第三章

圖形的平移與旋轉正泰初中部李曉紅回顧與思考本章知識結構圖一、平移及其性質2、平移的性質：（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）圖形經過平移，連接各組對應點所得的線段互相平行且相等。（3）對應線段平行且相等，對應角相等。

1、平移的概念：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移。3、平移圖形的實例：ABCDEFGHKLMN1、設（x，y）是原圖形上的一點，經過平移后，這個點與其對應點的坐標之間有如下關系：4、圖形的平移與坐標變化之間的關系2、設（x，y）是原圖形上的一點，當它沿x軸方向平移a個單位長度（a＞0）、沿y軸方向平移b個單位長度（b＞0）后，這個點與其對應點的坐標之間有如下關系：二、旋轉及其性質1．旋轉的概念：（1）旋轉前、后的圖形全等（對應線段相等，對應角相等)；（2）對應點到旋轉中心的距離相等；（3）每一對對應點與旋轉中心的連線所夾的角都是旋轉角，旋轉角相等；（4）圖形上的所有點都繞旋轉中心沿同一個方向旋轉相同的角度。O︵F︵ABCDE把一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一定的角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角。2．旋轉的性質：3、旋轉圖形的實例：O︵F︵ABCDEABCDE△ADE是由△ABC經過旋轉得到的，問：（1）對應關系（2）旋轉中心（3）旋轉角度OABCD△AOC繞O點旋轉到△BOD，∠AOB=30o，則∠COD多少度？30oABCDE等腰△ABC旋轉到△ADE，∠B=80o，∠CAD=30o,求旋轉角度。∠BAD或∠CAE都等于50oAO點的旋轉作法9將A點繞O點沿順時針方向旋轉60?.作法：

1.以點O為圓心，OA長為半徑畫圓;2.連接OA,用量角器或三角板（限特殊角）作出∠AOB，與圓周交于B點；3.B點即為所求作.BAO線段的旋轉作法10將線段AB繞O點沿順時針方向旋轉60?.作法：將點A繞點O順時針旋轉60?，得點C;2.將點B繞點O順時針旋轉60?，得點D；3.連接CD,則線段CD即為所求作.CBD11

如圖3—17，△ABC繞C點旋轉后，頂點A

的對應點為點D。ABCD試確定頂點B的對應位置，以及旋轉后的三角形。解：（1）連接CD；

（2）以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD；E

（3）在射線CE上截取CE=CB；

（4）連接DE。△DEC就是△ABC繞O點旋轉后的圖形。三、軸對稱及其性質：

1．軸對稱的概念：如果兩個平面圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱。

2．軸對稱的性質：（1）成軸對稱的兩個圖形全等（對應線段相等，對應角相等）；（2）對應點到對稱軸的距離相等；（3）對應點的連線被對稱軸垂直平分。ABCDEF3.軸對稱的圖形實例CBAB1C1A1NM四、中心對稱及其性質：

1．中心對稱的概念：如果把一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做它們的對稱中心。

2．中心對稱的性質：（1）成中心對稱的兩個圖形全等；（2）中心對稱的兩個圖形，對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心平分；（3）對應線段平行且相等。ABCC1A1B1O軸對稱中心對稱1有一條對稱軸

——

直線有一個對稱中心

——

點2圖形沿軸對折（翻轉

180°

）圖形繞中心旋轉

180°3翻轉后和另一個圖形重合旋轉后和另一個圖形重合ABCC1A1B1O

中心對稱與軸對稱的聯系與區別五、中心對稱圖形：

1．中心對稱圖形的概念：如果把一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與它自身重合，那么稱這個圖形是中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。2．常見的中心對稱圖形有：正偶數邊形，平行四邊形，菱形，圓、線段、長方形（矩形）注意：等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、角是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形。中心對稱與中心對稱圖形的聯系與區別區別:

中心對稱指兩個全等圖形的相互位置關系,中心對稱圖形指一個圖形本身成中心對稱.聯系:

如果將中心對稱圖形的兩個圖形看成一個整體,則它們是中心對稱圖形.

如果將中心對稱圖形對稱的部分看成兩個圖形,則它們成中心對稱.變換名稱描述變換的要素位置方向大小形狀相關性質及作圖方法軸對稱(反射)平移旋轉中心對稱對稱中心改變不變不變對稱軸平移方向,距離旋轉中心,方向,角度改變不變改變軸對稱、平移、旋轉的區別及聯系:改變下列圖形中，不能通過旋轉方式得到的是()

(A)

(B)

(C)

(D)

一個圖形繞著某一定點旋轉一定的角度(小于周角)后能與自身重合,這樣的圖形叫做旋轉對稱圖形。六、旋轉對稱圖形DABCDEF

例1、如圖,ΔDEF是由△ABC繞某一中心旋轉一定的角度得到,請你找出它們的旋轉中心..O旋轉中心在對應點連線的垂直平分線上。七、找旋轉中心.

例2、如圖,ΔDEF和△ABC成中心對稱,請你找出它們的對稱中心.成中心對稱的兩圖形的對稱中心就是對應點連線的交點找對稱中心.ABCC1A1B1O八、分析圖案的形成過程：

如圖:1.是由

為基本圖案,2.繞

,旋轉

次得到.3.旋轉角分別是:

。4.這個圖案至少繞中心點旋轉

度，才能與原圖案重合。中心二次1200

、24001200

2.右側的圖案是如何形成的？O甲乙AB3.怎樣將乙圖案變成甲圖案？E

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，現將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距離為3，求△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積。ACA′B′C′B平移的應用:練習1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，現將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距離為1.5，C′P=2,求圖中陰影部分的面積。ACA′B′C′BP拓展2：先將兩個同樣大小的直角梯形重疊在一起,再將其中一個直角梯形沿AD方向平移,平移的距離為AE的長,若圖中MG=8,CM=5,GH=20,求圖中紅色部分的面積。ACMHBGDFEM分析:因為梯形EFGH是由梯形ABCD沿AE平移得到,所以這兩個圖形是形狀大小完全相同的,紅色部分的面積和圖中哪個圖形的面積相同呢?例2.P是正方形內一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉至與△CBP′重合，若PB=3，求PP′的長。ABCDPP′解：由旋轉的性質可知BP=BP′，∠PBPˊ=∠ABC=90°∴△PBP′是等腰直角三角形。∴PP′=一題一練△ABC是等邊三角形，把△ABC繞點C順時針任意旋轉一個角度得到△A′B′C，則AA′與BB′之間有什么關系，你能說明理由嗎？ABCA′B′畫一畫（1）畫一畫（2）12、已知四邊形ABCD和點O,畫四邊形A`B`C`D`使它與已知四邊形關于點O對稱。ABCDOA'B'C'D'畫法：1、連結AO并延長到A`，使OA`=OA，得到點A的對稱點A'2、同樣畫B、C、D的對稱點B`、C`、D`3、順次連結A`、B`、C`、D`各點。四邊形A`B`C`D`就是所求的四邊形。你能將右圖通過平移或旋轉，得到左圖嗎？想一想說一說練習1怎樣將甲圖案變成乙圖案？甲甲乙乙ABBA可以先將甲圖案繞圖上的A點旋轉，使得圖案被“扶直”，然后，再沿AB方向將所得圖案平移到B點位置，即可得到乙圖案

還可以用什么方法把甲圖案變成乙圖案？說一說練習2

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經過適當的旋轉得到其他三部分嗎?能經過平移嗎?能經過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?平移:平移的方向?平移的距離?僅靠平移無法得到議一議旋轉:旋轉中心?旋轉角?旋轉方向?O

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經過適當的旋轉得到其他三部分嗎?能經過平移嗎?能經過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議

整個圖形可以看作是左邊的兩個小“十字”繞著圖案的中心旋轉3次，分別旋轉90°、180°、270°前后圖形組成的。平移、旋轉相結合:先平移后旋轉

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經過適當的旋轉得到其他三部分嗎?能經過平移嗎?能經過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議O

整個圖形可以看作是左邊的兩個小“十字”先通過一次平移成圖形右側的部分，然后左、右部分一起繞圖形的中心旋轉90°前后圖形組成的。軸對稱:

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經過適當的旋轉得到其他三部分嗎?能經過平移嗎?能經過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議

直線EF與GH相交于圖形的中心O，且互相垂直，先把左邊的兩個“十字”作關于EF的軸對稱圖形，然后作這兩部分關于GH的軸對稱圖形，這樣就可以得到整個圖形。EFGHO對稱軸?

如圖，怎樣將右邊的圖案變成左邊的圖案？說一說練習3答：以右邊圖案的中心為旋轉中心，將圖案按逆時針方向旋轉90°，然后平移，即可得到左邊的圖案。練一練——平移、旋轉、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉、中心對稱的運用旋轉的特征ABCDE（一）圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度MN如圖，△ABC繞A點旋轉60o到達△ADE的位置。B點繞A點旋轉到D點，旋轉了60o，∠BAD=60oC點繞A點旋轉到E點，旋轉了60o，∠CAE=60oM點繞A點旋轉到N點，旋轉了60o，∠MAN=60o四邊形ABCD是正方形，△DCE順時針旋轉后與△DAF重合，那么（2）連結EF后，△DEF是什么三角形？（1）旋轉角是幾度？（3）若DC＝3，CE＝1，則EF＝？

△ABC是等邊三角形，△ABP順時針旋轉后能與△CBP’重合，那么（1）旋轉角是幾度？（2）若BP＝2，則PP’＝？在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連結BE，將△BCE繞點C順時針方向旋轉900得到△DCF，連結EF，若∠BEC=600，則∠EFD的度數為（）A、100B、150C、200D、250B如圖，點E為正方形ABCD的邊CD上一點，AB=5，DE=6。△DAE旋轉后能與△DCF重合，（1）旋轉中心是哪一點？（2）旋轉了多少度？（3）如果連接EF，那么△DEF是怎樣的三角形？（4）四邊形DEBF的周長和面積？例7．如圖，如果四邊形CDEF旋轉后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點共有幾個?可以作為旋轉中心的點有3個，即D、O、C.1.以下四家銀行行標中，軸對稱圖形的有

（

）

A.B.C.D.旋轉對稱圖形的有()當一個圖形在平面內繞著某一定點旋轉一定的角度(小于周角)后能與自身重合,這種圖形就稱為旋轉對稱圖形.旋轉對稱圖形AA,C,D例2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以點C為中心旋轉到△A′B′C的位置，使B在斜邊A′B′上，A′C與AB相交于D，試確定∠BDC的度數．解：∵△A′B′C是由△ABC旋轉所得，∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC，∴△B′BC是等邊三角形．∴∠BCB′＝60°.∵∠BCD＝90°-60°＝30°，∴∠BDC＝180°-(60°＋30°)＝180°-90°＝90°．2、想一想(1)三角形是中心對稱圖形嗎？(2)正五邊形是中心對稱圖形嗎？(3)正六邊形是中心對稱圖形嗎？(4)除了平行四邊形，你還能找到哪些多邊形是中心對稱圖形？結論：中心對稱的多邊形很多，如邊數為偶數的正多邊形都是中心對稱圖形。①②③④3、選出下列圖形中的中心對稱圖形()A①②B①③C②③D③④B4.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）(A)(B)(C)(D)D5、下列圖形中，不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形的是（）（A）等邊三角形（B）菱形（C）長方形（D）平行四邊形D7、圖形旋轉一定角度后能與自身重合,則旋轉的角度可能是()A、30°B、60°C、90°D、120°C8、△ABC與△A＇B＇C＇關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是()A、點A與點A’是對稱點B、

BO=B＇OC、AB∥A’B’

D、∠ACB=∠C＇A＇B＇B'C'A'ABCOD點P（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為______.點P（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為______.(x,－y)(－x,y)點P（x,y）關于原點對稱的點的坐標為______.十二(－x,-y)例9．邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標原點O,AB∥x軸,BC∥y軸,反比例函數與的圖象均與正方形ABCD的邊相交,則圖中的陰影部分的面積是()

A、2B、4C、8D、6答案：C旋轉的應用：例10．已知E、F分別在正方形ABCD邊AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周長.解：∵ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=1.將△ADE繞著點D逆時針旋轉90°到△DCM的位置.由旋轉的特征可知AE=CM，DE=DM，∠ADE=∠CDM．∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°．∴△DEF與△DMF關于DF成軸對稱，∴EF=FM．△BEF的周長=BE+EF+BF=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，所以△BEF的周長為2．

⑴如圖,畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉900后的對應三角形;例題3D'B'DABCC'ABC⑵如果點D是AC的中點,那么經過上述旋轉后,點D旋轉到什么位置?請在圖中將點D的對應點D′表示出來.（3）.如果AD=1cm,那么點D旋轉過的路徑是多少?5.已知△ABC繞著點A逆時針旋轉60°，得到△ADE，求直線BC與直線DE所成的銳角。13.在等腰直角△ABC中，∠C=900，BC=2cm，如果以AC的中點O為旋轉中心，將這個三角形旋轉1800，點B落在點B′處，

求:BB′的長度.A/B/C/14.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC為邊向形外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數與AD的長.

15:已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，∠C=60°，若∠EAB=60°，∠DAE=28°．求∠EBC的度數、16:已知點P是等邊三角形ABC外一點，AP=2，BP=3，求PC的最大值．8.如圖，等邊△ABC中，在AC邊的延長線上取一點E，以CE為邊作等邊△CDE，它與△ABC位于直線AE的同側，點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點，試說明CM＝CN＝MN。

9.在△ABC中，AB＝AC，

P是△ABC內一點，且∠APB＝∠APC，求證：PC＝PB3．在方格紙上建立如圖23－13所示的平面直角坐標系，將△ABO繞點O按順時針方向旋轉90°，得△A′B′O，求點A的對應點A′的坐標．圖23－13解：如圖23－14所示，以OA為始邊，O為頂點，作∠AOD＝90°，圖23－14在OD上截取OA′＝OA，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點A′作A′C′⊥x軸，垂足為C′，由點A的坐標可知AC＝2，OC＝3，又∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠AOC＝∠OA′C′，∴△AOC≌△OA′C′，∴A′C′＝OC＝3，OC′＝AC＝2.故點A的對應點A′的坐標為(2,3)．軸對稱、平移、旋轉是幾何中的重要概念，應用軸對稱、平移、旋轉解題也是一種極為重要的數學思想方法，適當地應用軸對稱、平移、旋轉等方法，將那些分散、遠離的條件從圖形的某一部分轉移到適當的新的位置上，集中、匯集已知條件和求證結論，發現、拓展解題思路，構造基礎三角形、平行四邊形，進行計算與證明。方法小結拓展提升訓練：※巧用變換思想，靈活求解面積1.如圖所示的圖案是一個軸對稱圖形(不考慮顏色)，直線m是它的一條對稱軸.已知圖中圓的半徑為r,求你能借助軸對稱的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。m解：以直線m為對稱軸，把m左邊綠色部分反射到m的右邊，那么它們的像恰好填補了右邊的白色部分，所以圖中的綠色部分面積等于半個圓的面積，也就是m2、如圖所示，AB是長為4的線段，且CD⊥AB于O。你能借助旋轉的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。OABCD試一試3.如圖所示，AB是長為4的線段，且CD⊥AB于O。你能借助旋轉的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。OABCD4.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC為邊向外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數與AD的長.

圖1圖2圖35.如圖3，兩個相同的正方形紙片ABCD和EFGH，將紙片EF