分線的交點在第三個角的平分線上C.兩角平分線的交點到三邊的距離相等D.兩角平分線的交點到三個頂點的距離相等2、如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AD為∠CAB的平分線，交BC于D，BC=5，BD=2則點D到AB的距離為()課堂延伸CDAB3、如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD變式訓(xùn)練：若已知AD是△ABC