i.對一個uri系統，我們已知如下信息：輸入信號x⑺=4e2'”(—r)；輸出響應

y(t)=e2,u(-t)+e~2'u(t)

(a)確定系統的系統函數H(s)及收斂域。

(b)求系統的單位沖激響應h⑴

(c)如果輸入信號x(t)為x?)=e-',-8<f<+8求輸出y(t)。

-11-4

解：(a)X(s)=——,Re{s}<2,y(s)=---1---=--------,<-2Re{5)<2

s-2s—2s+2(s—2)(s+2)

“(s)=」一,Re{s}>-2

5+2

(b)h(t)=e~21u(t)

(c)y(f)=[e~[t~T)e~2xu(S)dT=e-t;y(t)==e~l.

J—30

2.已知因果全通系統的系統函數〃(s)=±1，輸出信號y(f)=e-2，〃(。

s+1

(a)求產生此輸出的輸入信號x⑴.

(b)若已知1|x(t)\dt<oo,求輸出信號x(t).

J—00

(c)已知一穩定系統當輸入為e-2%?)時，輸出為上述x(t)中的一個，確定是哪個？求出

系統的單位沖激響應h(t).

解：(a)

丫⑸_s+i

丫⑸=士。Re{s}>—2,X(s)

H(s)(s-l)(s+2)

由于H(s)的ROC為Re{s}>T,X(s)的ROC為-2VRe{s}<1或Re{s}>1

i?

若AOG為-2<Re{s}〈l,則玉=⑴一

21

若ROC?為Re{S}>1.x2(t)=1(e-+2d)〃⑺

(b)若J|x(t)由<oo,則只能是=

I2

即：x(r)=qe，〃(/)一

(c)y(t)=x(t)=；Y(s)=——：：]，—2<Re{s}<1

33(s-l)(s+2)

v+i

==-—,這就是(a)中系統的逆系統。

X(S)5—1

由于系統穩定.??ROC為uc(t)Re{s}<1

/z⑺=3⑺-2d〃(T)

?.?Y(s)的ROC為Re{s}>—2,二X(s)的ROC為-2vRe{s}<1

x(t)=ge""⑺一2d"(-r)

y(f)*h(t)=e~2'u(t)—2e~2lu(t)*e'u(—t)

當t>0時，e~2'u(t)*e'u(-t)=(°ere~2(,'r}dr=-e~2,u{t}

J-83

當t<0時，⑺*""(—a=『ere~2(,'r)dt=^e~2,u(-t)

i2

y?)*h(t)=-e"2,u(f)--e'u(-t)=x(t)

從而證明該系統當輸入為)C),輸出為x(r)

3.對差分方程

y(")+之y(〃-1)+Jy(n-2)=x(〃)+《x(〃-1)

oo2

所確述的LTI穩定系統，確定

(a)系統函數;(b)單位脈沖響應;

(c)若系統輸入x(〃)=〃(〃)，求系統的響應＞'(?)；

如果系統輸出)，(〃)=[2(-1)n-3(—g)"]〃(〃)，求系統輸入信號x(〃)。

(d)

1+-Z-1

r(z)2

解：(a)"(z)=—^，ROC"Z|>Q

'⑶"”上2l+-z-'3

3

(b)h(n)-w(n)

1

丫⑶;占1(13

(c)11-Z了+—),ROC:|z|>l

l+N1

1+3Z

3

,、3/、1

y(〃)=：〃(〃)+：u(n)

44

23

y⑶=「---------—

1--Z-|1+-Z-'

312,ROC：|z|>|

(d)

2z-'-1112

(l-lz-'Xl+^z-1)

丫⑶a+/(2zj)

X(z)——：：

”(z)(1-1Z-')(1+AZ-')

4.某離散時間LTI因果系統在z平面上的零極點如圖P7.17所示。已知系統的單位脈沖響應

/?(〃)的初值〃(0)=1。

jlm{z}

-1/2102

圖P7.17

(a)確定系統函數；

(b)求系統的單位脈沖響應；

(c)寫出系統的差分方程；

(d)若系統的響應y(〃)=(-;)"〃(〃)，求系統激勵x(〃)；

(e)求出一個滿足該系統差分方程的穩定系統的單位脈沖響應。

解：(a)H(z)=——：------------4=1.由〃(0)=1得

(l+|z-1)(l-2z-1)

114

(b)H(z}=—(--：---+-------r)

h(n)=—(一~-)nw(n)+2nu(n)

42

3

(c)y(n)--y(n-1)-y(n-2)=x(n)

1

,1

1+-Z

丫⑶

(d)X(z)2l-2z-1

”(z)1

(l+-z-')(l-2z-')

5.考查圖P8.2所示的離散時間LTI穩定系統;

x(〃)

(a)確定該系統的系統函數及收斂域；

(b)求出系統的頻率響應、單位脈沖響應和單位階躍響應;

(c)如果系統的輸入甚Q)=(—1)",求系統響應x(f)；

(d)若系統輸入%⑺=(―1)"〃(〃)，求系統響應為”)；

2

(e)當系統響應y(〃)=+(-耳)"]〃(〃)，求系統的輸入信號工(〃)。

75

1+-Z4

解：(a)412—+12收斂域慟＞3

,-1l+lZ-1

393

單位脈沖響應/??)=((-)"u(n)+^

(b)〃(〃)

27

(c)

lo

1+產1

(d)X(Z)="(Z)X2(Z)=

1"

717525

必⑺飛(/〃(〃)-記(-1)""⑺+/”(〃)-尸)"〃(〃)

2+-Z-

13

(e)r(z)+717

l+-z-1(l--z-1)(l+-z-1)

十333

l+-z-1-*12+上

Y(z)

X(z),2

”(z)(1-1-')(1|-')

Z+Zl+-z-1l+-z-'

44

x(n)=2-(-lrM(n)+l(-ir-M(n-l)

6.序列是某一LTI系統當輸入為s[〃]時的輸出，該系統由下列差分方程描述

其中0<a<l。

(a)求系統函數

并在z平面上畫出它的極點和零點。

(b)我們要用一個LTI系統從H