理論力學解題思路剖析（未完的手稿，僅供華中科大07級本科堂學生參考）鄭慧明編華中科技大學理論力學教研室2008-12-18序言理論力學是工科機械、能源、動力、交通、土木、航空航天、力學等專業的一門重要基礎課程，一方面可解決實際問題，此外，培養學生對物理世界客觀規律內在聯系的理解，有助于培育出新的思想和理論，并為后續專業課程打基礎。但其解題方法眾多，不易掌握。有時為了了解系統的更多信息，取質點為研究對象，其計算復雜。有時僅需要了解系統整體某方面信息，丟失部分信息使問題計算簡單，有時又將局部和整體分析方法結合在一起，用不太復雜的方法獲得我們關心的信息。解題方法眾多的根本原因是，靜力學所有定理都是由5大公理得到，動力學三大定理都是由公理和牛頓第2定理得到。因為這些定理起源有很多相同之處，故往往可用來求解同一個問題，導致方法眾多。正是因為方法眾多，但因為起源可能相同，對于復雜題目，往往需要列出多個多立方程才能求解。若同時應用多個定理解題時，往往列出線形相關的方程，而他們的相關性有時很難看出來，而卻未列出該列的方程，或列方程數目過多，使解題困難，一些同學感到理論力學不好學，感覺復雜的理論力學題目。雖然可以條條大路通羅馬，但因為可選擇的途徑太多，有時象進入迷宮，繞來繞去，不知下一步路如何走，甚至回到同一點，比如用功率方程和動靜法列出的方程表面上不同，實際上是同一個，一些學生會感到困惑，因為有些教科書上并未直接說明功率方程可由動靜法推導得到，其本質上也是一個力/矩方程。我們組織編寫了本輔導書，主要目的是幫助那些對理論力學解題方法多樣性無所適從的同學，了解各解題方法的內在關聯和差異，容易在眾多的解題方法中找到適合自己的技巧性不高的較簡單方法，而該方法可以推廣到一種類型的題目。大學階段要學的東西很多，為了高效率掌握一門課程的主要思想，對許多題目可能用同一種較合理的方法來解決，也是同學們所期望的，對于理論力學的學習，因為其方法的多樣性，這種追求同一性的求知愿望可能更強烈。理論力學所研究的客觀物理世界具備多樣性和同一性，為這種追求解題方法的同一性提供了可能。故本書判斷一種解題方法的優劣及給出的解題方法遵循如下原則：一種解題方法若計算量不大，又可以推廣到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的復雜系統，則本書認為是較好的舉一反三的方法。那些只對此道具體題目才使用的方法，雖然簡單，但與本書的“同一性”宗旨不一致，我們也不推薦使用，目的使學生通過反復的應用在有限時間內熟練掌握本課程的主要方法。這一點可能與以往一些理論力學教材作者觀點不同，他們可能側重于強調物理世界的多樣性和解題方法的多樣性。本書主要是用于那些水平不高的學生盡快提高理論力學解題能力，并側重于對世界同一性的強調。因篇幅有限，本書難以兼顧物質世界多樣性與同一性的統一，不適于追求更高解題技巧的讀者，提請讀者注意。對同一類問題，給出如何在眾多方法中找到同一種較容易想到的方法求解。優先考慮盡量避免引入不需求的位置量，使所列的方程個數盡量最少，其次，才考慮盡量用一個方程解出一個未知量。前幾年，一本“英語萬能作文法”風靡一時，成為考驗寶典，并引起一些批評。我們認為，“英語萬能作文法”對一些英語水平不高者有較大幫助，而本書的目的是希望那些剛接觸理論力學的本科生克服“菜鳥”階段面對理論力學解題方法眾多的無所適從，且本書只是一個教學輔導參考書，無需教科書的刻板和嚴肅，故本書取名為萬能解題法，目的是突出其用同一種方法解題的宗旨和思想，并使讀者能在眾多的理論力學參考書中因為名稱的標新立異而投以一點關注的目光，也許你因此發現本書正適合你。正如“英語萬能作文法”，專家褒貶不一，但勿庸置疑，它對那些初學水平的學習者，還是非常有幫助。同樣，本書命名了一個嘩眾取寵的萬能解題法，其實是言過其實的，也并不適合所有讀者，特此說明。因時間倉促、水平有限，難免有錯誤和不妥之處，敬請指教。鄭慧明前言：同一道理論力學習題，解題方法眾多，容易造成思路混亂，為了使解題思路清晰和簡單，并加深對理論力學各原理的優缺點的深刻了解，本書解題出發點遵循如下原則：盡量用同一種方法解題，優先考慮盡量避免引入不待求的未知量，使得列出的獨立方程數目最少。其次才追求盡量用一個方程即可求出一個待求量。第1章靜力學公式和物體的受力分析一問題問題1：有哪五大公理，該注意哪些問題？答：五大公理（靜力學）（1）平行四邊形法則（2）二力平衡公理（一個剛體）（3）力系加減平衡原理（一個，剛體）力的可傳遞性（一個剛體）三力匯交定理1.通過匯交面2.共面（4）作用與反作用力（運動學、變形體）（5）剛化原理問題2：畫受力圖步驟及應注意的問題？答：畫受力圖方法原則：盡量減少未知力個數步驟：a）根據要求，選取研究對象,去掉約束，先畫主動力b）在去掉約束點代替等效的約束反力c）用二力軒、三力匯交，作用力與反作用力方法減少未知量個數，應用三力匯交時從整體到局部或從局部到整體來思考。d）用矢量標識各力，注意保持標識的一致性。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。[例1]由哈工大1-2（k）改編;如圖，各處光滑，不計自重。1）畫出整體，AC（不帶銷釘C）,BC（不帶銷釘C）,銷釘C的受力圖。2）畫出整體，AC（不帶銷釘C）,BC（帶銷釘C）。3）畫出整體，AC（帶銷釘C）,BC（不帶銷釘C）。[解法提示]：應用三力匯交時從整體到局部或從局部到整體來思考，盡量減少未知力個數。1）由整體利用三力匯交確定FA方向，則AC（不帶銷釘C）可用三力匯交。BC（不帶銷釘C）也三力匯交。（a）(b)(c)(d)2）由整體利用三力匯交確定FA方向，則AC（不帶銷釘C）可用三力匯交。BC（帶銷釘C）不能用三力匯交。具體參考1）3）由整體利用三力匯交確定FA方向，BC（不帶銷釘C）不能用三力匯交。AC（帶銷釘C）不能用三力匯交。[例2]由何锃1.4.3改編;如圖，各處光滑，不計自重。1）畫出整體，AB（不帶銷釘B）,BC（不帶銷釘B）,銷釘B的受力圖。2）畫出整體，AB（不帶銷釘B）,BC（帶銷釘B）。3）畫出整體，AB（帶銷釘B）,BC（不帶銷釘B）。。[解法提示]：1）由B點的特點，可用三力匯交確定FA方向。（a）(b)(c)(d)2），3）當銷釘處沒有集中力時，帶不帶銷釘都一樣，可把銷釘處AB和BC間的力當作作用力與反作用力。注意，當銷釘處有集中力時，則不能如此。[例3]如圖，求靜平衡時，AB對圓盤c的作用力方向。各處不光滑，考慮自重，圓盤c自重為P。[解法提示]：1）由E點的特點，可用三力匯交確定為DE方向。[例4]何锃1.4.9;如圖.各處光滑，不計自重。畫受力圖：構架整體、桿AB、AC、BC（均不包括銷釘A、C）、銷釘A、銷釘C[解法提示]：先對整體用用三力匯交確定地面對銷釘C的力方向。依次由a)~f)作圖。（a）(b)(d)(e)(f)第2章平面力系的簡化和平衡一問題問題1：本章注意問題有哪些？1）找出二力軒2）約束力畫正確3）①平面匯交力系：2個方程能且只能求得2個未知量（以下“未知量”用？表示）平面力偶系：1個方程2個？平面平行力系：2個方程2個？平面任意力系：3個方程3個？一個系統總的獨立方程個數為：能且只能求得相應數目？②任意力學列方程方法a)一矩式b）二矩式（力投影軸）c）三矩式不共線③具體對一個問題分析時注意（1）所列方程必須線性無關，局部：方程1；局部：方程2方程1+方程2＝整體方程是不行的（2）因此盡量選擇一個對象列所有的方程，看未知力與方程數差數目再找其他物體列對應方程問題2：如何取研究對象，如何列方程答：㈠、原則：（1）盡量列最少數目的方程只包含待求未知量（優先）盡量讓每個方程能解出一個未知量㈡、解題思路（重要）:a)先整體，看能從3個方程中列幾個有用方程，把能求出的未知量當作已知，方便以后分析，但不必具體求出其中的未知量的大小，以后須用到某個未知量，再回頭求。b)從待求量出發，向其周圍前后左右，由近及遠，延伸到光滑鉸鏈連接點D處,對點D取矩，依次類推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再從此處突破。一般常用此方法。(本書稱為順藤摸瓜法)。㈢、如何用一個方程解一個未知量：（1）向不待求未知量垂線投影（2）在不待求未知量交點處取矩問題3：平面桁架關鍵問題有哪些？答：解題方法1）2）先找出零力桿。3）（從整體局部）先看整體能求出幾個未知量（備用）,找出零力桿4）再從局部出發，一般先采用截面法。采用截面法應從以下原則入手：a）一次切出3個未知量（因為平面任意力系最多只能列出3個方程）,并最大限度包含待求未知量（目的是使方程個數最少）。b）在使用截面法，截出3個未知量后，若求其中一個未知量，則另2個未知量要么平行，要么相交。則可①②F①①②F①②③`③①②`①②二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。（一）平面任意力系例題【例1】由何锃例2.5;如圖.各處光滑，不計自重。結構尺寸如圖，C、E處為鉸接；已知：P=10kN，M=12kNm。求A、B、D處的支座反力。[解法提示]：總共5個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補充2個方程:【DE桿】,【BC桿】。答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN【說明】何锃課后習題2.14與此類似解法。【例2】由何锃例2.6改編;如圖.各處光滑，不計自重。靜定剛架尺寸如圖所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在銷釘C上。1）求銷釘C對AC桿的約束力。[解法提示]：總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程即可:【銷釘C+BC桿】,【AC桿不帶銷釘C】。答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN2）若僅求銷釘C對BC桿的約束力。與上述類似，【銷釘C+AC桿】,【BC桿不帶銷釘C】。3）若僅求A約束力。【AC桿】,【AC+BC】。4）若僅求B約束力。【BC桿】,【AC+BC】。4）若同時求A、B約束力。總共4個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程即可:如【BC桿】。【說明】哈工大第6版課后習題3-12,3-13,3-26,3-29與此類似解法。[3-29改編]:1)僅求A的約束反力。[解法提示]：總共3個？，按順藤摸瓜法，盡量不引入不待求未知量，補充3個方程即可:【AB】,【ABC】,【ABCD】,2）若僅求B對AB約束力。取【AB】將引入不待求未知量MA,故【帶銷釘B+BC桿】,【帶銷釘B+BCD桿】.【例3】由何锃例2.7改編;如圖.均質小車重P，如圖所示放在組合梁ACB上，BD桿上作用形狀為直角三角形、強度為q的分布力；桿重不計，求支座A、D的反力。[解法提示]：總共5個？，先對整體3個方程,再從局部（順藤摸瓜）補充2個方程，但因為小車與AC、CB形成閉合回路，不可避免引入CB與小車間FK,故需補充3個方程:【BD桿】,【CBD】。【小車】。答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX=ql/6+Ga/(2L）,FDY=Ga/(2L）【說明】哈工大第6版課后習題3-11;何锃課后習題2.11與此類似解法。【例4】由何锃例2.8改編;結構及其尺寸、載荷如圖。已知Q=1000N，P=500N，力偶矩m=150Nm。1）求銷釘B對桿BC的作用力。[解法提示]：總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程即可:【不帶銷釘B的BC桿】,【不帶銷釘B的BC桿+輪C+繩+Q+DC桿】。答案:FBCX=500N,FBCY=500N.2）若僅求B對桿BA的作用力。與上述類似，但須引入FA，故從局部（順藤摸瓜）補充3個方程。【不帶銷釘B的BA桿】,【不帶銷釘B的BA桿+DC桿】.為了得到FA,【整體】。3）若僅求銷釘C對桿DC的作用力。與上述1)類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用,故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程。【BD桿】【BC桿+輪C+繩+Q】。4）若僅求銷釘C對桿BC的作用力。與上述1)類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用,故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程。【BC桿】【DC桿+輪C+繩+Q】。5）若僅求銷釘D對桿DC的作用力。與上述1)類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用,故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程。【DC桿】,【BC桿+輪C+繩+Q+DC桿】【說明】何锃課后習題2.12與此類似解法【例5】何锃課后習題2.16.如圖.構架ABC由三桿AB、AC和DF組成，桿DF上的銷子E可在桿AB光滑槽內滑動，構架尺寸和載荷如圖示，已知，，試求固定支座B和C的約束反力。[解法提示]：總共4個？，先對整體3個方程,再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，但因為AEG形成閉合回路，不可避免引入FE,故需補充2個方程:【BA桿】,【DF+AC】。共5個方程即可。答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N【說明】1)哈工大第6版課后習題3-20與此類似解法。2）何锃課后習題2.21.與此類似解法。[2.21]物體重，由桿AB、BC和CE組成的支架和滑輪E支持如圖示，已知，，不計桿與滑輪的重量，求支座A的約束力以及BC的內力。[解法提示]：總共3個？，先對整體2個有用方程,盡量不引入FB,【整體】,，再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，【整體去掉BA桿后的部分】,共3個方程即可。【例6】哈工大第6版課后習題3-19:[解法提示]：總共6個？，因為AB包含所有未知力，取[AB]可列3個獨立方程，還差3個。按順藤摸瓜法，【整體】,【DF+AC】，【DF】。共6個方程即可。答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a.【說明】1)哈工大第6版課后習題3-24與此類似解法：[解法提示]：總共5個？，因為AB包含所有未知力，取[AB]可列3個獨立方程，還差2個。按順藤摸瓜法，【整體】,【DB】。共5個方程即可。【例7】何锃課后習題2.15.AB、AC、BC、AD四桿連接如圖示。水平桿AB上有鉛垂向下的力作用。求證不論的位置如何，AC桿總是受到大小等于P的壓力。（只允許列三個方程求解）。[解法提示]：求FAC，但FAC與[AD]、[AB]相關，單獨分別取[AD]或[AB]，必將引入A點AD或AB的作用力，不能直接求出FAC。按順藤摸瓜法，為了不引入A點AD或AB的作用力，故取[DAB],則將在點B、D、E引入未知力。而E點力最多，故【DAB】。對引入的FB、FD，再次把其當作待求量，按順藤摸瓜法，得到【BA桿】,【整體】。共3個方程即可。【例8】哈工大第6版課后習題3-25:[解法提示]：總共2個？，但因為DGC形成閉合回路，不可避免引入FB,故需列3個方程:按順藤摸瓜法，【DCB】,【DCB+FC】，【整體】。共3個方程即可。答案:FDX=37.5N,FDY=75N【例9】何锃課后習題2.22.組合結構的荷載及尺寸如圖，長度單位為m，求支座反力及二力桿1，2，3，4的內力。[解法提示]：總共7個？，先對整體3個方程,可求出支座反力。再從局部（順藤摸瓜）補充4個方程。因為二力桿1，2，3，4與DE相關，故取【DE桿】可列3個方程，再補充一個即可。同樣，順藤摸瓜，取【3，4+CB桿】:.（二）平面桁架例題【例1】哈工大第6版課后習題3-35:[解法提示]：按解題套路，先確定[DE]為0桿（去掉）。【切斷AD、CD、CF，取右邊部分】：。答案:FD=F【例2】何锃例題2.10.桁架由邊長為a的等腰直角三角形為基本單元構成，已知外力kN，kN。求4、5、7、10各桿的內力。[解法提示]：按解題套路，先由整體得到FB,盡量用最少方程求解。故【切斷4、5、6，取右邊部分】：得到F4,得到F5.【切斷6、7、8，取右邊部分】：得到F7.【切斷8、9、10，取右邊部分】：得到F10.答案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.【例3】哈工大第6版課后習題3-38。求1、2、3桿的內力[解法提示]：按解題套路，盡量用最少方程（3個）求解。故【切斷AB、3、FB，取上邊】：得到F2,由點F得到F1,F2.答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.【說明】1)哈工大第6版課后習題3-37與此相同。3-34，3-36類似解法：2)若求FAB,FBC,F3,(何锃課后習題2.17(b)),與此類似：求出FBF和地面對B點的力后，用節點法即可求得FAB,FBC。（三）其他題型答：應用合力矩定理求合力作用線方程。參考何锃例2.4。【例1】何锃例題2.2.如圖平衡系統中，大小相同的矩形物塊AB和BC上分別作用力偶、，。不計重力，求支座A、C的約束力。[解法提示]：1)若按一般常規方法，A、C點總共4個？，先對整體3個方程,再對【AB桿】:。此方法與以前方法一樣，思路清晰，故本書推薦此法。2）方法2:利用二力平衡，確定FA、FC方向,再用力偶平衡理論作。此方法不易想到，僅對特殊題目適用。【例2】合力作用線方程，何锃例題2.4.如圖的平面一般力系由力和力偶M組成，已知各力，，，匯交點A的坐標為，單位為m，力偶矩。求該力系的合力作用線方程。解：所以合力作用線方程為即第3章空間力系的簡化和平衡一問題問題1：本章應注意問題有哪些？答：①力偶的合成方法；②空間力系最終簡化結果；③力螺旋；④如何選取合適的軸對其取矩問題2：一般解題方法是什么？答：a)對軸而不是對點取矩b)選取軸AB的原則先選取A點；未知力最多的匯交點，先選取A點；未知力最多的匯交點，再選取B點：①B點為其他未知力最多的匯交點②或AB，使其他未知力最多的與AB平行二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。【例1】力對任意軸的矩問題。何锃例題3.3.長方體各邊長分別為，沿對角線AB作用的力。求力對軸之矩。 解：因為軸通過O點，因此我們先求力對O點之矩。A例3.3圖A例3.3圖BOyzxabca/2F力對O點之矩為因此，力對軸之矩為【例2】求合力偶問題問題。何锃課后習題3.7.將圖示三力偶合成。已知，正方體每邊長。[解法提示]：1)若按一般萬能方法，無論力偶在何任意面上，通過平面3點坐標，得到平面的平面方程，由此得到該平面的法向單位矢量，則該平面的力偶矩。再將各的各分量相加即可。比如OAB平面，由得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=0,則ni=(Ai+Bj+Ck)/，方向由平面方程中OAB的順序，用右手安培定則確定。2）具體針對此題，用空間解析幾何的其他方法將更簡單。但因為上述方法對任意力偶合成均適用，故推薦使用此法。【說明】何锃課后習題3.8，3.113.13，解法與此類似。【例3】空間力系平衡問題。哈工大第6版例題4-10.已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3.[解法提示]：1）根據解題方法，因為A點不待求未知量最多，故先確定A點，則1，2，3的力矩為0。再確定B點，4，5的力矩為0，故對AB：得到F6.類似找到AE，，得到F5。，得到F6。盡量依次選用x,y,z三個方向，這樣不容易遺漏，且計算力臂簡單，盡量避免對AF之類取矩，那樣力臂計算復雜。2）A點使用完后，再找不待求未知量第2多點，有幾個，選取F點，盡量依次選用x,y,z三個方向，即可求得F1,F2,F3.實際求得3個力后，用x,y,z三個方向力的投影即可求得另外3個力。不過，本書推薦全部使用對軸取矩法。【說明】何锃課后習題3.16，哈工大第6版課后習題4-18，4-19，4-20.解法與此類似。第4章摩擦一問題問題1：本章難點是什么？答：1）自鎖問題2）解題方法①對非臨界狀態，把摩擦力當未知力，用任意力力系方法求解即可②先排除不可能的臨界狀態③列出所有的即將動的臨界狀態可能基本④對每一種基本組合，在假設的運動狀態下確定達到臨界狀態的面的摩擦力的方向和大小，其他的未假設的面上摩擦力大小及指向與正壓力無關，當作未知量（大小，指向均未知）問題2：解摩擦問題的解題思路是什么？解題步驟：一、若選取對象只在3點處受力（結合三力匯交定理），則可用幾何法（應用摩擦角），否則用解析法；二、用解析法解題步驟1．先看系統總共有多少個未知量n1，及能列出多少個獨立方程n22．若非臨界狀態，用任意力系方法做（把摩擦力當作與正壓力FN無關的量）3．若，則需補充一個方程（能且只能）（即使存在多個摩擦面）補充方程來源一個摩擦面一個摩擦面兩個摩擦面列出所有可能的臨界狀態組合基本直覺4．其中一個摩擦面達到臨界存在4種可能（摩擦力向左、右，滾阻為逆時針、順時針）。直覺理論考慮4種可能之前，排除不可能情形理論a)排除不可能組合b)確定5．差2個方程時，列出所有基本,可能的兩兩a)排除不可能組合b)確定滾阻摩擦力方向先滾阻摩擦力方向再對剩下的組合根據假設，在假設的摩擦力方向下，一一求解即可。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。【例1】利用摩擦角解題。哈工大第6版課后習題5-6.何锃課后習題4.1.3。若楔子兩側面與槽之間的摩擦角均為，則欲使楔子被打入后而不致自動滑出，角應為多大？[解法提示]：利用摩擦角。答案：【說明】何锃課后習題4.7解法與此類似。【例2】應用解析法解題。何锃課后習題4.9。均質長方體A，寬1m、高2m、重10kN，置于的斜面上，摩擦系數，在長方體上系一與斜面平行的繩子，繩子繞過一光滑圓輪，下端掛一重Q的重物B，求平衡時重量Q的范圍。[解法提示]：按照上述解析法解題步驟1．先看系統總共有多少個未知量n1，及能列出多少個獨立方程n2A處：2個，繩：1個，輪B：2個，+Qc,共計6個。方程：A處：2個，輪B：3個。故盡管有2個摩擦面，但僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。2．補充1個臨界方程來源：A處：（E處摩擦力任意，A摩擦力到臨界，但只能向左，有FAs=fFAN）.(第1種可能)E處：（A處摩擦力任意，E摩擦力到臨界，可能向左，可能向右。FEs=fFEN）.(2種可能)在這3種可能中，第1種可能已包含了：E摩擦力到臨界，向左。故知討論2種基本的可能臨界了。在所假設的臨界條件下，補充一個摩擦力與正壓力關系方程即可求解了。其求解方法仍同靜力學，盡量不要引入新的未知量，盡量用1個方程即可求出一個未知量。3）至于B可能脫離地面情況，對[B]通過對B取矩，即可排除這是不可能的。4）A、E處摩擦力同時達到臨界的情形，必然包含于上述2種基本情形之中。不用單獨討論。【具體解法】：1）A摩擦力到臨界，向左，有FAs=fFAN（1）[整體]:.在對A求出FAN.即可求得Q。2）E摩擦力到臨界，向右，有FEs=fFEN[整體]:.[整體除去A的剩余部分]:.即可求得Q。3）比較大小，得到范圍。【說明】1）何锃課后習題4.10解法與此類似。[何锃課后習題4.10]圓柱重G，放在傾角的斜面上，由一直角彎桿擋住，如圖所示。圓柱各處摩擦系數均為f，不計桿重。求向上拉動彎桿所需的最小力[解法提示]：按照上述解析法解題步驟1．系統僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。2．補充1個臨界方程來源：A處：（B處摩擦力任意，A摩擦力到臨界，依題意只能向上，有FAs=fFAN）.(第1種可能)B處：（A處摩擦力任意，B摩擦力到臨界，只能向下。FEs=fFEN）.(第2種可能)在這2種可能中，互不完全包含。故要分別討論。其求解方法仍同靜力學，盡量不要引入新的未知量，盡量用1個方程即可求出一個未知量。【具體解法】：1）A摩擦力到臨界，向上，有FAs=fFAN（1）[輪C]:.(2)[AD:.(3)得到P1.2）B摩擦力到臨界，向下，有Fbs=fFbN（1）[輪C]:.(2)[整體]:.(3)得到P1.3）比較大小，得到范圍。2）哈工大第6版課后習題5-15，對輪C，分別利用對地面、AB與C的接觸面取矩，從而確定出各摩擦面的摩擦力方向后，剩下的臨界可能性就少多了。哈工大第6版課后習題5-18，解法與此類似。第5章點的運動學和剛體的基本運動一問題問題1：點的運動的主要知識點是什么？答：直角：矢徑：弧坐標：問題2：點的運動難點是什么？答：⑴如何由X(t),Y(t)求t時刻曲率半徑。⑵切向加速度，全加速度問題3剛體簡單運動1）平動：在同一瞬時，各點一樣，且，在其他任意時刻，盡管可能與上一時刻不同，但在同一時刻，各點一樣，且，機構特點為平行四邊形。而瞬時平動，僅在此瞬時，各點一樣，且。機構特點:只要此時某一剛體上有兩點的速度平行，且與兩點連線不垂直。2）定軸：矢量表示法（起點必須為為向量上任一點）二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。【例1】由X(t),Y(t)求t時刻曲率半徑。哈工大第6版例題6-5.[解法提示]：利用全速度和加速度無論在直角和弧坐標下均相等的橋梁即可。注意【說明】哈工大第6版例題6-6解法與此類似。通過該題，可深入了解在靜止地面作純滾動輪子的與地面接觸點的速度和加速度特點。該點是理論力學中難點，建議多加注意。【例2】平動問題何锃課后習題7.2在圖示兩機構中，，請就所給結果作出判斷（正確的在括號里畫“√”，錯誤的畫“×”）圖a：（1）（√）； （2）（√）；（3）（√）； （4）（√）；（5）（√）。 圖b：（1）（√）； （2）（√）；（3）（×）；b）a）1122BAO2Ob）a）1122BAO2O1(a)1122O1O2AB(b)【例3】哈工大第6版例題7-2.[解法提示]矢量表示法（起點必須為為向量上任一點）第6章點的合成運動一問題問題1：動點動系問題存在哪些難點？答：㈠動點、動系和靜系的選擇原則1）動點、動系和靜系必須分別屬于不同的三個物體，否則絕對,相對和牽連運動中就缺少一種運動，不能成為合成運動2）動點相對于動系的相對運動軌跡易于直接判斷，一般為直線或圓周，否則，求速度可能是正確的，但求加速度時，由于僅相對加速度就有大小和方向這兩個未知量不知道，而一個加速度關系矢量方程只能列出兩個獨立方程，故無法求解其他未知量。3）一定要說明動點是在哪個物體上㈡具體方法一、1）構件A、B的接觸點是構件A上不變的點D，則選取A上不變的點D為動點，動系為B2）構件AB的接觸點，不是構件A或B上不變的點，則一定不能選接觸點作為動點。一般選取其中一圓盤的圓心為動點。㈢大小？？？方向？？？知道任意4個由于只有3個矢量，任意知2個可用幾何法（平行四邊形法則）對于多于3個矢量的加速度合成時盡量用解析法。㈣1）動系作平動 ？？已知？已知故只有3個未知量2）動系作轉動①在動系上（①在動系上（∞平面）②與動點重合③相對于靜系㈤牽連速度㈥科氏加速度用求出W動系，后，若為負數，應在圖中將,方向修正為實際方向。此時，W動系，為正數，并由確定出方向問題2：動點動系有幾種題型，如何選取動點動系？答：六種題型：①AB上A點為接觸點作法：選取接觸點A為動點②兩剛體無固定的接觸點作法：該接觸點不能為動點，原因是若取接觸點為動點，求V，有時也能得到正確結果，這是因為求速度問題只是研究瞬時問題，與下一時刻如何運動無關，即與相對運動軌跡無關。但求加速度時，由于僅相對加速度就有大小和方向這兩個未知量不知道，而一個加速度關系矢量方程只能列出兩個獨立方程，故無法求解其他未知量。③套筒滑桿問題作法：選取軌跡明確的桿件或套筒為動系，軌跡一般為平動或定軸圓周運動。另一個構件上已知信息較多的點或構件上待求點為動點。④套環（或稱交點）問題作法：取套環為一個動點，分別選取多個動系。⑤多動點、多動系作法：為體現剛體間的所有聯系，應多次選取不同的動點、動系。⑥一個動系、多個動點作法：該方法可轉化為一個動點、多個動系。實際上，此問題可選取一次動點動系，再應用同一剛體上兩點關系的平面運動章節的問題來求解。那樣，分析思路更清晰，易想到。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。何锃課后習題6.7半徑為R的半圓形凸輪沿水平方向向右移動，使推桿AB沿鉛垂導軌滑動，在圖示位置時，凸輪有速度和加速度，求該瞬時推桿AB的速度和加速度哈工大第6版例題6-5.√⊥[解法提示]：①作法：1）選取AB上A點為動點，動系為o.[求速度]則Va=Ve+Vr大小？√？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,必可求出兩個？，即Va,Vr大小，若只求Va，則⊥Vr投影。若只求Vr，則⊥Va投影，使得一個方程解出一個未知量)[求加速度]則aa=ae++大小？√？方向√√√√(⊥投影,求出aa)【說明】1）此題屬于AB上A點為接觸點問題。2）建議采用上述方法分析和表述解題步驟，使思路清晰。當然，應畫出速度關系圖、加速度關系圖（本書忽略）。3）何锃課后習題6.3，哈工大第6版習題8-5。與此方法類似。當然，此題可用列出幾何關系方程，對時間求一階導，得到待求速度量；對時間求2階導，得到待求加速度量。但此種幾何法僅對簡單問題有效，且純粹是數學問題，本課程理論沒有得到訓練，故本書不推薦。類似問題如何锃例題6.3，例題6.5，哈工大第6版習題8-9，8-10，4）何锃例題6.3，課后習題6.3；哈工大第6版例題8-5，習題8-5，8-12，8-19，8-21。與此方法類似何锃例題6.5如圖所示，半徑為R的圓輪D以勻角速度繞輪緣上的軸轉動，桿OA定軸轉動并與圓輪始終接觸。求圖示瞬時桿OA的角速度和角加速度。哈工大第6版例題6-5.√？⊥[解法提示]：①作法：1）選取上D點為動點，動系為AB.[求速度]則Va=Ve+Vr大小√？（）？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,必可求出兩個？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，則⊥Vr投影。若只求Vr，則⊥Ve（）投影，使得一個方程解出一個未知量。若求出Vr、為負，將其改為正值，并在速度圖中，將其指向換向，這是為了求科氏加速度時,大小和方向不易出錯)[求加速度]則aa=++ar++大小√√？？方向√√√√√(⊥ar投影,求出)【說明】1）此題屬于兩剛體無固定的接觸點。2）動系為AB實際意思是將動系固定在AB上，動系是一個無窮大平面，故其上必然有一點與輪D上重合的D’點，D’點即為牽連點，其運動由AB桿確定。3）何锃課后習題6.12（無），6.16，哈工大第6版習題8-10，8-20。與此方法類似。何锃例題6.4如圖機構中，OA桿以勻角速度轉動，，圖示瞬時，。求該瞬時AC桿的角速度和角加速度。哈工大第6版例題6-5.√？⊥[解法提示]：①作法：[套筒B作定軸轉動，以后求牽連加速度更方便，而AB作平面運動]選取AB上A點為動點，動系為套筒B.[求速度]則Va=Ve+Vr大小√？（）？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,必可求出兩個？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，則⊥Vr投影。若只求Vr，則⊥Ve（）投影，使得一個方程解出一個未知量。若求出Vr、為負，將其改為正值，并在速度圖中，將其指向換向，這是為了求科氏加速度時,大小和方向不易出錯)[求加速度]則aa=++ar++大小√√？？方向√√√√√(⊥ar投影,求出)【說明】1）此題屬于套筒滑桿問題。何锃例題6.3如圖機構，AB桿與套筒B固連，可在鉛垂滑道中滑動，已知，桿以勻角速度繞軸轉動。求在圖示位置，AB桿的速度和加速度。[解法提示]：①作法：[套筒B和滑桿CD均作平動，任選取哪一個為動系均可，故此題方法多樣.]方法1：套筒B為動系，C為動點。方法1：CD為動系，套筒B(或A)為動點。何锃課后習題6.17a,計算下列機構在圖示位置CD桿上D點的速度和加速度。設圖示瞬時水平桿AB的角速度為，角加速度為零。[解法提示]：①作法：套筒B作平面運動，而滑桿CD作定軸轉動，故選取CD為動系，套筒B（退化為一點，稱為滑塊）為動點.因此，可把套筒和滑塊當作同類。[交點問題]何锃例題6.6如圖所示，小環P同時套在AB桿和圓環E上，AB桿和圓環E均以勻角速度作定軸轉動，圖示瞬時，AB桿與圓環半徑DE垂直，。求該瞬時小環P的速度和加速度的大小。哈工大第6版例題6-5.√？⊥[解法提示]：作法：[求速度]1）選取套環（交點）為動點，取AE為動系。則VPX+VPY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,故無法求出3個？需補充其它有用方程]2）選取套環（交點）為動點，取OE為動系。則VPX+VPY=Ve2+Vr2大小？？√？方向√√√√[新增加一個？，則4個方程即可求出上述所有？][求加速度][所有動點動系問題，求加速度的步驟與求速度選取動點動系及分析步驟步驟完全一樣，只要將V換成an,at],不要漏掉科氏加速度即可]【說明】1）何锃課后習題6.6，6.15，哈工大第6版例題8-26.解法與此類似。[多動點、多動系問題]何锃例題6.8如圖機構中，DE桿以勻速度v沿鉛垂滑道向下運動，圖示瞬時，OA桿鉛垂，，。求此時OA桿的角速度和角加速度。哈工大第6版例題6-5.√？⊥[解法提示]：根據實際結構，列出的方程應全部體現出剛體間、剛體與外部聯系即可。圖中曲線2表示AB與OA的聯系，圖中曲線1表示AB與DE的聯系.圖中曲線3表示AB與外部的聯系，圖中曲線4表示DE與外部的聯系.作法：[求速度][體現曲線2：動點動系問題，即AB上A點為動點，OA為動系。]則VA=Ve1+Vr1大小()？()？？方向√√√[平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,故無法求出3個？需補充其它有用方程][求速度][體現曲線1：動點動系問題，即ED上D點為動點，AB為動系。]則VD=Ve2+Vr2大小√()？？方向√√√[新增加一個？，則4個方程即可求出上述所有？][求加速度][所有動點動系問題，求加速度的步驟與求速度選取動點動系及分析步驟步驟完全一樣，只要將V換成an,at],不要漏掉科氏加速度即可]【說明】1）何锃課后習題6.4,6.5,6.10,6.18,6.19，哈工大第6版課后習題8-18,8-27解法與此類似。[多動點、1動系問題]何锃例題6.7如圖機構中，轉臂OA以勻角速度繞O轉動，轉臂中有垂直于OA的滑道，DE桿可在滑道中相對滑動。圖示瞬時DE垂直于地面，求此時D點的速度、加速度。哈工大第6版例題6-5.√？⊥[解法1提示]：根據實際結構，列出的方程應全部體現出剛體間、剛體與外部聯系即可。圖中曲線1表示DE上D點與OA的聯系，圖中曲線2表示表示DE上E點與OA的聯系.圖中曲線3表示OA與外部的聯系，圖中曲線4表示DE與外部的聯系.作法：[求速度][體現曲線1：動點動系問題，即DE上D點為動點，OA為動系。]則VADX+VADY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,故無法求出3個？需補充其它有用方程][求速度][體現曲線1：動點動系問題，即ED上E點為動點，OA為動系。]則VADX+VADY=Ve2+Vr2大小？？√？方向√√√√[新增加一個？，則4個方程即可求出上述所有？][求加速度][所有動點動系問題，求加速度的步驟與求速度選取動點動系及分析步驟步驟完全一樣，只要將V換成an,at],不要漏掉科氏加速度即可][解法2提示]：根據實際結構，列出的方程應全部體現出剛體間、剛體與外部聯系即可。圖中曲線1表示DE上D點與OA的聯系，圖中曲線2表示表示DE同一個剛體兩點的聯系，用剛體平面運動知識即可。圖中曲線3表示OA與外部的聯系，圖中曲線4表示DE與外部的聯系.因為各曲線是串聯關系，故此法相對解法1，更直觀，更易想到。作法：[求速度][體現曲線1：動點動系問題，即DE上D點為動點，OA為動系。]則VADX+VADY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2個獨立代數方程,故無法求出3個？需補充其它有用方程][求速度][體現曲線1：剛體平面運動（基點法）]則VADX+VADY=VE+VDE大小？？？DE√方向√√√√[新增加一個？，則4個方程即可求出上述所有？][求加速度][所有動點動系問題，求加速度的步驟與求速度選取動點動系及分析步驟步驟完全一樣，只要將V換成an,at],不要漏掉科氏加速度即可。剛體平面運動（基點法）,無科氏加速度。]【說明】何锃課后習題6.17b解法與此完全一樣。第7章剛體的平面運動一問題問題1：平面運動存在哪些主要知識點1．求同一剛體上兩點的速度/加速度關系，動系原點與基點A相同，但作平動，2．，角加速度也如此。3．求速度的3種方法a)基點法，可同時求V,b)速度投影法（對連桿問題，只求速度，此法最好，不能直接求）純滾動瞬時平動：VA=V純滾動瞬時平動：VA=VB=VC=……WAB=0可替代基點法，一般較簡單。故求，一般用速度瞬心法。對連桿問題，只求速度，則優先考慮采用速度投影法。熟悉求速度瞬心的幾種方法。4．求加速度只用基點法！注意，速度瞬心一般不是加速度瞬心。因為加速度投影法和加速度瞬心法僅在非常特殊的情況下在成立，故求加速度推薦盡量只用基點法！5．如果剛體B上的A點滿足以下條件之一，則①定軸轉動的定軸點②③若，但通過B點問題2：如何列出獨立的運動學關系方程？答：1）體現剛體與剛體，剛體與外部的聯系。2）不要有重疊的關系（即線條重疊或稱為閉合回路現象）二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。第8章質點動力學基本規律一問題問題1：質點運動學主要知識點是什么？答：點的運動微分方程本章在高中物理基礎上，僅補充了采用弧坐標來表示牛頓第2定律，這是因為剛體上的點運動往往是曲線的，采用弧坐標中切向和法向加速度更方便而已。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。第9章動量定理一問題問題1：動量定理主要知識點是什么？答：1）質心公式 2）動量 3）動量定理（通式）（導數形式）（微分形式）沖量、4）求系統的動量問題，實際上是應用運動學知識求各剛體（質點可認為半徑為0的剛體）的質心速度。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。第10章動量矩定理一問題問題1：動量矩定理主要知識點？一）、轉動慣量的計算：a)桿b)圓環c)圓盤d)矩形板e)平行軸定理：（c點必須為質心，過A、c點的軸必須平行，d為兩平行軸的距離）二）、繞o點作定軸轉動剛體三）、一個剛體對任意點動量矩定理1）動量矩（或稱角動量）：對固定點平面運動平動 定軸轉動 四）、動量矩定理：當D點為剛體C上的點，若D點滿足下列四個條件之一，則對剛體C有：①D為定軸轉動的固定點②D為質心C③此時④說明:，理不好運用，并等價于動靜法中對整體為研究對象，對任意點取矩得到的方程，而用動靜法使得動力學問題分析思路更簡單、清晰，故本書不推薦使用多個剛體對固定點o的動量矩定理，而用動靜法，詳見后文動靜法。問題2：應用動量/矩定理解題方法是什么？答：解題分析思路：列動力學方程因為只有一個剛體才有轉動慣量，故對多個剛體（認為質點是半徑為0的剛體）的動力學問題只能取每個剛體單獨分析，一個剛體可列三個動力方程。質點就只有這兩個質點就只有這兩個2）補充方程來源:應用運動學知識（動點動系和剛體平面運動），找出加速度關系，找加速度關系的思路是體現剛體間聯系、剛體與地面(外部)聯系公式中的V、W通過運動學速度關系求出3）應用動量/矩定理解題，由于必須取分離體，又只能對每個剛體特定D點取矩，故必將引入不待求的剛體間的作用力，使多剛體動力學變得很復雜，故對多剛體動力學問題，建議不用動量/矩定理解題方法，而用以后的動靜法等。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。第11章動能定理一問題問題1：動能定理有哪些主要知識點？答：1）積分形式：→求速度量V、W2）導數形式（實際上就是功率方程）：，得到一個方程，可求理想約束力系統的加速度量。該方程實際上是與動量/矩定理線性相關，可替代動量/矩中的一個方程。比如對2個剛體，由動量/矩定理可列出6個獨立的動力學方程，則功率方程必可由此6個獨立的動力學方程推出，故7個方程不可同時使用。一般對于一個自由度系統，又未給出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用一個功率方程（聯合運動學關系），就可容易求得加速度量，否則，使用應用功率方程將問題變得復雜，思路不清晰，盡量避免使用。此外，功率方程實際上就是采用一般坐標的一個自由度系統的拉格朗日方程的變形。同理，一般對于n個自由度系統，又未給出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用n個拉格朗日方程（由于采用廣義坐標，各運動量是獨立的，不用聯合運動學關系），就可容易求得n個加速度量，推薦使用。若有未知力做功，使用拉格朗日方程將問題變得復雜，思路不清晰，盡量避免使用。采用動靜法更合理。在后面動靜法中將明白其原因。3）動能 ，功 4）動能定理積分形式：（用于求解一個運動過程的速度問題，從而給出所關心時刻的速度量，這是求解動力學問題中的法向加速度所需。）動能定理導數形式：（功率方程），可求解某些加速度問題。微分形式：，一般僅用于推導公式。5）功的計算：若定軸：6）剛體動能：平面任意運動：7）對于適合應用功率方程的問題，作題步驟如下：利用功率：（除法規則）（FA,VA與位置的變化無關，是待求時刻的值）（導數：求導規則）8）兩種值得注意的情況：①作純滾動，地面靜止時②作純滾動，木板滑動故作純滾動的兩物體間的摩擦力做功之和為0。問題2：如何應用動能定理解題？答：1）若求解一個運動過程的速度問題，應用動能定理的積分形式。從而給出所關心時刻的速度量，這也是求解動力學問題中的法向加速度所需。）2）應用a）動量/矩 b)動靜法 c)動能定理導數形式（功率方程）三種方法均可求系統加速度方法，但難易不同。選用功率方程的原則為當a)系統自由度只有一個（即只有一個未知a、）；b)所有未知力不作功（理想約束反力）；c)只求加速度。則優先考慮用功率方程，否則用動靜法。（或用功率方程取代動靜法中的一個方程）此法不推薦3)動能定理之機械能守恒原理實際上也可用動能定理積分形式做題，難度差異不大，故不介紹。4）至于運動學補充方程來源，每種方法均相同。問題3：動能定理有哪些難點？1）積分形式求速度問題：彈簧問題T1=0，處于靜平衡位置T=t1；m1速度為V1,求偏離靜平衡位置X時的V2上述問題只要靜平衡位置是重力和彈簧力(彈簧變形量L0)共同作用的結果，則取靜平衡位置為零勢能點，認為物體無重力，彈簧力F=kx(x為彈簧相對于靜平衡位置的變形量)，應用如下公式剛體彈簧問題也類似。2）導數形式求加速度問題：彈簧問題也同上。二典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。第12章達朗貝爾原理（動靜法）一問題問題1：動力學有多種方法，如何選取合理的解題方法？答：動力學有多種解題方法，所學的有a）動量/矩 b)動靜法 c)動能定理導數形式（功率方程），三種方法均可求系統加速度方法，但難易不同。選取合理的解題方法如下:當a)系統自由度只有一個（即只有一個未知a、）；b)所有未知力不作功（理想約束反力）；c)只求加速度。則優先考慮用功率方程，否則用動靜法。（或用功率方程取代動靜法中的一個方程）此法不推薦。至于運動學補充方程來源，每種方法均相同。若研究的涉及一個過程，還需用動能定理積分形式來給出所求時刻的速度量，從而得到法向加速度量。原因：動能定理導數形式（實際上就是功率方程）：，得到一個方程，可求理想約束力系統的加速度量。該方程實際上是與動量/矩定理線性相關，可替代動量/矩中的一個方程。比如對2個剛體，