2023年江西省重點中學高考理科數學第一次聯考試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

O

1.（5分）設集合4={%€N|備€N}，B={XEN\-1<X<4}9則AA5=（）

A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,4}

2.（5分）己知復數z滿足|z|=|z-4i|（，為虛數單位），則z的虛部是（）

A.-2/B.2/C.-2D.2

3.（5分）已知a,0是兩個不同的平面，a,b,c是三條不同的直線，則下面說法中正確

的是（）

A.若aua,bua,月.c_L〃，cA^b,貝c_La

B.若qua,且。_L〃，則/?J_a

C.若且c_LZ?,貝!Jc〃a

D.若且c〃①c//b,則a〃0

TTT->T

4.（5分）已知單位向量a,b,滿足|a|=|a+b|,則向量（a+與b的夾角是（）

A.120°B.60°C.90°D.30°

5.（5分）2021年12月9日15時40分，“天宮課堂”第一課開始，神舟十三號乘組航天員

翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站進行太空授課.某中學組織全校學生觀看了此次

授課，三位太空老師介紹展示了中國空間站的工作生活場景，演示了微重力環境下細胞

學實驗、物理運動、液體表面張力等現象，并與地面課堂進行了實時交流，極大地激發

了學生探索科學的興趣.為了解同學們對“天宮課堂”這種授課模式的興趣，此校決定

利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學生中隨機抽取90人進行調查，已知該校學生

共有3600人，若抽取的學生中高二年級有30人，則該校高二年級學生共有（）

A.800人B.1000人C.1200人D.1400人

6.（5分）在三棱錐P-A8C中，PA=6,AB=8,PB=2BC=\0,NBPC=30°,則三棱錐

P-ABC外接球的表面積為（）

500125

A.IOOITB.-----nC.-----rrD.25ir

33

（2x—y>-2

7.（5分）若尤，y滿足約束條件y+2NO,則z=3H+y的最小值為（）

（%+2y<2

A._2B.0C.4D.16

8.（5分）已知拋物線Cy2=2px（p>0）的焦點為尸，點M是拋物線。的準線與x軸的

交點，點尸在拋物線上，若sin4PMF=R,則sin/P尸M=（）

81253

A.B.—C.——D.

1313124

9.（5分）已知函數,/<x+1011）是定義在R上的奇函數，若g（x）=/（x）+sinnx+l,則正絡g（k）

的值是（）

A.-2022B.2022C.-2023D.2023

10.（5分）已知數列｛鏟X寸的前”項和為7；“若對任意的〃6N*,不等式6〃<3a2-a

恒成立，則實數a的取值范圍是（）

22

A.（-8,一可]U[1,+8）B.（—co,-1]U[2,/+oo）

22

C.[一（，1]D.（-8,-1）U（l,+8）

11.（5分）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角

均小于1200時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三

角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，則尸（x,y）=J（x-2A/3）2+y2+

J（x+1-V3）2+（y-1+V3）2+Jx2+（y-2）2的最小值為（）

A.4B.2+2>/3C.3+2V3D.4+2^3

12.（5分）已知函數/（x）=小2-川-^在區間[0,+8）上的最大值為0,則實數a的取

值集合是（）

A.（-8,yL-A.e2+v2j

V2+1,6

B.｛-^-e2-勺

V2-1〃萬V2+1.r=

C.｛-------,e2+夜，-----?e2一但｝

22

V2+1,萬、

D.[-------'e2-V2,oo）

2+

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.（5分）已知隨機變量X?8（6,p）,丫?N（H，。2）,且P（注4）=E（X）=E

（D,則「=.

14.（5分）已知正項等比數列｛斯｝的前〃項積為力”若方是｛6｝中唯一的最小項，則滿足

條件的｛〃”｝的通項公式可以是（寫出一個即可）.

X2V2

15.（5分）已知直線/：y=2x+f與雙曲線C：~—='的兩條漸近線（a>0，b>0）分

azb?

別交于點A,8（不重合），與直線〃?：y=x交于點M,若京=痛3,則雙曲線的離心率

為.

16.（5分）已知△A8C中，|扇『+2易?G=9,\BC\=3,則AABC面積的最大值

是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

17.（12分）在△A8C中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,己知4VC,c=百，sinC

（cosA-sinB）=cosC（sinA-cosB）.

⑴若。笠，求角C的值；

（2）若。=竽，求^ABC的面積.

18.（12分）卡塔爾世界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中

先將32個國家隨機分為ABCDEFGHS個小組，每個小組中4個國家進行循環積分賽，

在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負者積。分，平局各積1分，積分前兩名者晉級

下一輪淘汰賽：每組的循環積分賽分3輪，其中C組國家是阿根廷，墨西哥，波蘭，沙

特，第一輪是阿根廷MS沙特，墨西哥"波蘭；第二輪是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波

蘭；第三輪是阿根廷VS波蘭，墨西哥V5沙特.小組賽前曾有機構評估C組四個國家的

實力是阿根廷>墨西哥〉波蘭〉沙特，并預測各自勝負概率如下：（1）阿根廷勝墨西哥

概率為之阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為馬阿根廷平墨西哥、波蘭、沙特的

23

11

概率均為二；（2）墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為Q墨西哥平波

62

蘭、墨西哥平沙特、波蘭平沙特的概率均為3按照上述機構的評估與預測，求解下列問

題：

（1）已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷1：2沙特，墨西哥0：0波蘭，第二輪中，阿

根廷2：0墨西哥，沙特0：2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級的概率（積分相同時實力

強的優先晉級）；

（2）設阿根廷在小組賽中的不敗的場次為X,求X的分布列及數學期望.

19.(12分)如圖，已知直角梯形ABCD與ADEF,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,ADVAF,

ED//AF,ADVAB,BC//AD,G是線段BF上一點.

(1)求證：CE〃平面BED；

(2)若平面ABC￡>J_平面4OEF,設平面CEG與平面AB尸所成角為0,求cosO的取值

范圍；

B匕------密

%2y2rp

20.(12分)已知橢圓E：—+^-=1(a>0,b>0),離心率e=3,P為橢圓上一點,

Fl.用分別為橢圓的左，右焦點，若△尸尸1人的周長為2+2遍.

(1)求橢圓E的方程.

(2)已知四邊形ABCD端點(不與橢圓頂點重合)為橢圓的內接四邊形，且第2="；C,

TT5

BF2=HF2Z),若直線CD斜率是直線AB斜率的y倍，試問直線AB是否過定點？若是,

求出定點坐標；若不是，說明理由.

21.(12分)設/(%)=(4—a+Q%)e*—+2(a〉0).

(1)當〃=2時，求/(x)在［0,+8)上的最大值;

(2)若fUwe］)=f(Inxz)=0(0<xi<X2)?則當二?取得最小值時，求a的值.

Xi

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

分)在平面直角坐標系中，已知曲線2222

22.(10Ci：x+y=r(0<r<1),C2：y4-y=1,

P，Q分別為曲線。和曲線。2上的動點，且IPQ的最小值為1-孝，以坐標原點為極點，

x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求r和C2的極坐標方程；

(2)若射線/與C”C2在第一象限分別交于48兩點，且［48|=孝，求/的極坐標方

程.

［選修4-5：不等式］

23.［選修4-5：不等式選講］

己知函數f(x)=|x-2|+|2x+4|.

(1)求/(X)的最小值加

a2b2

(2)若a,。正實數，且〃+6=相，證明不等式：—+—>4.

ba

2023年江西省重點中學高考理科數學第一次聯考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

O

1.（5分）設集合4={%€N|缶€N},B={XEN\-1<X<4}9則AA3=（）

A.{0,1,2）B.{0,1,3）C.{1,2,3}D.{1,2,4）

【解答】解：???4={XWN|3WN},^={%G/V|-1<x<4},

：.A={0f1,3,7},B={0,1,2,3,4},

??.AnB={0,1,3）.

故選：B.

2.（5分）已知復數z滿足|z|=|z-4i|（i為虛數單位），則z的虛部是（）

A.-2zB.2zC.-2D.2

【解答】解：設z=〃+4（〃，Z?GR）,

\z-4i\=\a+（/?-4）z|,\z\=\a+bi\f

V|z|=|z-4z|,

/.a2+b2=a2+（/?-4）2,解得〃=2.

故選：D.

3.（5分）已知a,0是兩個不同的平面，mb,c是三條不同的直線，則下面說法中正確

的是（）

A.若aua,bua,且c_La,c_Lb,則c_La

B.若aua,且則Z?_La

C.若b_La,且c_L4則c〃a

D.若a_La,bJLp,且c〃mc//bf則a〃0

【解答】解：對于A,由“ua,bua,且c_Lmc_Lb,

當且僅當。，h相交時，才能得到^^故A錯誤；

對于3,若aua,且Z?_La,或人〃a或bua或人與a相交但不垂直，故8錯誤；

對于C,若b_La,且cJ_6,則c〃。或cua,故C錯誤；

對于。，若?！╝,c//bf則。〃。，又a_La,b_L0,且a,0是兩個不同的平面，故a〃

0,故。正確.

故選：D.

T—TT-*TI->->

4.（5分）己知單位向量a,b,滿足|a|=|a+b|,則向量（a+々b）與匕的夾角是（）

A.120°B.60°C.90°D.30°

【解答】解：單位向量工b,滿足向=日+國,

TTT-*T->T1

則Q2=Q2+2Q.b+Z?2,即Q,b=_I，

177T「ITii

（cz+21b）?h=a?b+2b之=~22=0，

則向量（a+/b）與b的夾角是90°.

故選：C.

5.（5分）2021年12月9日15時40分，“天宮課堂”第一課開始，神舟十三號乘組航天員

翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站進行太空授課.某中學組織全校學生觀看了此次

授課，三位太空老師介紹展示了中國空間站的工作生活場景，演示了微重力環境下細胞

學實驗、物理運動、液體表面張力等現象，并與地面課堂進行了實時交流，極大地激發

了學生探索科學的興趣.為了解同學們對“天宮課堂”這種授課模式的興趣，此校決定

利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學生中隨機抽取90人進行調查，已知該校學生

共有3600人，若抽取的學生中高二年級有30人，則該校高二年級學生共有（）

A.800人B.1000人C.1200人D.1400人

【解答】解：根據題意，利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學生中隨機抽取90人

進行調查，已知該校學生共有3600人，則抽樣比為券=二，

360040

抽取的學生中高二年級有30人，則該校高二年級學生共有30+焉=1200人，

故選：C.

6.（5分）在三棱錐P-ABC中，PA=6,AB=8,PB=2BC=10,NBPC=30°,則三棱錐

P-ABC外接球的表面積為（）

500125

A.IOOITB.—rrC.——rrD.257r

【解答】解：三棱錐P-ABC中，PA=6,AB=8,PB=2BC=13NBPC=30°,如圖

所示：

所以南2+432=尸32,所以NB48=90。；

△P8C中，由余弦定理得52=l（）2+pc2-2X10XPCXcos30°,

解得PC=5g,所以尸C2+BC2=PB2,NPCB=9Q°,

取外的中點O,連接。4、OC,則OA=OC=*8,

所以三棱錐P-ABC外接球的直徑是PB=10,

外接球表面積是4nX52=100n.

,2x-y>—2

7.（5分）若x,y滿足約束條件y+2N0,則z=3以|+y的最小值為（）

X4-2y<2

A.-2B.0C.4D.16

?2x—y>—2

【解答】解：作出實數X,y滿足約束條件y+220時應的平面區域如圖:

X+2y<2

目標函數z=3,i+產產,

1-3%+y,x<0

當分段函數的圖象經過。（0,-2）時取得最小值,

則z=3\x\+y的最小值為-2,

故選：A.

8.(5分)已知拋物線C/=2px(p>0)的焦點為F,點M是拋物線C的準線與無軸的

交點，點P在拋物線上，若s力乙PMF=/，貝lJsinNPFM=()

81253

A.—B.—C.——D.

1313124

【解答】解：過尸作PQLQM,

由拋物線的性質可得|「網=|PQ|,

又sinzPMF=

則s譏NMPQ=

19

即COSNMPQ=昔

日rJPQI12

\PM\13

日”|PF|12

\PM\13

又|PF|=|PM|

sinz.PMFsinZ.PFM'

mu?\PM\sinZ.PMF5

則smNPFM=J——宿科----=行,

，若g(x)=/x)+sinnx+l,則正給g(k)

的值是()

A.-2022B.2022C.-2023D.2023

【解答】解：根據題意，函數/(x+1011)是定義在R上的奇函數，則/(x+1011)47(-

x+1011)=0,變形可得/(x)4/(2022-幻=0,

g(x)=/(x)+sinirx+l,貝Ug(2022-x)=f(2022-x)+sin[(2022-x)JT]+1=-/(X)

-siniLx+1,

則有g(x)+g(2022-x)=2；

又由函數/(x+1011)是定義在R上的奇函數，則/(1011)=0,g(1011)=/(1011)

+sin(lOlln)+1=1,

潞g(k)=g(0)+g⑴+g(2)+……+g(2022)=[g(0)+g(2022)]+[g(1)+g

(2021)]+.......[g(1010)+g(1012)]+g(1011)=2X1011+1=2023,

故選：D.

10.(5分)已知數列｛贏昌啟｝的前"項和為T”,若對任意的〃6N*,不等式6〃<3a2—a

恒成立，則實數a的取值范圍是()

22

A.(-co,-U[1,+oo)B.(-8,-1]U,+00)

22

C.[-^I]D.(-oo,一§u(L+00)

3長,4〃11111

一\一),

吟4n2+4n-3一(2n-l)(2n+3)42n—l2n+3

1111111111

所以/(1-1)+(---)+(———)+'…+(—)4-(—)]—

592九一32n+12n-l2n+3

1Z.,1111411)<1

4(l+32n+l2n+3)-4(一一

3—2n+l2n+33

因為對任意的〃6N*,不等式6〃V3a2-a恒成立，即北<線

13a2—a9

所以------，即(3a+2)(a-1)20,解得。工一］或。21,

363

所以實數。的取值范圍是(-8,7+8).

故選：A.

11.(5分)費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角

均小于1200時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三

角形三邊的張角相等且均為120。.根據以上性質，則FQ,y)=-26尸+y2+

J(x+1-V3)2+(y-1+V3)2++(y-2)2的最小值為()

A.4B.2+2V3C.3+2V3D.4+2V3

【解答】解：由兩點間的距離公式得，

P(x,y)到點8(2V3,0),

A(-1+V3,1-V3),C(0,2)的距離之和,

即求點尸(x,y)到點(2V3,0),(-1+V3,1-V3),(0,2)的距離之和的最小值,

取最小值時的這個點即為這三個點構成的三角形的費馬點，

如圖所示，在△ABC中，A8=AC=2近，BC=4,

ZAPB=ZAPC=ZBPC=120°,

所以NBPM=NCPM=60°,

所以BP=CP=叱。=4~=孥,PM=BPsin30°=攣，AP=AM-PM=2-^-,

sinoOv3333

~2

所以最小值為BP+CP+AP=等+竽+2—竽=2+2V3.

故選：B.

12.(5分)已知函數/(x)="|/-2%|-"在區間［0,+8)上的最大值為0,則實數a的取

值集合是()

A.(-8,1.g2+x/2j

2

V2+1,廳

B.e2-勺

2

V2—1,,萬V2+1,百

C.{-------'e2+共，-----2-低}

22

V2+1,萬、

D.[--------?e2-色oo)

2+

【解答】解：依題意，因為函數/(x)=。*-2丫|-，在區間[0,+8)上的最大值為0,

所以ak2-2x|-，W0(x20),

即alx2-(x20),

①當x=0或x=2時，0W1或OW/成立，此時“eR；

②當0<xV2時，因為aF-ZHW/,所以aShJ,

LX-XL

靖

令g(x)=(0<x<2),

2x-%2

則g，(X)=竺(r2+與2),

(2x—x2)

令g'(x)=0,解得x=2-或，

所以當xC(0,2-V2)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減,

當xe(2-V2,2)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

所以g(x)在x=2-夜處取得最小值，

所以g(x)2g(2-V2)="，2一厄,

所以aS竽*2-疝；

③當x>2時，因為°*-2、仁心所以三號，

令h(x)=e?(x>2),

x7z-2x

則力(》)=也烏二出等，

(x2—2%)

令〃'(x)=0,解得X=2+VL

所以當xC(2,2+V2)時，h'(x)<0,h(x)單調遞減,

當xe(2+V2,+8)時，h'(x)>0,h(x)單調遞增，

所以人(%)在x=2+夜處取得最小值，

所以〃(x)，/?(2+V2)=%I.e2+O,

所以。W與1*2+低，

又因為與Le2-四v與1"2+低，

綜上所述：“W與i”2+四.

故選：A.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)

13.(5分)己知隨機變量X?B(6,p),丫?N卬，。2),且「(y24)=|,E(X)=E

2

(n,貝

【解答】解：因為隨機變量X?B(6,p),所以E(X)=6p,

因為y?N(p,。2),p(y24)=；,所以黑=4,即f(y)=4,

42

又E(X)=E(H,所以60=4,即〃=召=可

故答案為：

3

14.（5分）已知正項等比數列｛斯｝的前〃項積為力”若方是｛〃｝中唯一的最小項，則滿足

條件的｛斯｝的通項公式可以是的=42'-1（答案不唯一）（寫出一個即可）.

【解答】解：令斯=Qf

248

9

%--==?

則數列｛面單調遞增，且即=/，a2?，

99*?5

?7_17_287_64

??0=可72=班’乃=彷T4=6561f

.?.。>乃>73>北,

當〃25時，丁九一二冊=g?2"?,ATn>Tn+]f

.".T1>72>7,3>74<75<76<T

二。是｛T"｝中唯一的最小項，滿足條件.

故答案為：所=”nT（答案不唯一）.

22

5（5分）已知直線/：尸2成與雙曲線C/X一靠V=1的兩條漸近線（心0,Q0）分

別交于點A,8（不重合），與直線，〃：y=x交于點M,若薪=詁，則雙曲線的離心率

為_V3_.

x2y2

【解答】解：已知雙曲線C的方程為二一W=i,

azbz

則雙曲線的兩條漸近線方程為y=±：x,

b

聯立"￡%,

jz=2%4-1

消y可得x=B，

a-2

b

聯立y__&%,

y=2x1

消y可得x=

~a-2

聯立｛；Jx+t，

消y可得x=-f，

又4M=MB,

即M為AB的中點,

即=+~b~=-23

—Z-----Z

aa

又樣0,

b*2*

即—2,

.c2-a2

即ar------=2,

Q2

即一=V3,

a

即雙曲線的離心率為8,

故答案為：V3.

16.(5分)已知△ABC中,|而『+2北?h'=9,\BC\=3,則△ABC面積的最大值是3.

【解答】解：A8C中，|北『+2/?品'=9,|BC|=3,可得c2+2bccosA=9,①

因為67=3,由余弦定理可得層+。2-2bccosA=a2=9,②

由①②可得/;2+2C2=18,且cosA=與1-，

所以sinA=V1—cos2A=1——,

y]4bC2

所以SAABC—5ftcsinA=be,1——；?=J?d4b2c2—(9—c2)2=J.

22J4bc244

74C2(18-2C2)-(9-C2)2

=1?V-9c4+90c2-81=1?V-9(c2-5)2+144,

所以「2=5時，SMBC的最大值為=3,

4

故答案為：3.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

17.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是小b,c,已知4VC,c=遮，sinC

(cosA-sinB)=cosC(sinA-cosB).

⑴若C＜當求角C的值；

27T

(2)若。=竽，求△ABC的面積.

【解答】解：(1)sinC(cosA-sinB)=cosC(sinA-cosB),

MOcosBcosC-sinBsinC=sinAcosC-cosAsinC,即cos(B+C)=sin(4-C),

VA+B+C=K,

/.-cosA=sin(A-C),即sin(A——)=sin(.A-C),

當A-C=A—今+2E,BPC=J+2/CTT(JIGZ),

VCG(0,IT),

?r-IL

*,C-2'

當A-C+A—*=7T+2kn,kGZ,

則4-C=—A+岑+2k/r,k￡Z,

TA-Ce(-n,0),

.??A-C=-A-m,即C=24+*〉*不符合題意，舍去，

綜上所述，。=宗

(2)由(1)可知，C=2A+J,即4=今，8=*，

Vc=V3,C=冬，

abc

...------=--------=-------=2,

9sinAsinBsinC

1nn27r3—V3

?二△ABC的面積為一=2sinAsinBsinC=2sin—?sin—?sin-=-----.

212434

18.(12分)卡塔爾世界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中

先將32個國家隨機分為ABCDEFGH8個小組，每個小組中4個國家進行循環積分賽，

在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負者積0分，平局各積1分，積分前兩名者晉級

下一輪淘汰賽；每組的循環積分賽分3輪，其中C組國家是阿根廷，墨西哥，波蘭，沙

特，第一輪是阿根廷VS沙特，墨西哥W波蘭；第二輪是阿根廷VS墨西哥，沙特”波

蘭；第三輪是阿根廷VS波蘭，墨西哥VS沙特.小組賽前曾有機構評估C組四個國家的

實力是阿根廷＞墨西哥〉波蘭》沙特，并預測各自勝負概率如下：(1)阿根廷勝墨西哥

12

概率為「阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為；，阿根廷平墨西哥、波蘭、沙特的

23

概率均為占(2)墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為墨西哥平波

62

蘭、墨西哥平沙特、波蘭平沙特的概率均為上按照上述機構的評估與預測，求解下列問

6

題：

(1)已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷I：2沙特，墨西哥0：0波蘭，第二輪中，阿

根廷2：0墨西哥，沙特0：2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級的概率(積分相同時實力

強的優先晉級)；

(2)設阿根廷在小組賽中的不敗的場次為X,求X的分布列及數學期望.

【解答】解：(1)前兩輪過后，阿根廷、墨西哥、波蘭、沙特的積分分別是3分、1分、

4分、3分；

21

第三輪中，阿根廷US波蘭，阿根廷勝波蘭概率為；，阿根廷平波蘭概率為:，阿根廷負于

36

波蘭概率為"

6

11

墨西哥VS沙特，墨西哥勝沙特概率為二，墨西哥平沙特概率為二墨西哥負于沙特概率為

26

1

3：

設所求事件為M,列舉可知事件M包含以下兩種情況：①阿根廷勝波蘭；②阿根廷平波

蘭且墨西哥不負于沙特，

9197

則p(M)=4+zx5=5.

(2)依題意可得X的可能取值為0、1、2、3,

=

P(X0)=iXX^-=>P(X=l)=xixi4-2x5-xX^-=A>Q=i,

3661083663661089

2511554S525525

P(X=2)=2x3x|xg+5x|x|=yog=y2J尸(X=3)=|x|x^=^-,

所以X的分布列為：

X0123

P11525

10891254

所以X的數學期望E(X)=0x+1x$+2xW+3x系=

19.(12分)如圖，已知直角梯形A3CD與ADEF,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,ADLAF,

ED//AF,ADA.AB,BC//AD,G是線段5/上一點.

(1)求證：CE〃平面BFD；

(2)若平面A3CD_L平面ADEF,設平面CEG與平面4?尸所成角為9,求cos。的取值

范圍;

【解答】證明：（1）連接AE,設AE與FO交于Q,連接AC,設AC與3。相交于尸,

_A_F_Q__A_DAP

可知一=—,BPPQ//CE,

QEDE~~BC

因為PQu平面BFD,CEC平面BFD,所以CE〃平面BFD；

解：（2）由題意可知，AEL平面ABC。，4O_L平面A8尸，建立空間直角坐標系,

則C(2,1,0),E(0,2,1),G(a-2,-1,2”)，0W“W2,

平面ABF的法向量為蔡=(0,1,0),

又占=(一2,1,1),CG=(a-2,-1,2-a),

設平面CEG的法向量為n=(x,y,z),

nJ-2%+y+z=0

AJt(a-2)x-y+(2-l)z=O'

取?i—(Q—3,a—2,ci—4),

故cos。="L=?恒—。1=^，

17nl1nlJ(a-3)2+(a-2)2+(a-4)2

令f=2-a曰0,2],cosd=--------=L=---------

J(t+l)2+t2+(t+2)2

當f=0時，cos0=O,

當te(0,2用寸，cosO=1i==..1

J3t2+6t+53+:+鄉

所以cos。E(0,-^=],

綜上，COS。E(0/r^\.

6>0）,離心率e=絡，P為橢圓上一點,

F|,尸2分別為橢圓的左，右焦點，若△PF|F2的周長為2+2巡.

（1）求橢圓E的方程.

（2）已知四邊形ABCD端點（不與橢圓頂點重合）為橢圓的內接四邊形，且/'2

—>—>5

BF2=i1F2D,若直線CD斜率是直線AB斜率的5倍，試問直線AB是否過定點？若是,

求出定點坐標；若不是，說明理由.

再由△PFIF2的周長為2+2石，可得2a+2c=2+2遙，可得“=①，c=l,

可得-C2-5-1=4,

x2y2

所以橢圓的方程為：—+—=1;

54

（2）由橢圓方程可得。=6，b=2,c=l,Fi（1,0）,

設A（xi，yi）,B（12，”），C（X3，#），D（X4，，4），

直線AC的方程為》=若｝，+1,與橢圓方程聯立，消去x可得（3-xi）/+yi（xi-1）y

-2yJ=o,

則"3=5等'即有"=急,則步=若?言^+匚爭舞,

即C（匕濁，二型），同理可得。（上濁，二邊），

3-%13-%13—%23—%2

由直線CD斜率是直線AB斜率的|倍，

-2yl-2y2

飛■一、43Tl3T23仇一%）一％，2+%2%5

nJ'、W=考—考=2（.』）二7二？

化簡可得也川-為”=2（”-yi），

即有y\(2+工2)=>2(xi+2),

丫

即為1-0________y2~~o

%1一(-2)工2-(-2)

可得點A、B和點（-2,0）三點共線，可得直線48恒過定點（-2,0）.

Q

21.(12分)設/(%)=(4—a+ax)e*-+2(Q〉0).

(1)當。=2時，求/(%)在［0,+8)上的最大值；

(2)若/(/nxi)=f(/n%2)=0(0<xi<%2)，則當這取得最小值時，求a的值.

xi

【解答】解：f(x)=(4+ar)^-3/=(4+ar-3/)

(1)a=2時，/(x)=(4+2x-3/)/,令g(x)=(4+2x-3e")e\

g'(x)=(6+2x-6/)令力(x)="-x-l(x，0),H(x)=e^-1>0,

即〃(x)在［0,+8)上單調遞增，：.h(x)2〃(0)=0,即(x20),

???6+2x-6c"W-4x<0,即g'(x)WO,：.g(x)在［0,+8)上單調遞減，

:.g(X)max=g(0)=1,即當X20時，/(X)max=1：

(2)依題有4+。/必-3xi=4+<Z/MX2_3x2=0，

即