在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，討論描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，根據(jù)運(yùn)動(dòng)要素的特性對(duì)流動(dòng)進(jìn)行分類(lèi)。本章的討論是純運(yùn)動(dòng)學(xué)意義上的，不涉及流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)因素。連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)具體約束，也在本章的討論范圍之中。EXIT項(xiàng)目4流體運(yùn)動(dòng)學(xué)EXIT任務(wù)1流體運(yùn)動(dòng)的描述方法任務(wù)2流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念任務(wù)3連續(xù)性方程任務(wù)4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解項(xiàng)目4流體運(yùn)動(dòng)學(xué)任務(wù)5勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)綜合實(shí)例

描述流體運(yùn)動(dòng)的困難拉格朗日法歐拉法歐拉法的質(zhì)點(diǎn)加速度兩種方法的關(guān)系及比較

任務(wù)1流體運(yùn)動(dòng)的描述方法EXIT

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體質(zhì)點(diǎn)間的約束強(qiáng)無(wú)弱

一.描述流體運(yùn)動(dòng)的困難質(zhì)點(diǎn)數(shù)N個(gè)無(wú)窮無(wú)窮EXIT

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體EXIT六個(gè)自由

度運(yùn)動(dòng)

編號(hào)，逐點(diǎn)描述

3N個(gè)自由度困難：

無(wú)窮多質(zhì)點(diǎn)有變形不易顯示

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體EXITt1t2t3t4t5

二.拉格朗日法EXITt6

以研究單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程作為基礎(chǔ)，綜合所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。

拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)系法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的位移矢量為：(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。

流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：EXIT易知指定空間位置不同流體質(zhì)點(diǎn)

三.歐拉法EXIT

以研究流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)要素的變化情況作為基礎(chǔ)，綜合所有的空間點(diǎn)的情況，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。

歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場(chǎng)為：(x,y,z)

是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速u(mài)

是在t

時(shí)刻占據(jù)(x,y,z)

的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。

流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：EXIT歐拉（L.Euler,

1707-1783，瑞士）拉格朗日（J-L.Lagrange，1736－1813，意大利)EXIT拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性布哨跟蹤EXIT

歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)常用的一種方法。EXIT

如果流場(chǎng)的空間分布不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間t，這樣的流場(chǎng)稱為恒定流。否則稱為非恒定流。

歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。

四.歐拉法的質(zhì)點(diǎn)加速度

速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。

通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。EXIT

若流動(dòng)是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。

求導(dǎo)時(shí)a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)。EXIT

跟定流體質(zhì)點(diǎn)后，x,y,z均隨t

變，而且

若流場(chǎng)是用歐拉法描述的，流體質(zhì)點(diǎn)加速度的求法必須特別注意。

用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。EXIT=+質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度

位變

加速度由流速不均勻性引起時(shí)變加速度由流速

不恒定

性引起EXIT分量形式EXITB’AA’BuAdtuBdt舉例EXIT

五.兩種方法的關(guān)系及比較在拉格朗日法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)被表示成拉格朗日變量（a，b，c，t）的函數(shù)；在歐拉法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)則被表示成歐拉變量（x，y，z，t）的函數(shù)。因此，兩種方法之間的關(guān)系就是拉格朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)之間的數(shù)學(xué)變換。（1）拉格朗日法是研究流體質(zhì)點(diǎn)本身運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種方法，這種方法看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻比較復(fù)雜，因?yàn)槿我鈺r(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的位置及其運(yùn)動(dòng)軌跡x=x（a，b，c，t），y=y（a，b，c，t），z=z（a，b，c，t）并不容易知道，因此，使用拉格朗日法有不少困難。只有在需要研究流體質(zhì)點(diǎn)本身的運(yùn)動(dòng)時(shí)才采用拉格朗日法。（2）在流體力學(xué)研究中大多采用歐拉法主要原因有：（a）采用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)得到的是流場(chǎng)，可以采用場(chǎng)論這一有力的數(shù)學(xué)工具；（b）采用歐拉法得到的運(yùn)動(dòng)微分方程是一階偏微分方程組，如：與采用拉格朗日法得到的二階運(yùn)動(dòng)偏微分方程組相比求解要與采用拉格朗日法得到的二階運(yùn)動(dòng)偏微分方程組相比求解要容易；（c）工程中解決大量實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往并不需要知道每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，而只需要知道每個(gè)空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)情況就可以了。

任務(wù)2有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念EXIT

定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)跡線和流線

流管、流束及總流

過(guò)流斷面和水力直徑

流量及平均速度一維、二維和三維流動(dòng)均勻流、非均勻流；漸變流、急變流系統(tǒng)和控制體

一.恒定流、非恒定流

若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱流動(dòng)為恒定流。否則，為非恒定流。

恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。

例如，恒定流的流速場(chǎng)：

恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。EXIT如圖a所示，定水頭孔口出流是定常流動(dòng)。同一空間點(diǎn)的速度不隨時(shí)間變化（時(shí)變加速度為0），但流場(chǎng)速度隨空間位置變化（從A到B位變加速度不為0）。變水頭孔口出流是非定常流動(dòng)，如圖b所示。同一空間點(diǎn)的速度隨時(shí)間變化（時(shí)變加速度不為0），流場(chǎng)速度隨空間位置也變化（位變加速度也不為0）。流體流動(dòng)的穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)與所選定的參考系有關(guān)。如圖所示的勻速飛行的飛行器周?chē)諝獾牧鲃?dòng)，相對(duì)于固定在地面的坐標(biāo)系是非穩(wěn)態(tài)的，相對(duì)于固定在飛行器上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系是穩(wěn)態(tài)的；勻速旋轉(zhuǎn)的通風(fēng)機(jī)葉輪流道中的氣體流動(dòng)，在固定在地面的坐標(biāo)系中觀察，流動(dòng)是非定常的，在固定于葉輪上的運(yùn)動(dòng)參考系觀察則是定常的。AAAAAA

某一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻占據(jù)的空間位置。t1時(shí)刻t2時(shí)刻

二.跡線和流線EXIT跡線

跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。

拉格朗日法中位移表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。EXIT

這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（x,y,z），它是t

的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，就可以積分得到跡線。

在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)x,y,z成為t

的函數(shù)，所以跡線的微分方程為EXITt時(shí)刻uAuBuCABCD

表示某時(shí)刻流動(dòng)方向的曲線。uDEXIT流線

流線是流速場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該瞬時(shí)位于該曲線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度矢量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。EXIT

根據(jù)定義，流線的微分方程為

實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中t是參數(shù)。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是流線族。其中EXIT

在非恒定流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在恒定流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。

跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。

根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無(wú)窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。EXIT

已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)

點(diǎn)的流線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)：C=-1

積分由流線的微分方程：t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)點(diǎn)的流線：EXIT例

-1解xy=1t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)

點(diǎn)的跡線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：EXIT例

-2解已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=2x+t；

uy=-2y；uz=0,試求t=0時(shí)和1時(shí)，過(guò)(1,1)

點(diǎn)的流線方程。例

-3【解】因

流體只在平面內(nèi)流動(dòng)。將速度代入流線方程得即：積分（將

視為不變量）得：c是積分常數(shù)，由流線通過(guò)某點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定。于是T=0時(shí)，通過(guò)（1，1）點(diǎn)（c=2）的流線方程為；T=1時(shí)，通過(guò)（1，1）點(diǎn)（c=3）的流線方程為：跡線流線xyot=0時(shí)過(guò)M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線示意圖EXITM(-1,-1)流動(dòng)線條和流動(dòng)顯示流動(dòng)線條(flowlines)包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線(streakline)、時(shí)線(timeline)煙線(streakline)定義：由先后連續(xù)地經(jīng)過(guò)同一場(chǎng)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線。時(shí)線(timeline)定義：由確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體線。流動(dòng)往往靠流動(dòng)線條來(lái)顯示，而在實(shí)驗(yàn)中比較容易得到的流動(dòng)線條是煙線和時(shí)線。EXIT通常用攝象機(jī)能拍到什么流動(dòng)線條？應(yīng)該怎么拍？思考?EXIT流線L流管

三.流管和流束及總流

在流場(chǎng)中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時(shí)刻過(guò)

L上每一點(diǎn)作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。

與流線一樣，流管是瞬時(shí)概念。

根據(jù)流管的定義易知，在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流體不可能通過(guò)流管表面流出或流入。EXIT流管內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)所形成的流動(dòng)稱流束。根據(jù)流管的性質(zhì)，流束中任何質(zhì)點(diǎn)均不能離開(kāi)流束。定常流中流束的形狀與位置都不隨時(shí)間而變。當(dāng)流束的斷面積很小時(shí)稱為微元流束，可以近似認(rèn)為微元流束同一斷面上各點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)相等。若流管的壁面就是流場(chǎng)區(qū)域的周界，流管內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)所形成的流動(dòng)稱總流，它代表全流場(chǎng)上所有質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)。總流所占據(jù)的空間稱流道，它是總流經(jīng)過(guò)的通道。總流按其邊界性質(zhì)的不同可以分為三類(lèi)：（1）

：邊界全部是固體時(shí)的流動(dòng)稱為有壓流動(dòng)，有壓流動(dòng)的特點(diǎn)是流體流動(dòng)主要靠壓強(qiáng)差驅(qū)動(dòng)，如供水管路、通風(fēng)巷道、液壓管路中的流動(dòng)等。（2：總流邊界部分是固體、部分是氣體時(shí)的流動(dòng)稱為無(wú)壓流動(dòng)，無(wú)壓流動(dòng)的特點(diǎn)是流體流動(dòng)主要靠重力（傾角）驅(qū)動(dòng)，如明渠流、河流等。（3）

：總流的邊界不與固體接觸時(shí)稱為射流。射流是靠消耗自身的動(dòng)能來(lái)實(shí)現(xiàn)流動(dòng)的。有壓流無(wú)壓流射流EXIT

四.過(guò)流斷面和水力直徑過(guò)流斷面與總流或流束中的流線處處垂直的斷面稱為過(guò)流斷面。過(guò)流斷面一般是曲面，當(dāng)流線平行時(shí)過(guò)流斷面是平面。過(guò)流斷面的面積是對(duì)流束尺度大小的度量。微元流束的過(guò)流斷面面積為無(wú)窮小。水力直徑水力直徑和水力半徑的概念在非圓管道和明渠流計(jì)算中經(jīng)常用到。總流的過(guò)流斷面上，流體與固體接觸的長(zhǎng)度稱為濕周，用表示。對(duì)于圖a，濕周

；對(duì)于圖b，濕周

；對(duì)于圖c；濕周。總流過(guò)流斷面的面積

與濕周

之比稱為水力

半徑,水力半徑的4倍稱為水力直徑,即；對(duì)于圓形管道，水力直徑：對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方形管道；對(duì)于長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形管道：

如圖所示為半圓拱形通風(fēng)巷

，已知求水力直徑

和水力半徑。【解】

過(guò)流面積

濕周

水力半徑

水力直徑例

-4

稱為質(zhì)量流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計(jì)算

公式中，曲面A的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。

通過(guò)流場(chǎng)中某曲面A的流速通量稱為流量，記為Q

，它的物理意義是單位時(shí)間穿過(guò)該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s.dAuAnEXIT

五.流量及平均流速

總流過(guò)流斷面上的流速與法向一致，所以穿過(guò)過(guò)流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。EXIT

定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過(guò)流斷面上不均勻流速u(mài)的一個(gè)平均值，假設(shè)過(guò)流斷面上各點(diǎn)流速大小均等于v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過(guò)的流量與實(shí)際流量相等。平均流速

六.一維、二維和三維流動(dòng)一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱流動(dòng)

任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。EXIT

流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0二維流動(dòng)EXIT直角系中的平面流動(dòng)：大展弦比機(jī)翼繞流zro子午面EXIT柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱流動(dòng)：液體在圓截面管道中的流動(dòng)

流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)

在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流也簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)，此時(shí)取定空間曲線坐標(biāo)s

的值相當(dāng)于指定總流的過(guò)流斷面，但由于過(guò)流斷面上的流動(dòng)要素一般是不均勻的，所以一維簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是要在過(guò)流斷面上給出運(yùn)動(dòng)要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s其流場(chǎng)為s—空間曲線坐標(biāo)

元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo)s

沿著流線。EXIT一維流動(dòng)位變導(dǎo)數(shù)？均勻流非均勻流

七.均勻流、非均勻流；漸變流、急變流

均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。EXIT為什么？判別uxazyxo

以下的流動(dòng)是均勻流：

應(yīng)注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動(dòng)

相區(qū)別，前者是流動(dòng)沿著流線方向不變，后者是流動(dòng)沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個(gè)特例。EXIT例如

在實(shí)際流動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到均勻流，如等截面的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)、斷面形狀不變，且水深不變的長(zhǎng)直渠道內(nèi)的流動(dòng)等。

恒定均勻流的時(shí)變加速度和位變加速度都為零，即流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力為零，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若總流為均勻流，其過(guò)流斷面是平面。這些均勻流的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，將給以后處理相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題帶來(lái)便利，因此在分析流動(dòng)時(shí)，特別關(guān)注流動(dòng)是否為均勻流的判別。EXIT是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較小；

流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；

流線彎曲的曲率較大。

漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒(méi)有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判定。是否EXIT均勻流，漸變流和急變流示意圖EXIT

圖中閘門(mén)出流時(shí)，流體的慣性作用使得閘門(mén)孔孔口出流后形成收縮。最小斷面c-c稱作收縮斷面，該斷面通常看作是漸變流。

八.系統(tǒng)和控制體

由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其空間位置、體積、形狀都會(huì)隨時(shí)間變化，但與外界無(wú)質(zhì)量交換。

有流體流過(guò)的固定不變的空間區(qū)域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時(shí)間控制體將被不同的系統(tǒng)所占據(jù)。

站在系統(tǒng)的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是歐拉方法的特征。EXIT占據(jù)有限體積

系統(tǒng)

流體團(tuán)微分體積

系統(tǒng)

流體微團(tuán)

最小的

系統(tǒng)

流體質(zhì)點(diǎn)

有限體積

控制體

微元

控制體

場(chǎng)點(diǎn)大小EXIT任務(wù)3連續(xù)性方程EXIT

直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的其他幾種常見(jiàn)形式定常總流的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程——質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本約束

用歐拉觀點(diǎn)對(duì)質(zhì)量守恒原理的描述：連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)必須維持質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性，即質(zhì)點(diǎn)間不能發(fā)生空隙。因此，凈流入控制體的流體質(zhì)量必等于控制體內(nèi)因流體密度變化而增加的質(zhì)量。EXIT

一.直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’凈流入前后這一對(duì)表面的流體質(zhì)量為

在時(shí)間段dt

里，從abcd

面流入微元體的流體質(zhì)量為從a’b’c’d’面流出的流體質(zhì)量為EXITxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’

同理可知，在時(shí)間段dt

里，沿著y方向和z方向凈流入左右和上下兩對(duì)表面的流體質(zhì)量分別為和uyEXIT三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程

在時(shí)間段dt

里，微元內(nèi)流體質(zhì)量的增加

根據(jù)質(zhì)量守恒原理簡(jiǎn)化或?qū)懗蒃XIT

恒定流動(dòng)的連續(xù)方程EXIT

極坐標(biāo)中平面流動(dòng)的連續(xù)方程d

u

ourrd

dr

r

對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（不論是恒定或非恒定），連續(xù)方程為EXIT速度場(chǎng)的

散度為零

二.連續(xù)性方程的其他幾種常見(jiàn)形式不可壓縮流體速度場(chǎng)的散度流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團(tuán)的體積膨脹率。

連續(xù)方程表明不可壓縮流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個(gè)方向上有拉伸，則必有另一個(gè)方向上的壓縮，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其體積不會(huì)發(fā)生變化。EXIT對(duì)于不可壓縮流體沿x方向的一維流動(dòng)，

，其連續(xù)性方程為：對(duì)于可壓縮流體在

xy平面內(nèi)的二維定常流動(dòng)，其連續(xù)性方程為：對(duì)于不可壓縮流體在

xy平面內(nèi)的二維流動(dòng)，其連續(xù)性方程為：EXIT

恒定條件下：總流管的形狀、位置不隨時(shí)間變化。總流內(nèi)的流體是不存在空隙的連續(xù)介質(zhì)，其密度分布恒定，所以這段總流管內(nèi)的流體質(zhì)量也不隨時(shí)間變化。沒(méi)有流體穿過(guò)總流管側(cè)壁流入或流出，流體只能通過(guò)兩個(gè)過(guò)流斷面進(jìn)出控制體。

控制體：上游過(guò)流斷面A1和下游過(guò)流斷面A2之間的總流管A1A2QmQm

三.定常總流的連續(xù)性方程通過(guò)恒定總流兩個(gè)過(guò)流斷面的質(zhì)量流量相等。

恒定總流

連續(xù)方程即或通過(guò)恒定總流兩個(gè)過(guò)流斷面的體積流量相等。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律即可得出結(jié)論：在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)A1流入控制體的流體質(zhì)量等于通過(guò)A2流出控制體的流體質(zhì)量。

又若流體不可壓，

=const

EXIT

對(duì)于不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程，容易理解為什么流線的疏密能夠反映流速的大小。

在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應(yīng)變化。質(zhì)量的總流入=質(zhì)量的總流出。EXIT任務(wù)4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解EXIT平面流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問(wèn)題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)。

給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系。分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。EXIT

一.平面流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體運(yùn)動(dòng):移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng):移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、變形控制體的選取:邊長(zhǎng)為dx，dy，dz的微元平行六面體。E形心處速度：vx,vy,vzE點(diǎn)處速度：流體微團(tuán)上各點(diǎn)速度的表示各角點(diǎn)處x方向速度：E以平面運(yùn)動(dòng)為例流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解

各角點(diǎn)的速度分量中都包含vx,vyx方向移動(dòng)速度：vxz方向移動(dòng)速度：vzy方向移動(dòng)速度：vy1.移動(dòng)A和D、B和C間的x向速度分量差:x方向線應(yīng)變速度：z方向線應(yīng)變速度：y方向線應(yīng)變速度：C和D、B和A間的y向速度分量差:2.線變形運(yùn)動(dòng)A和D、B和C間的y向速度分量差:C和D、B和A間的x向速度分量差:結(jié)果:(1)AD邊和BC邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)微元角度(2)AB邊和DC邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微元角度3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(1)角變形運(yùn)動(dòng)角變形角變形速度:每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(續(xù))(2)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)速度:每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(續(xù))第一項(xiàng)：平移運(yùn)動(dòng)第二項(xiàng)：線變形運(yùn)動(dòng)第三項(xiàng)：角變形運(yùn)動(dòng)第四項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解(續(xù))

考察在M點(diǎn)的一階臺(tái)勞展開(kāi)，以x方向分量為例。

二.三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解EXITdr

同理EXIT合并成矢量形式流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度關(guān)系的一般形式亥姆霍茲速度分解定理EXIT主對(duì)角線上三個(gè)元素是線變形速率其余的是角變形速率流體的變形速率張量，是二階對(duì)稱張量EXIT流體旋轉(zhuǎn)角速度矢量，它恰是流速場(chǎng)的旋度矢量的一半。

旋度EXIT

亥姆霍茲速度分解定理各項(xiàng)的物理意義:

點(diǎn)的流速；

:點(diǎn)的流速；

:流體變形率張量[

]

對(duì)兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的貢獻(xiàn)，包括線變形和角變形；

:流體平均旋轉(zhuǎn)角速度引起的兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。平移變形轉(zhuǎn)動(dòng)基準(zhǔn)點(diǎn)是展開(kāi)點(diǎn)MEXIT變形速度轉(zhuǎn)動(dòng)速度適用范圍流體剛體有因點(diǎn)而異流體微團(tuán)無(wú)不隨點(diǎn)變整個(gè)剛體

流體速度分解與剛體速度分解的異同EXIT

三.有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)根據(jù)矢量的旋度定義，有對(duì)于速度場(chǎng)

，令：稱

為渦量或渦度。與速度場(chǎng)

對(duì)應(yīng)，

也構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，稱之為渦量場(chǎng)。

唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿足，寫(xiě)成分量形式為：旋度無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類(lèi)是

很重要的EXIT

判別渦量注意：研究流體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，研究對(duì)象應(yīng)取流體微團(tuán)，而非流體質(zhì)點(diǎn)。

一般來(lái)說(shuō)，粘性流體的流動(dòng)是有旋的，而理想流體的流動(dòng)可能是無(wú)旋的，也可能是有旋的。流動(dòng)究竟是有旋還是無(wú)旋，是根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)確定的，如果在所討論的流場(chǎng)中，每一個(gè)流體微團(tuán)都不作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則流動(dòng)是無(wú)旋的，即

有旋流動(dòng)和有勢(shì)流動(dòng)的判別僅在于流速場(chǎng)的旋度是否為零。不要根據(jù)流線是直線或曲線來(lái)直觀判別，以免出錯(cuò)。流線是圓周，無(wú)旋流線是直線，有旋xyoxyoEXIT1.渦線仿照流線的定義，可定義渦線

來(lái)表示

的方向，即渦線是表示

方向的曲線，渦線處處與

相切。渦線的微分方程概念2.旋渦通常把斷面上

較大的渦管稱作旋渦或旋渦體。3.渦管通過(guò)任一封閉曲線C的所有渦線所構(gòu)成的管狀曲面稱渦管。4.速度環(huán)量在三維流場(chǎng)中任選一有向封閉曲線C。流速沿著C的積分

稱為曲線C的速度環(huán)量速度環(huán)量是標(biāo)量，其正負(fù)號(hào)不僅與速度的方向有關(guān)，而且與線積分的繞行方向有關(guān)規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?.梯度補(bǔ)充：梯度、散度和旋度（以直角坐標(biāo)系為例）1、梯度（gradient）：表示一個(gè)物理量（可以是標(biāo)量也可以是矢量，如溫度、壓力、速度等）相對(duì)于另一給定可變量（尤指距離）的變化率（表征物理量沿某個(gè)方向變化的劇烈程度），是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的量度。對(duì)任一標(biāo)量對(duì)任一矢量6.散度2、散度（divergence）：用以判斷矢量場(chǎng)是否有源。如果某一矢量的散度處處為0，則稱該矢量場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)（也稱為管式場(chǎng)），否則為有源場(chǎng)。

對(duì)任一矢量

7.旋度3、旋度（vorticity）：用以判斷矢量場(chǎng)是否有旋。如果某一矢量的旋度處處為0，則稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，否則為有旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)和有勢(shì)場(chǎng)是等價(jià)的。對(duì)任一矢量

(1).微元封閉周線的斯托克斯定理沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線所包圍的面積的渦通量。8.斯托克斯定理(2).平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線所包圍的面積的渦通量。(3).空間表面上的斯托克斯定理沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線上的空間表面的渦通量。9.湯姆孫定理正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化。10.亥姆霍茲旋渦定理

(1).亥姆霍茲第一定理

在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同(2).亥姆霍茲第二定理

正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。(3).亥姆霍茲第三定理

在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。例1：有旋、無(wú)旋流動(dòng)判斷。某不可壓縮流場(chǎng)，各方向的速度分別為

求t=0和t=0.5時(shí)，在（1，1）點(diǎn)處流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，并說(shuō)明是有旋還是無(wú)旋流動(dòng)。解：屬于二維流動(dòng)。

在（1，1）點(diǎn)，

例2例3例3例4例5任務(wù)5勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系無(wú)旋流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)等價(jià)

稱為

速度勢(shì)函數(shù)一.流速勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)EXIT

起點(diǎn)不同，速度勢(shì)相差一個(gè)常數(shù)，不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。EXIT速度勢(shì)函數(shù)的定義速度勢(shì)函數(shù)的求法（一）直接根據(jù)定義求

與路徑無(wú)關(guān)，可選一條簡(jiǎn)便的路徑計(jì)算M0M1Oyxz

要按照定義求速度勢(shì)，不要誤認(rèn)為做三個(gè)獨(dú)立的不定積分。

給出流場(chǎng)，求解速度勢(shì)，要先檢查流場(chǎng)是否無(wú)旋。代入確定EXIT速度勢(shì)函數(shù)的求法（二）尋找全微分已知速度場(chǎng):

此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，并求速度勢(shì)函數(shù)。求證由知EXIT例-1不可壓縮無(wú)旋平面流動(dòng)EXIT按三個(gè)不定積分求按定義求按三個(gè)不定積分求由知EXIT例-2已知速度場(chǎng):

此流動(dòng)是不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)，并求速度勢(shì)函數(shù)。求證不可壓縮無(wú)旋滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。EXIT不可壓流體無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程極坐標(biāo)中速度勢(shì)函數(shù)dlxyd

r

rd

dr有勢(shì)流動(dòng)&速度勢(shì)函數(shù)小結(jié)

無(wú)旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。速度場(chǎng)有勢(shì)的充要條件：流動(dòng)無(wú)旋。

有勢(shì)流動(dòng)無(wú)旋流場(chǎng)中，速度的旋度處處為0。根據(jù)場(chǎng)論：若任一矢量場(chǎng)的旋度為0，則該矢量一定是某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度（梯度的旋度等于0）。因此——速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。直角坐標(biāo)系已知速度勢(shì)函數(shù)，可求勢(shì)流場(chǎng)的速度分布。

速度勢(shì)函數(shù)potentialfunction流動(dòng)無(wú)旋速度場(chǎng)有勢(shì)等價(jià)

速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)（1）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。（2）在不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系

勢(shì)函數(shù)是無(wú)旋流動(dòng)中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它在任一方向上的導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度。

調(diào)和函數(shù)Laplace方程的解（調(diào)和函數(shù)）具有線性可疊加性！！（3）有勢(shì)流動(dòng)中沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程改寫(xiě)矢量場(chǎng)無(wú)旋，必有相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)定義其勢(shì)函數(shù)EXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的定義原流速場(chǎng)的流函數(shù)Streamfunction

將平面上一段有向微元弧長(zhǎng)順時(shí)針轉(zhuǎn)900，方向?yàn)閐l之法向n

，大小為dl

，可記為ndl根據(jù)流函數(shù)定義dlndldx-dxdydyuEXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的微分為穿過(guò)微元弧長(zhǎng)的流量，所以把

稱為流函數(shù)。表示穿過(guò)M0

至M連線的流量，它與連線路徑無(wú)關(guān)，在起點(diǎn)M0

確定的情況下，它是終點(diǎn)M的坐標(biāo)的函數(shù)。

根據(jù)定義確定流函數(shù)時(shí)選取不同的起點(diǎn)M0

，流函數(shù)將相差一個(gè)常數(shù)，但同樣不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。M0M

對(duì)于不可壓流體的平面流動(dòng)是容易理解的，而三維流動(dòng)就得不到這樣的結(jié)論。EXITEXITM0M1M2Q2Q1Q

兩點(diǎn)流函數(shù)的差表示穿過(guò)兩點(diǎn)間任意連線的流量。流函數(shù)與流線、流量的關(guān)系EXIT

同一條流線上任意兩點(diǎn)的流函數(shù)值相等。M0M2Q2Q1M1M1、M2在同一條流線上，則

=const不可壓流體平面流動(dòng)的流線方程

=C

如圖中所示,若表示有流量自M1M2連線左側(cè)流進(jìn)右側(cè)，由此可在流線上畫(huà)出流動(dòng)方向。M1M2=C1=C2

利用流函數(shù)定義，可確定流動(dòng)方向。EXIT儒科夫斯基法則(教材p99)沿著流速u(mài)的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o

就是

增值的方向；或者說(shuō)沿

增值方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o即為流速u(mài)的方向。Joukowskirule儒科夫斯基法則u

如果不可壓縮流體平面流動(dòng)是無(wú)旋的，那么說(shuō)明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。EXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的求法不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程

流函數(shù)的概念本與流動(dòng)是否無(wú)旋無(wú)關(guān)，在這里引出，是為了下面建立不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)復(fù)勢(shì)的需要。

類(lèi)似于速度勢(shì)函數(shù)的求法，若已知不可壓縮流體平面流動(dòng)的速度場(chǎng)，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法求。注二維流動(dòng)和流函數(shù)小結(jié)

流函數(shù)存在的條件二維不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)方程為如果有一個(gè)函數(shù)，其滿足流函數(shù)存在的條件不論是理想流體還是粘性流體，是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，只要是平面或軸對(duì)稱不可壓縮流動(dòng)，總存在流函數(shù)。但對(duì)于（二維）可壓縮流體的流動(dòng)，由于連續(xù)方程中多了項(xiàng)，故只有在定常流動(dòng)時(shí)才存在流函數(shù)。則此函數(shù)一定滿足二維不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)性方程，就稱為流函數(shù)。存在標(biāo)量函數(shù)能自動(dòng)滿足平面或軸對(duì)稱流動(dòng)的連續(xù)性方程。streamfunction或流函數(shù)存在的2種情況1.對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，若存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維不可壓縮流動(dòng)的流函數(shù)。則函數(shù)能自動(dòng)滿足的連續(xù)性方程：2.對(duì)于二維定常可壓縮流動(dòng)，如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維定常可壓縮流動(dòng)的流函數(shù)。則函數(shù)能自動(dòng)滿足的連續(xù)性方程：

流函數(shù)的性質(zhì)（1）在同一條流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線即是流線。證明平面流動(dòng)的流線方程

如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：則積分可得結(jié)論流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線是流線。（2）在平面流動(dòng)中，兩條流線間單位厚度通過(guò)的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。（3）在不可壓縮、平面、勢(shì)流中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程不可壓縮平面勢(shì)流結(jié)論不可壓縮平面、勢(shì)流的流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。二維不可壓縮勢(shì)流和二維可壓縮定常勢(shì)流，同時(shí)存在流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)。柯西—黎曼條件Cauchy-Riemannconditions

三者知其一，可求其余兩個(gè)。勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都存在。前提稱這對(duì)調(diào)和函數(shù)互為共軛調(diào)和函數(shù)。速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)各自存在的條件不同。特別注意二.流速勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系求流函數(shù)先檢查是否為不可壓縮流體平面流動(dòng)？求速度勢(shì)

以上速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是在不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的條件下建立的。

在不可壓縮流體平面有旋流動(dòng)中就只有流函數(shù)，沒(méi)有速度勢(shì)。

在不可壓縮流體三維無(wú)旋流動(dòng)中就只有速度勢(shì)，沒(méi)有流函數(shù)。如不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)流動(dòng)有旋，不存在速度勢(shì)先檢查流動(dòng)是否無(wú)旋？EXIT注流網(wǎng)

在平面勢(shì)流場(chǎng)中，等勢(shì)線簇和流線簇相互正交構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。Flownet等勢(shì)線與流線正交。等勢(shì)線簇斜率流線簇斜率證明調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)2.調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)3.疊加公式1.調(diào)和函數(shù)滿足的拉普拉斯方程的函數(shù)。

對(duì)于不可壓縮平面勢(shì)流，勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)所滿足的拉普拉斯方程都是線性偏微分方程，這類(lèi)方程的解具有線性