第4節隨機事件的概率

知識分類落實.回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.概率與頻率

一般地，隨著試驗次數〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生

的頻率/,(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率

的穩定性.因此，我們可以用頻率以⑷估計概率P(A).

2.事件的運算

定義表示法圖不

事件A與事件8至少有一

個發生，稱這個事件為事

并弁件旦2（或A+B）

件A與事件B的并事件

(或和事件)

事件A與事件B同時發

生，稱這樣一個事件為事

交事件406（或AB）

件A與事件B的交事件

(或積事件)

3.事件的關系

定義表示法圖示

若事件A發生，事件B

包含一定發生,稱事件B包

824或AU8）

關系含事件4或事件A包含?

于事件B)

如果事件A與事件3丕

互斥能同時發生,稱事件A若A08=。，則A與8

事件與事件B互斥(或互不互斥

相容)

對立如果事件A和事件3在若AHB=0,且AUB

事件任何一次試驗中有且=。，則A與8對立

僅有一個發生,稱事件

A與事件B互為對立，

事件A的對立事件記為

A

4.概率的基本性質

一般地，概率有如下性質：

性質1：對任意的事件A,都有P(A)20；

性質2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1，P(0)=Q.

性質3：如果事件A與事件B互斥，那么PSUB)=P(A)+P(3).

性質4：如果事件A與事件B互為對立事件,那么P⑻=1—P(A),尸(A)=1-P(B).

性質5：如果那么P(A)WP(B).

性質6：設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(ACB).

?——常用結論與微點提醒

1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件

(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集.

(2)事件A的對立事件A所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組

成的集合的補集.

2.概率加法公式的推廣

當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，

即

P(AUA2U…U4)=P(AI)+P(A2)+…+P(A").

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內打“或“X”)

(1)事件發生的頻率與概率是相同的.()

(2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩定值.()

⑶若隨機事件A發生的概率為P(A),則OWP(A)W1.()

(4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中

獎的概率.（）

答案（l）x（2）V（3）V（4）X

〉教材衍化

2.容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表:

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數234542

則樣本數據落在區間口0,40）的頻率為（）

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

答案B

解析由表知［10,40）的頻數為2+3+4=9,

9

所以樣本數據落在區間［10,40）的頻率為詬=0.45.

3.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至

少有一名女生”與事件“全是男生”（）

A.是互斥事件，不是對立事件

B.是對立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是對立事件

D.既不是互斥事件也不是對立事件

答案C

解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種

情況再加上“全是男生”構成全集，且不能同時發生，故“至少有一名女生”與

“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件.

?■考題體驗

4.（2018?全國HI卷）若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45,既用現金支

付也用非現金支付的概率為0.15,則不用現金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

答案B

解析某群體中的成員分為只用現金支付、既用現金支付也用非現金支付、不用

現金支付，它們彼此是互斥事件，所以不用現金支付的概率為1—（0.15+0.45）

=0.4.

5.（2020.全國n卷）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天

能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，

許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預

計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單

的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少

需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案B

解析由題意，第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,即第

二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，加上積壓的500

份，共有1600—1200+500=900（份），至少需要志愿者900+50=18（名）.

6.（2020.天津卷）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為上心.假定兩球是否落入

盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少

有一個落入盒子的概率為.

答案11

解析甲、乙兩球都落入盒子的概率尸=gx；=1；

事件4”甲、乙兩球至少有一個落入盒子”的對立事件是1：“甲、乙兩球都

不落入盒子”，P（A）=℃）x（l—；）=；,所以P（A）=]—；=|.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一隨機事件的關系自主演練

1.在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2

張全是移動卡”的概率是去3，那么概率是云7的事件是（）

A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡

C.都不是移動卡D.至少有一張移動卡

答案A

解析由題意知“2張全是移動卡”的對立事件是“至多有一張移動卡”，又1

一布3=古7，故”至多有一張移動卡”的概率是去7.

2.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個

球，事件A=”取出的兩個球同色”，B="取出的兩個球中至少有一個黃球”，

C=“取出的兩個球至少有一個白球”，。=”取出的兩個球不同色"，E=”取

出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為.

①A與。為對立事件；②8與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(CUE)

=1.

答案①④

解析當取出的兩個球為一黃一白時，8與C都發生，②不正確；當取出的兩個

球中恰有一個白球時，事件。與E都發生，③不正確；顯然A與。是對立事件，

①正確；CUE為必然事件，P(CUE)=1,④正確.

3.(多選題)(2021?煙臺模擬)下列命題正確的是()

A.對立事件一定是互斥事件

B.若AC8為不可能事件，則尸(AUB)=P(A)+P(B)

C.若事件A,B,。兩兩互斥，則P(A)+P(B)+P(O=1

D.事件A,3滿足P(A)+P(3)=1,則A,8是對立事件

答案AB

解析由對立事件的定義可知A正確；由于AA8為不可能事件，所以A,B互

斥，則尸(AU8)=P(A)+P⑻，即B正確；事件兩兩互斥，并不代表AUBUC

是必然事件，故C不正確；D中，設擲一枚硬幣3次，事件4“至少出現一次

71

正面”,事件以“3次出現正面“，則P(A)=w，P⑸=6,滿足P(A)+P(3)=

OO

1,但A,8不是對立事件，故D不正確.

感悟升華1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時發

生的事件，但也可以同時不發生；(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立

的兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生.

2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互

斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件

一定是互斥事件.

考點二隨機事件的頻率與概率師生共研

【例1】(2020.全國I卷)某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)

按標準分為A,B,C,D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C

級品，廠家每件分別收取加工費90元、50元、20元；對于D級品，廠家每件

要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工

成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接

加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級,

整理如下：

甲分廠產品等級的頻數分布表

等級ABCD

頻數40202020

乙分廠產品等級的頻數分布表

等級ABCD

頻數28173421

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據,

廠家應選哪個分廠承接加工業務？

解(1)由試加工產品等級的頻數分布表知，

40

甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為而=0.4；

乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為湍=0.28.

(2)由數據知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為

利潤6525-5-75

頻數40202020

因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為

65X40+25X20—5X20-75X20

100=6

由數據知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為

利潤70300-70

頻數28173421

因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為

70X28+30X17+0X34—70X21

ioo=1°-

比較甲、乙兩分廠加工的產品的平均利潤，廠家應選甲分廠承接加工業務.

感悟升華1.頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率

是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發生的可能性的大小，有時也用頻

率來作為隨機事件概率的估計值.

2.利用概率的統計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發生的頻

率會逐步趨近于某一個常數，這個常數就是概率.

【訓練1】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，

售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根

據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不

低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間［20,25),需求量為300瓶;

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統計了

前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最IWJ

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

氣溫

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的

進貨量為450瓶時，寫出丫的所有可能值，并估計V大于零的概率.

解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25,由表

中數據可知，最高氣溫低于25的頻率為"黠至=06

所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為06

(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，

若最高氣溫低于20,則y=200X6+(450-200)X2-450X4=-100；

若最高氣溫位于區間［20,25),則丫=300X6+(450-300)X2—450X4=300；

若最高氣溫不低于25,則K=450X(6-4)=900,

所以,利潤y的所有可能值為一100,300,900.

y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻

36+25+7+4

率為

90=0.8.

因此丫大于零的概率的估計值為08

考點三互斥事件與對立事件的概率師生共研

【例2】經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下:

排隊人數012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率；

⑵至少3人排隊等候的概率.

解記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等

候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5

人及5人以上排隊等候”為事件尸，則事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一記“至少3人排隊等候”為事件H,

則H=DUEUF,

所以P(H)=P(OUEUF)=P(￡>)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)

=1一P(G)=0.44.

感悟升華1.求解本題的關鍵是正確判斷各事件之間的關系，以及把所求事件用

已知概率的事件表示出來.

2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的

概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立

事件的概率，再由P(A)=1—P(A)求解.當題目涉及“至多”、“至少”型問題，

多考慮間接法.

【訓練2】(1)某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生

產情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件是正品(甲

級）的概率為（）

A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08

（2）（多選題）（2021.武漢調研）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是斗甲獲勝

的概率是盤下面結論正確的是（）

74

A.甲不輸的概率六B.乙不輸的概率g

41

c.乙獲勝的概率弓D.乙輸的概率5

答案（1）C（2）ABD

解析（1）記“抽檢的產品是甲級品”為事件A,是“乙級品”為事件B,是“丙

級品”為事件C,這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P（A）=1—P（3）—P（C）

=1-5%-3%=92%=0.92.

（2）因為甲、乙兩人下成和棋的概率是看甲獲勝的概率是與所以甲不輸的概率/

1714

+5=而，故A正確；所以乙不輸的概率1一弓=亍故B正確；所以乙獲勝的概

1131

率1一?言,故C錯誤；所以乙輸的概率即為甲獲勝的概率是看故D正確，

故選ABD.

考點四概率一般加法公式（性質6）的應用師生共研

【例3】某公司三個分廠的職工情況為：第一分廠有男職工4000人，女職工

1600人；第二分廠有男職工3000人，女職工1400人；第三分廠有男職工800

人，女職工500人.如果從該公司職工中隨機抽選1人，求該職工為女職工或為

第三分廠職工的概率.

解記事件A為“抽取的為女職工”，記事件8為“抽取的為第三分廠的職工”，

則AHB表示“抽取的為第三分廠的女職工”，AUB表示“抽取的為女職工或

笛二心照，，m宥__________1600+1400+500____________35_

第二分廠的以工，刻有P（A）=4ooo+i600+3000+1400+800+500=記

=_____________800+500______________1300_13

°⑹=4000+1600+3000+1400+800+500=11300=Tl3,

5005

尸(AC8)=

4000+1600+3000+1400+800+500-113)

，P(AU3)=P(A)+P(B)—P(An8)=詁+市一市=市.

感悟升華(1)概率的一般加法公式與互斥事件的概率加法公式在限制條件上的

區別：在公式尸(AUB)=P(A)+P(3)中，事件A,8是互斥事件；在公式尸(AUB)

=P(A)+P(3)-P(AnB)中，事件A,3可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.

(2)應用概率的一般加法公式解決問題的關鍵在于理解兩個事件A,B的交事件

的含義，準確求出其概率.

【訓練3】甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5,兩人都命中的概

率為0.4,求甲、乙兩人至少有一人命中的概率.

解至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個事件的并事件.設

事件A為“甲命中”，事件5為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”

為事件AU3,所以P(AU3)=P(A)+P(B)—P(AnB)=0.8+0.5—0.4=0.9.

課后鞏固作業分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一'選擇題

1.下列說法正確的是()

A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為去則比賽5場，甲勝3場

B.某醫院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病

人一定治愈

C.隨機試驗的頻率與概率相等

D.天氣預報中，預報明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%

答案D

解析由概率的意義知D正確.

11Q

2.設事件A,B,已知P(A)=5，P(B)=yP(AU3)=正，則A,8之間的關系

一定為()

A.兩個任意事件B.互斥事件

C.非互斥事件D.對立事件

答案B

11Q

解析因為P(A)+P(B)=5+§=B=P(AUB),所以A,8之間的關系一定為互

斥事件.

3.從正五邊形的五個頂點中，隨機選取三個頂點連成三角形，對于事件4"這

個三角形是等腰三角形”，下列推斷正確的是()

A.事件A發生的概率是］

B.事件A發生的概率是

C.事件A是不可能事件

D.事件A是必然事件

答案D

解析從正五邊形的五個頂點中，隨機選取三個頂點連成三角形都是等腰三角形,

故事件A是必然事件.

4.(2020?太原模擬)已知隨機事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,則

P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析?.?隨機事件A和8互斥，且尸(AUB)=0.7,P(B)=0.2,P(A)=P(AUB)

-P(B)=0.7-0.2=0.5,/.P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5.

5.(多選題)(2021.重慶調研)將一枚骰子向上拋擲一次，設事件A=｛向上的一面

出現奇數點｝,事件3=｛向上的一面出現的點數不超過2｝,事件C=｛向上的一

面出現的點數不小于4｝,則下列說法中正確的有()

A.AB=0

B.8C=(向上的一面出現的點數大于3｝

C.｛向上的一面出現的點數不小于3｝

D.ABC=｛向上的一面出現的點數為2｝

答案BC

解析由題意知事件A包含的樣本點：向上的一面出現的點數為1,3,5；

事件3包含的樣本點：向上的一面出現的點數為1,2；

事件C包含的樣本點：向上的一面出現的點數為4,5,6.

所以AB={向上的一面出現的點數為2},故A錯誤；

BC={向上的一面出現的點數為4或5或6},故B正確；

AB+BC={向上的一面出現的點數為3或4或5或6},故C正確；

ABC=Q,故D錯誤，故選BC.

6.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個

事件是（）

A.“至少有一個黑球"與“都是黑球"

B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”

D.”恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”

答案D

解析A中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件;

C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；D中的兩

個事件是互斥而不對立的關系.

7.根據某醫療研究所的調查，某地區居民血型的分布為：。型50%,A型15%,

B型30%,AB型5%.現有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區任選一人，

那么能為病人輸血的概率為（）

A.15%B.20%C.45%D.65%

答案D

解析因為某地區居民血型的分布為O型50%,A型15%,B型30%,AB型

5%,現在能為A型病人輸血的有。型和A型，故為病人輸血的概率為50%+15%

=65%,故選D.

8.拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事

件8表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A+B發生的概率為（）

A3B2C-3D6

答案C

解析擲一個骰子的試驗有6種可能結果，依題意P(A)=］2，1P(B)4=U2所

21

以P(B)=1—P(B)=1_W=］，

因為B表示“出現5點或6點”的事件，所以事件A與8互斥，從而P(A+8)=

11?

P(A)+P(3)=Q+十Q.

二、填空題

9.“鍵盤俠”一詞描述了部分網民在現實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣

在網絡上大放厥詞的一種現象.某地新聞欄目對該地區群眾對“鍵盤俠”的認可

程度進行調查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態度，其余持反對態度,

若該地區有9600人，則可估計該地區對“鍵盤俠”持反對態度的有人.

答案6912

解析在隨機抽取的50人中，持反對態度的頻率為一舄=盤則可估計該地

1Q

區對“鍵盤俠”持反對態度的有9600X石=6912(人).

10.從1,2,3,…，30,這30個數中任意選一個數，則事件“是偶數或被5整

除的數”的概率是.

3

答案5

解析記4=“是偶數"，3="是5的倍數”，則AnB={10,20,30},，P(AUB)

1113

=P(A)+P(B)-P(AAB)

11.我國西部一個地區的年降水量在下列區間內的概率如下表所示：

年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)

概率0.210.160.130.12

則年降水量在(200,300)(mm)范圍內的概率是.

答案0.25

解析設年降水量在(200,300),(200,250),(250,300)的事件分別為4,B,

C,則A=BUC,且CC為互斥事件,所以P(A)=P(8)+P(C)=0.13+0.12=0.25.

12.甲、乙、丙、丁四人參加4X100米接力賽，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率

為.

答案n

解析設事件A為“甲跑第一棒”，事件8為“乙跑第四棒”，

則P(A)=1,P(B)=1.

設甲跑第x棒，乙跑第y棒，則結果可記為(X,y),共有12種等可能結果：(1,

2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1)(4,

2),(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能.即(1,4).

故P(AA8)==.

所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AA8)=(+]—*=卷.

B級能力提升

13.若隨機事件A,8互斥，A,8發生的概率均不等于0,且