5萬有引力定律

天體運動第四章拋體運動與圓周運動萬有引力定律1.開普勒第三定律的理解和運用飛船沿半徑為r的圓周軌道繞地球運行，其周期為T0，如圖

所示.如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點P處將速率降低到適當數值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切，求飛船從P飛到B所需的時間(設地球半徑R0已知).設飛船橢圓運動軌道的半長軸為R，則：R=(r+R0)/2設飛船沿橢圓運動的周期為T，由開普勒第三定律得：

飛船從P飛到B所需的時間等于飛船沿橢圓運動的周期的一半，所以

所以：

點評：開普勒行星運動定律從行星運動軌道、行星運動的線速度變化、軌道與周期的關系三個方面揭示了行星運動的規律．

2.組成星球的物質是靠萬有引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉速率，如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體做圓周運動，由此能得到半徑為R、質量為M且均勻分布的星球的最小自轉周期T，下列表達式中正確的是()2.萬有引力與重力某星球可視為球體，其自轉周期為T，在它的兩極處，用彈簧秤測得某物體重為P，在它的赤道上，用彈簧秤測得同一物體重為0.9P，某星球的平均密度是多少?設被測物體的質量為m，某星球的質量為M，半徑為R;在兩極處時物體的重力等于地球對物體的萬有引力，即：在赤道上，因某星球自轉物體做勻速圓周運動，某星球對物體的萬有引力和彈簧秤對物體的拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律有：由以上兩式解得某星球的質量為：根據數學知識可知某星球的體積為：根據密度的定義式可得某星球的平均密度為：

點評：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體質量的乘積成正比，跟它們距離的二次方成反比．地球表面附近，重力近似等于萬有引力．一宇航員在某一行星的極地著陸時(行星可視為球體)，發現自己在當地的重力是在地球上重力的0.01倍，進一步研究還發現，該行星一晝夜的時間與地球相同，而且物體在赤道上完全失去了重力，試計算這一行星的半徑R.(結果保留兩位有效數字，其中地球重力加速度g0=10m/s2，π2=10)設這一行星的半徑為R依題意：所以該行星上g=0.01×10m/s2=0.1m/s2而所以所以3.中心天體質量、密度的估算

(2010安徽)為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011年10月發射第一顆火星探測器“螢火一號”．假設探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和T2.火星可視為質量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉影響，萬有引力常量為G.僅利用以上數據，可以計算出(

)A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的質量和火星對“螢火一號”的引力C．火星的半徑和“螢火一號”的質量D．火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力

點評：以物理學前沿及科技新成果為背景編擬試題，體現新課程“注意學科滲透，關心科技發展”的理念．本題以火星探測器“螢火一號”為背景，涉及受力問題和運動問題知識點，考查理解能力和處理物理問題的能力，體現了《考試大綱》中對“理解物理概念、物理規律的確切含義，理解物理規律的適用條件，理解相關知識的區別和聯系”的能力要求．4.天體表面重力加速度的求解一衛星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質量M與衛星的質量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛星的半徑R之比R0/R=3.6，行星與衛星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R0=60.設衛星表面的重力加速度為g，則在衛星表面有經過計算得出：衛星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600.上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果.題中所列關于g的表達式并不是衛星表面的重力加速度，而是衛星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度.正確的解法是：在衛星表面：在行星表面：即：

所以：g=0.16g0.1990年5月，紫金山天文臺將他們發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16km.若將此小行星和地球均看成質量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同.已知地球半徑R=6400km，地球表面重力加速度為g.這個小行星表面的重力加速度為()A.400gB.C.20gD.B5.天體運動相關參量的綜合分析2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙-2251”衛星和美國的“銥-33”衛星在西伯利亞上空約805km處發生碰撞．這是歷史上首次發生的完整在軌衛星碰撞事件．碰撞過程中產生的大量碎片可能會影響太空環境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運動的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正確的是(

)A．甲的運行周期一定比乙的長B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大

點評：以2009年俄羅斯與美國衛星相碰為情境，考查人造衛星的運動速率和軌道高度、周期、向心力的關系．(2011屆安徽師大附中一模)一行星的半徑是地球半徑的2倍，密度與地球的密度相同．在此行星上以一定的初速度豎直上拋一個質量為m物體，上升的高度為h，則在地球上以同樣大小的初速度豎直上拋一質量為2m的物體，上升的高度為(空氣阻力不計)()A．hB．2hC．3hD．4hB

解析：在地球上以同樣大小的初速度豎直上拋一質量為2m的物體，上升的高度為2h.6.同步衛星問題(2010安徽合肥三檢)已知地球自轉周期為T0，有一顆與同步衛星在同一軌道平面的低軌道衛星，自西向東繞地球運行，其運行半徑為同步軌道半徑的四分之一，該衛星至少相隔多長時間才在同一城市的正上方出現一次(

)

點評：所謂同步衛星，是相對于地面靜止的，和地球具有相同周期的衛星，T=24h，同步衛星必須位于赤道上方距地面高h處，并且h是一定的．同步衛星也叫通訊衛星

下列關于地球同步通信衛星的說法中，正確的是()A.為避免通信衛星在軌道上相撞，應使它們運行在不同的軌道上B.通信衛星定點在地球上空某處，各個通信衛星的角速度相同，但線速度大小可以不同C.不同國家發射通信衛星的地點不同，這些衛星軌道不一定在同一平面內D.通信衛星只能運行在赤道上空某一恒定高度上D7.衛星變軌的動態分析如圖4-5-3所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運動的3顆衛星，下列說法正確的是：()

A.b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度

B.a、b的向心加速度大小相等，且大于c的向心加速度圖4-5-3

C.c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等候同一軌道上的c

D.a衛星由于某原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將增大因為b、c在同一軌道上運行，故其線速度大小、向心加速度大小均相等.又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由知，vb=vc<va，故A選項錯；由加速度a=GM/r2可知ab=ac<aa，故B選項錯.當c加速時，c受到的萬有引力F<mv2/r，故它將偏離原軌道做離心運動；當b減速時，b受到的萬有引力F>mv2/r，故它將偏離原軌道做向心運動.所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故C選項錯.對a衛星，當它的軌道半徑緩慢減小時，在轉動一段較短時間內，可近似認為它的軌道半徑未變，視為穩定運行，由知，r減小時v逐漸增大，故D選項正確.(2010安徽皖南八校摸底聯考)按照我國整個月球探測活動的計劃，在第一步“繞月”工程圓滿完成各項目標和科學探測任務后，將開展第二步“落月”工程，預計在2013年以前完成．如圖4-5-4所示，假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點．點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入月球近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動．下列判斷錯誤的是()圖4-5-4A．飛船在軌道Ⅰ上的運行速率v=B．飛船在A點處點火時，動能減小C．D飛船從A到B運行的過程中處于完全失重狀態D．飛船在軌道Ⅲ繞月球運動一周所需的時間T=2p8.天體的宇宙速度“嫦娥二號”衛星于2010年10月1日發射，它的繞月飛行軌道由“嫦娥一號”時的200公里高度降低到了100公里．如果“嫦娥二號”衛星在近地點600km處通過發動機短時點火，實施變軌．變軌后衛星從遠地點高度12萬余公里的橢圓軌道進入遠地點高度37萬余公里的橢圓軌道，直接奔向月球．則衛星在近地點變軌后的運行速度(

)A．小于7.9km/sB．大于7.9km/s，小于11.2km/sC．大于11.2km/sD．大于11.2km/s，小于16.7km/s

解析：7.9km/s是第一宇宙速度，是衛星在地面附近做勻速圓周運動所具有的線速度．當衛星進入地面附近的軌道速度大于7.9km/s而小于11.2km/s時，衛星將沿橢圓軌道運行，當衛星的速度等于或大于11.2km/s時就會脫離地球的吸引，不再繞地球運行，11.2km/s被稱為第二宇宙速度．“嫦娥二號”變軌后仍沿橢圓軌道繞地球運動，故B正確．

點評：明確發射速度、運行速度、第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度的概念是正確解答此類問題的關鍵．紫金山天文臺將1965年9月20日發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，其直徑為32km，如該小行星的密度和地球相同，求該小行星的第一宇宙速度.（已知地球半徑R0=6400km,地球的第一宇宙速度v0=8km/s)【答案】20m/s9.“雙星”問題在天體運動中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星.它們圍繞兩球連線上的某一點做圓周運動.由于兩星間的引力而使它們在運動中距離保持不變.已知兩星質量分別為M1和M2，相距L，求它們的角速度.

如圖所示，設M1的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為r2，由于兩星繞O點做勻速圓周運動的角速度相同，都設為ω，根據牛頓第二定律有：而r1+r2=L以上三式聯立解得：

點評：雙星在宇宙中是比較常見的，如地球和月球在一定程度上就屬于此種類型．但由于地球的質量比月球大得多，據有關數據計算，它們所圍繞的共同“中心”到地心的距離約為4.68×103km，小于地球半徑．可見，它們的共同“中心”在地球的內部，因此看上去是月球繞地球運轉．我