角平分線的性質(zhì)與判定

什么是角的平分線？怎樣畫(huà)一個(gè)角的平分線？BOAC

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。

２.分別以Ｍ,Ｎ為圓心.大于ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于Ｃ．如何用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３.畫(huà)射線OC．射線ＯＣ即為所求．

SSS1〉平分平角∠AOB2〉通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。ABOCD實(shí)踐應(yīng)用(1)探究角平分線的性質(zhì)

(1)實(shí)驗(yàn)：將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？

(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.探究角平分線的性質(zhì)證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE(3)驗(yàn)證猜想BOAC·DPE∵OC是∠AOB的平分線，∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。）PD⊥OA，PE⊥OB幾何語(yǔ)言：

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)：1.在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的長(zhǎng)。EDCBA

反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．思考證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO和∠QEO都是直角，在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE（已知）∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用幾何語(yǔ)言表示為：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE1.

在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路解：

作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求。DCs書(shū)P50/例題書(shū)P50/練習(xí)1、2課堂小結(jié)1：怎樣畫(huà)一個(gè)已知角的角平分線；2：角平分線的性質(zhì)：