1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使

的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有

．f(x)＝0零點(diǎn)x軸(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(函數(shù)零點(diǎn)存在定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)f(b)<03．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根．(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．(4)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．1．(人教A版必修第一冊(cè)P155·T2改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個(gè)連續(xù)不斷的曲線，部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示，則該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為

(

)A.2 B．3C．4 D．5解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)．答案：B

x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.645．函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零點(diǎn)，則k的取值范圍是________．層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．對(duì)于函數(shù)f(x)，若f(－1)f(3)<0，則

(

)A．方程f(x)＝0一定有實(shí)數(shù)解

B．方程f(x)＝0一定無實(shí)數(shù)解C．方程f(x)＝0一定有兩實(shí)根

D．方程f(x)＝0可能無實(shí)數(shù)解解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在(－1,3)上未必連續(xù)，所以盡管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能無實(shí)數(shù)解．答案：D

2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是

(

)A．若f(a)f(b)>0，則不存在實(shí)數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，則可能存在實(shí)數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，則可能不存在實(shí)數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)＝0[一“點(diǎn)”就過]對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解存在性當(dāng)函數(shù)y＝f(x)滿足定理的條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)唯一性在滿足定理的條件下，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上又是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)不可逆性若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)有零點(diǎn)，不一定有f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，也不一定有f(a)f(b)<0成立基礎(chǔ)點(diǎn)(二)函數(shù)判斷零點(diǎn)所在區(qū)間

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

(

)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線．由題意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)．答案：B

2．(2021·石嘴山三模)方程2x＝2－x的根所在區(qū)間是

(

)A．(－1,0) B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)解析：令f(x)＝2x＋x－2，因?yàn)閒(0)＝20＋0－2＝－1＜0，f(1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，D正確．答案：D

[一“點(diǎn)”就過]確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)數(shù)形結(jié)合法通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

[典例]

(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個(gè)結(jié)論：(1)若k＝0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)?k＜0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；(3)?k＜0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；(4)?k＞0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論的序號(hào)是__________．[解析]

f(x)＝|lgx|－kx－2，可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的交點(diǎn)問題．對(duì)于(1)，當(dāng)k＝0時(shí)，|lgx|＝2，有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖a所示，(1)正確；對(duì)于(2)，存在k＜0，使y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，如圖b所示，(2)正確；對(duì)于(3)，若k＜0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2最多有2個(gè)交點(diǎn)，如圖c所示，(3)錯(cuò)誤；對(duì)于(4)，當(dāng)k＞0時(shí)，過點(diǎn)(0,2)存在函數(shù)g(x)＝lgx(x＞1)的切線，此時(shí)共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率稍微小于相切時(shí)的斜率時(shí)，就會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，如圖d所示，故(4)正確．[答案]

(1)(2)(4)[方法技巧]函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法直接求零點(diǎn)令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)圖象法畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)解析：依題意，當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)y＝lnx與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．故選D.答案：D

2．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)也有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案：C

層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零)函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為(

)2．(忽略零點(diǎn)存在定理的條件)設(shè)f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)內(nèi)近似解的過程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，則方程的根所在區(qū)間為

(

)A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)解析：因?yàn)閒(2.5)<0，f(2.75)>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，方程的根所在區(qū)間為(2.5,2.75)．答案：C

二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題3．(借助數(shù)學(xué)文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢．”翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇．這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問題的研究．現(xiàn)將墻的厚度改為200尺，則至少需要多少天時(shí)間才能打穿？

(

)A．6 B．7C．8 D．94．(結(jié)合新定義問題)對(duì)于定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，若存在非零實(shí)數(shù)x0，使函數(shù)y＝f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零點(diǎn)，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)“折點(diǎn)”．下列四個(gè)函數(shù)中存在“折點(diǎn)”的是

(

)A