第七章參數估計

主講石立本章框架結構第一節參數估計的一般問題第二節一個總體參數的區間估計第三節樣本容量的確定第一節參數估計的一般問題一、參數估計（parameterestimation）：1、定義：指用樣本統計量來估計總體的參數。常用：樣本均值來估計總體均值、樣本比例估計總體比例、樣本方差估計總體方差 我們把用于估計總體參數的樣本統計量稱為“估計量”（estimator）。參數通常用

表示，估計量通常用表示。如：樣本均值，樣本比例、樣本方差等，樣本均值就是總體均值的一個估計量。 把估計參數時計算出來的統計量的具體值稱為“估計值”（estimatedvalue）。如果樣本均值

x=80，則80就是

的估計值。【思考】

對總體的某個參數進行估計，我們常常可以用不同的估計量對其進行估計，不同估計量得到的結果也不同，因此我們需要從中選取一個對總體參數估計最為準確的估計量，如何選取？——評價估計量的標準評價估計量的標準A、無偏性（unbiasedness） 估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數；B、有效性（efficiency） 對同一總體參數的兩個無偏點估計量，有更小標準差（或方差）的估計量更有效；C、一致性（consistency） 隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數。2、估計的常用方法：（1）點估計（pointestimate）

定義：用樣本的估計量的某一個值直接作為總體參數的估計值；例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用樣本方差直接作為總體方差的估計值。 優點：簡單、精確 缺點：不準確（2）區間估計（intervalestimate）

定義：在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個區間范圍，該區間由樣本統計量加減抽樣誤差而得到的，得到的結果稱為“置信區間”。二、如何衡量區間對總體參數估計的準確性？1、總體的參數值總是存在的、且固定的，但是是未知的；2、不能說“某個區間以90%的概率包含總體參數”；也不能說總體參數有90%的可能性落在某個區間。 一個特定區間“總是包括”或“絕對不包括”參數的真實值，不存在“以多大的概率包含總體參數”的問題。三、置信水平與置信區間1、置信水平（confidencelevel）（1）定義：在重復抽取的m個樣本中，這m個樣本構造的m個置信區間包含總體參數值的個數占m的比例。（2）表示方法：（1-

，

為未包括總體參數的區間占所抽取的所有區間個數的比例； 常用的置信水平值有99%，95%，90%。對應的

為0.01，0.05，0.10。2、置信區間（confidenceinterval） 定義：指由樣本統計量所構造的總體參數的估計區間。 注意：統計學家在某種程度上確信這個區間會包含真正的總體參數，所以給它取名為置信區間。用一個具體的樣本所構造的區間是一個特定的區間，但我們無法知道這個樣本所產生的區間是否包含總體參數的真值，我們只能是希望這個區間是大量包含總體參數真值的區間中的一個，但它也可能是少數幾個不包含參數真值的區間中的一個。（3）如何計算置信區間？ 從經驗法則的結論說起【經驗法則】

當一組數據近似正態分布時：①約有68%的數據在平均數加減1個標準差的范圍之內；②約有95%的數據在平均數加減2個標準差的范圍之內；③約有99%的數據在平均數加減3個標準差的范圍之內。(68.26%)(99.74%)(95.44%) 樣本均值，是正態分布的，經驗法則的結論是合適的。即：約有68.26%個落在加減1個標準差的范圍之內；等價于：約有68.26%個構造的區間包含。（）即在置信水平為68.26%時，的置信區間約為同理我們可以得到： 置信水平95.44%時，的置信區間約為。 置信水平99.74%時，的置信區間約為。因此：置信區間中標準差的個數是由置信水平（1-

）來決定的。 查表P456，P458頁的標準正態分布發現：標準差的個數就是置信水平標準正態分布中右側面積為

/2的值。把這個值稱為“z值”。

z值：在標準正態分布中，右側面積為

的值記為。 因此：在置信水平為（1-

）時，對應的值應為。【注】①查表得到1個標準差對應的置信水平應為0.6826，2個標準差對應的置信水平應為0.9544，3個標準差對應的置信水平應為0.9974。②均為在對應的分布、分布和分布中右側面積為的值。均可在對應的分布表中查到

因此：在置信水平為（1-

）下，總體參數的置信區間為。（4）影響置信區間寬度的因素A、總體數據的離散程度，用

來測度；B、樣本容量n；C、置信水平（1-

），影響z值的大小。第二節一個總體參數的區間估計一、總體均值的區間估計【回顧】

的抽樣分布。 其中，考慮的三個條件：總體正態/總體非正態總體已知/總體未知大樣本/小樣本

這三個條件的組合有8種情形1、使用Z統計量（1）假定條件總體服從正態分布，且方差σ2已知。（無論樣本是大樣本還是小樣本）總體服從正態分布，方差σ2未知，但是是大樣本。總體不是正態分布，但是是大樣本（）。此時可由正態分布來近似。此時，若方差σ2已知，則直接使用；若方差σ2未知，則使用樣本方差S2代替σ2

。（2）使用正態分布統計量Ｚ： 將標準化，標準化的結果服從標準正態分布，得到統計量Ｚ：（3）總體均值

在1-

置信水平下的置信區間為：其中：表示標準正態分布上側面積為時的z值；是估計總體均值時的邊際誤差（估計誤差或誤差范圍）；抽樣標準誤差為例題：P183，例7.1，例7.2。練習題：P205，練習題7.3【總結】參數估計的基本步驟：①根據已知條件，確定使用的統計量；②列出已知信息，并計算樣本未知信息；③根據給出的置信水平，查表得到對應統計量的臨界值；④代入，寫出置信區間，得出結論。2、使用t統計量

【注意】如果總體服從正態分布，則無論樣本量如何，樣本均值的抽樣分布都服從正態分布，此時，只要總體方差σ2已知，即使是在小樣本情況下，也可以用z統計量建立總體均值的置信區間。但是如果總體方差σ2未知，而且是小樣本情況下，則需要用樣本方差s2代替σ2

，這時分布被改變，樣本均值經過標準化之后的隨機變量則服從自由度為（n-1）的t分布。 即：（1）假定條件 總體服從正態分布,且方差（

２）未知，小樣本（n<30）（2）使用t分布統計量（3）總體均值

在1-

置信水平下的置信區間為：例題：P186，例7.3。練習題：P206，練習題7.9二、總體比例的區間估計（這里只討論大樣本情況）

【回顧】的抽樣分布：設總體單位數，具有某種標志為1，不具有的某種標志為0，總體的單位數分別為和，樣本的單位數分別為和。則總體具有某種標志的比例，。 由二項分布的原理和漸近分布的理論，當n充分大時（），的分布可用正態分布去逼近，即：

1、假定條件 總體服從二項分布，大樣本2、使用正態分布統計量Ｚ3、總體比例

在1-

置信水平下的置信區間為例題：P187，例7.4。練習題：P207，練習題7.15三、總體方差的區間估計

【回顧】

的抽樣分布：為來自正態分布的樣本，設總體分布為，則樣本方差的抽樣分布為：。1、假定條件：總體服從正態分布2、總體方差的點估計量為,且3、總體方差在1-

置信水平下的置信區間為例題：P188，例7.5。練習題：P207，練習題7.19（2）【思考】①如果估計總體的標準差呢？②總體方差的置信區間計算是通過畫圖計算的，為什么不能直接使用前面講到的公式？③總體均值和總體比例的置信區間能否也通過畫圖得到呢？第三節樣本容量的確定 在前面學習總體均值和總體比例的估計時，我們選取統計量時，需要考慮條件，其中有一個共同的條件：樣本量。在總體方差的估計時我們不需要考慮。 因此，在實踐中，如果我們需要親自作調查，通過樣本來估計總體時，需要考慮樣本量的問題，那么在實踐中，樣本容量怎么確定呢？——從兩個概念入手一、概念1、抽樣標準誤差：

，2、邊際誤差（估計誤差或誤差范圍） 估計總體均值時： 估計總體比例時：

兩者之間的關系：邊際誤差=抽樣標準誤差練習：P204，練習題7.1，7.2。

二、估計總體均值時樣本容量的確定1、當給出條件要求時，（通常作為已知條件給出） 可以計算出在估計總體均值時樣本容量n為：2、樣本容量n與總體方差

2、邊際誤差E、可靠性系數Z或t之間的關系為：與總體方差成正比；與邊際誤差成反比；與可靠性系數成正比。練習：P210，練習題7.28。【思考】需不需要考慮

未知的情況？需不需要考慮t統計量的情況？ 不需要。

未知無法用s代替，因為樣本還未取到；且我們通