第十八章平行四邊形歸納與復習復習目標：1.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、的概念以及它們之間的關系.2.探索并證明平行四邊形、矩形、菱形、正方形、的性質定理和判定定理.3了解平行線之間距離的意義4.探索并證明三角形中位線定理.5。通過平行四邊形、矩形、菱形、正方形、的性質定理和判定定理.以及相關的證明和計算進一步培養和發展學生的演演繹推理能力.6通過分析平行四邊形、矩形、菱形、正方形概念之間的聯系與區別，使學生進一步認識一般與特殊的關系。復習重點：平行四邊形的概念、性質定理和判定.三角形中位線定理及應用。難點:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等特殊平行四邊形的聯系與區別是本章的難點.學好本章的關鍵：掌握平行四邊形的概念性質定理和判定定理，并能應用這些知識解決實際問題是學好本章的關鍵.一、幾種特殊四邊形的性質項目四邊形邊角對角線對稱性對邊平行且相等對邊平行且相等對邊平行且四邊相等對邊平行且四邊相等對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1.定義：兩組對邊分別平行2.兩組對邊分別相等3.兩組對角分別相等4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等1.定義：有一個角是直角的平行四邊形2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形;2.對角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個角是直角的菱形5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線垂直一組鄰邊相等或對角線垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系四、其他重要概念及性質1.兩條平行線之間的距離：2.三角形的中位線定理：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.五、注意：四邊形中常見的基本圖形1.如圖,在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規作∠BAD的平分線交BC于點E(尺規作圖的痕跡保留在圖中了),連接EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．（1）證明：由尺規作∠BAF的角平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在中，AO=4，∴AE=2AO=8．2.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別在OA，OC上(1)給出以下條件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，請你從中選取兩個條件證明△BEO≌△DFO；(2)在(1)條件中你所選條件的前提下，添加AE＝CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明(1)選取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO(ASA)；(2)由(1)得：△BEO≌△DFO，∴EO＝FO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．．3、如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，則BD的長是多少？=5，解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO=∴BD=2BO=10.4、如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE=CD，即D為CE中點，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=∴CE=2∴AB=1，5、在一個平行四邊形中，若一個角的平分線把一條邊分成長是2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長是多少.解：如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE．（1）當AE=2時，則平行四邊形的周長=2(2+5)=14．（2）當AE=3時，則平行四邊形的周長=2(3+5)=16．6、如圖，ABCD為平行四邊形，E、F分別為AB、CD的中點，①求證：AECF也是平行四邊形；②連接BD，分別交CE、AF于G、H，求證：BG=DH；③連接CH、AG，則AGCH也是平行四邊形嗎？解：?：根據已知可知：AE∥FC且AE=FCAD=BCDF=EB∠ABC=∠ADC∴△ADF≌△CBE(SAS)∴AF=CE∠DAF=∠ECB∴四邊形AECF是平行四邊形?：是平行四邊形∵DH=BGAD=BC∠HDA=∠GBC∴△AHD≌△CBG(ASA)∴AH=CG∴同理可證得CH=AG∴四邊形AGCH是平行四邊形?：∵AD∥BC∴∠ADH=∠CBG∴∠ADH=∠CBG∠DAF=∠ECBAD=BC∴△ADH≌△CBG(ASA)∴DH=BG7、如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是多少？解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折點B恰好落在AD邊的B′處，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等邊三角形，Rt△AEB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，即AB=2∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面積=AB?AD

=16．∴A′B′=2∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，8、以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連結BE、CF，試探索BE和CF長度的關系？并證明。分析：（1）由正方形ACDE和正方形ABGF可得AF=AB，AE=AC，∠FAB=∠EAC=90°，即可得到∠FAC=∠BAE，從而證得△FAC≌△BAE，結論得證；∵正方形ABGF，正方形ACDE，

∴AF=AB，AE=AC，∠FAB=∠EAC=90°，

∵∠FAC=∠FAB+∠BAC，∠BAE=∠EAC+∠BAC，

∴∠FAC=∠BAE，∴△FAC≌△BAE，

∴BE=CF；9、

如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，其交點為O，若BC=6，BC邊上的高為4，試求陰影部分的面積．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵AB∥CD，∴∠EAO=∠HCO.又∵∠AOE＝∠COH，∴△AEO≌△CHO（ASA），同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S陰影=S△BCD，則S△BCD=S平行四邊形ABCD=×6×4=12．EHQGFP10、如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF.(1)求證：∠ECF＝90°；(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；(1)證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝×180°＝90°.(2)解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵當點O運動到AC的中點時，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形