裝訂線裝訂線特別提示：自信考試誠信做人專業:層次：年級：班級：座號：學號：姓名：第1頁共3頁山東大學2022-2023學年第二學期《高等數學Ⅰ(下)》統一考試試題（A卷）（適用于2022級普通本科學生，閉卷考試，時間120分鐘）題號一二三四總分復核人得分得分一、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.直接將答案寫在題中的橫線上.）閱卷人1.微分方程的通解為.2.已知點與，則與向量同方向的單位向量為.3.設，則.4.交換積分次序.5.設L為拋物線上點到點之間的一段弧，則.6.級數的收斂性是（填收斂或發散）．得分閱卷人二、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個選項是正確的,將正確選項前的字母寫在題干后的方括號內）1.以下是二階微分方程的是 【】(A)； (B)；(C)； (D).2.設向量與相互垂直，則 【】(A)； (B)； (C)； (D).3.下列說法正確的是 【】(A)若函數在點連續,則函數在點可微；(B)若函數在點可微,則函數在點連續；(C)若函數在點偏導數存在，則在點可微；(D)以上說法都不對.4.設,則 【】(A)； (B)； (C)； (D).5.設曲線積分與路徑無關，則【】(A)； (B)； (C)； (D).6.設正項級數收斂，則下列級數中一定收斂的是【】(A)； (B)； (C)； (D).注意：以下各大題都要寫出必要的計算步驟或推導過程，直接寫出答案者不得分．得分閱卷人三、簡答題（本題共6小題，每題8分，共48分）1.求微分方程的通解.2.求過點且平行于兩平面的直線方程.3.設,且具有二階連續的偏導數,求,.4.設，計算二重積分.5.計算，其中為介于與之間的圓柱體的整個表面的外側.6.求冪級數的收斂域與和函數.得分閱卷人四、應用題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）1.求由曲面和圍成的立體的體積.2.在平面上求一點，使它到軸、軸和直線的距離的平方和最小.參考答案（適用于2022級普通本科學生，閉卷考試，時間120分鐘）一、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.直接將答案寫在題中的橫線上.）1.;2.;3.;4.;5.;6.收斂.二、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個選項是正確的,將正確選項前的字母寫在題干后的方括號內）1.B;2.C;3.B;4.C;5.C;6.D.注意：以下各大題都要寫出必要的計算步驟或推導過程，直接寫出答案者不得分．三、簡答題（本題共6小題，每題８分，共48分）1.求微分方程的通解.解方程為一階非齊次線性微分方程，其中，………1分由通解公式得………3分………4分………6分………7分.………8分2.求過點且平行于兩平面的直線方程.解方法一過點且平行于平面與的平面方程分別為與,………4分即與,………6分于是所求直線方程為………8分方法二兩已知平面的法向量為………2分所求直線的方向向量為.………6分所以直線的點向式方程為,即.………8分3.設,且具有二階連續的偏導數,求,.解………4分………6………84.設，計算二重積分.解首先有.………2分對于上式右邊第一個積分,利用極坐標計算得………4分至于第二個積分,因為積分區間關于軸對稱,且被積函數關于是奇函數,所以有.………6分于是………8分5.計算，其中為介于與之間的圓柱體的整個表面的外側.解記圍成的空間區域為，由高斯公式得………2分………4分………6分.………8分6.求冪級數的收斂域與和函數.解因,所以冪級數收斂半徑，收斂區間為；………2分當時，級數收斂，當時，級數發散，………3分所以原冪級數的收斂域為.………4分設，則，………5分記，………6分則，兩邊積分得………7分所以，.………8分四、應用題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）1.求由曲面和圍成的立體的體積.解法一由得，即立體在面上的投影區域，………1分由二重積分得………2分………4分………5分………6分.………8分法二設立體區域為，則，………1分由三重積分得………3分………5分………6分.………8分2.在平面上求一點，使它到軸、軸和直線的距離