PAGEPAGE1陜西省西安市2024屆高三上學期期末模擬數學試題（理）01一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，故選：B.2.已知復數，則對應復平面內的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，則對應復平面內的點為，所以對應的點在第四象限.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以故選：C4.函數的部分圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數，定義域為，，，，有，ACD選項不符合.故選：B5.2022年4月8日（當地時間），美國富豪馬斯克的太空探索公司“SpaceX”首次用“龍”飛船將4人送上太空站，某班物理老師依此事實為基礎，在班里舉行了太空知識講座，老師抽取了班里的10名同學（其中男生6名，女生4名）進行了相關問題的提問，然后，又從這10名同學中隨機抽取4人在班里輪流發言，則抽取的女生人數不低于男生人數，且第一個發言的為男生的不同情況有（）A.540種 B.1080種 C.1208種 D.1224種【答案】D【解析】從男生6名，女生4名共10人中，抽取4人，抽取的女生人數不低于男生人數的情況有：1男3女或者2男2女.1男3女且第一個發言的為男生發言共有：種；2男2女且第一個發言的為男生發言共有：；抽取的女生人數不低于男生人數，且第一個發言的為男生的不同情況有：種.故選：D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數為上的增函數，所以，因為函數為上的增函數，所以，因為函數為上的減函數，所以，函數為的增函數，所以，所以，故選：B.7.在古希臘數學家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐中，點與底面圓都在同一個球面上，若球的表面積為，則圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓錐的軸截面為等腰直角三角形，如圖所示：在直角圓錐中，點與底面圓都在同一個球面上，由，所以為球的直徑，若球的表面積為，由，球的半徑，則圓錐底面半徑，圓錐母線長，所以圓錐的側面積為.故選：A8.費馬點是法國著名數學家費馬于1643年提出的，根據費馬的結論可得：當的三個內角都小于時，在內部存在唯一的點，使到三角形三個頂點距離之和最小，且點滿足：.在直角坐標系內，的費馬點為，則點到直線的距離為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】如圖所示：為等腰三角形，軸于，是中點，故，，故，，直線的方程為，即，故點到直線的距離為.故選：D.9.把函數的圖象向左平移個單位長度可以得到函數的圖象，若在處取得最大值，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由題意知，又因為在處取得最大值，結合三角函數的性質，解得：,所以，,故選：B.10.不過原點的直線與雙曲線交于兩點，為的中點，為坐標原點，若直線的斜率小于，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設點，則有兩式作差解得：即設因為代入整理得：即由題意知因為，，又因為，解得：即，故選：B.11.已知數列的各項均為正數，且.若的前項之積為，則滿足的正整數的最大值為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】C【解析】因為，兩邊取對，解得：所以是以為首項，以2為公比的等比數列，，，，令，即根據等比數列的求和公式，整理得；又因為所以正整數的最大值為10，故選：C.12.已知是定義在上的偶函數，若、時，恒成立，且，則滿足的實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，，令，則，所以，函數在上為增函數，對任意的，，所以，函數為上的偶函數，且，由可得，即，即，所以，，即，構造函數，其中，則，故函數為上的增函數，且，，由可得，故.故選：B.第II卷（非選擇題）二?填空題13.已知向量，滿足，，且，則夾角的余弦值為___________.【答案】【解析】由，得，因為，，所以，得，則，設夾角為，則，所以夾角的余弦值為，故答案為：14.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，且的最小值為，則到拋物線的準線的距離為___________.【答案】或【解析】設直線的方程為，由消去并化簡得，，則①，，當時等號成立，所以②，由①②解得或，所以到拋物線準線的距離為或.故答案為：或15.已知函數，若的極小值為負數，則的最小值為___________.【答案】7【解析】，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，，因為函數的極小值是負數，所以，所以，因為，所以的最小值是7.故答案：7.16.如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為___________.【答案】【解析】連接交于點，平面，平面，則，因為四邊形為菱形，則，，、平面，平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，易知平面的一個法向量為，因為平面，所以，，設點，其中，則，由已知可得，因為，解得，即點，設點，則，因為，則，可得，且，可得，所以，點，因為平面，、平面，，，且，所以，.故答案為：.三?解答題17.在中，角的對邊分別為，若.（1）求角；（2）若，求的面積最大值，并求對應的的周長.解：（1）根據正弦定理由，因為，所以，所以可得，因為，所以；（2），當且僅當時取等號，即當且僅當，由余弦定理可知，所以的面積最大值為，此時周長為.18.2022年10月1日，某超市舉行“迎國慶促銷抽獎活動”，所有購物的顧客，以收銀臺機打發票為準，尾數為偶數（尾數中的奇偶數隨機出現）的顧客，可以獲得三次抽獎，三次抽獎獲得獎品的概率分別為，，，每次中獎都可以獲得一份獎品，且每次抽獎是否中獎互不影響.（1）求顧客獲得兩個獎品的概率；（2）若3位購物的顧客，沒有獲獎的人數記為，求的分布列與數學期望.解：（1）顧客獲得兩個獎品的概率為：.（2）個顧客沒有獲獎的概率為，所以，則的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以.19.如圖，四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，且是邊長為4的等邊三角形，為的中點，點在線段上.（1）若，求證：平面平面；（2）若為的中點，求二面角的余弦值.（1）證明：因為是邊長為4的等邊三角形，為的中點，所以，因為，，所以在中，，所以即，因為平面平面，平面平面，，平面所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面（2）解：連接，易得是等邊三角形，且是的中點，所以，以O為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則則設平面的法向量，則，取，則，∴，設平面的法向量，則，取，則，∴，設二面角為，由圖可得二面角為銳角，故二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左?右焦點分別為，橢圓的離心率為，點在橢圓上，的中點在軸上，且，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，若直線與的斜率之積為，求的面積.解：（1）因為點在橢圓上，的中點在軸上，根據對稱可得，所以軸，故即①，由橢圓的離心率為可得②，由①②可得，所以，所以橢圓的方程為（2）由消去y并整理得：，，設，則有，，因此，整理得，滿足，點O到直線的距離，，故的面積21.已知函數.（1）若在處切線與軸垂直，求的極值；（2）若有兩個不同的極值點，且恒成立，求的取值范圍.解：（1），的定義域為，，若在處的切線與軸垂直，則，所以，，所以在區間遞增；在區間遞減.所以的極大值為，極小值為.（2）若有兩個不同極值點，則有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，所以，解得.，，依題意，恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，所以，解得.故的取值范圍為選修4-4坐標系與參數方程22.在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（其中為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）把曲線的參數方程化為普通方程，并說明曲線的形狀；（2）若直線與曲線交于兩點，與軸交于，與的面積分別為，求.解：（1）曲線C的