專題13A字型和反A字型相似模型【模型1】A字型相似模型如圖13-1，，要證∽，只要知道即可?！灸Ｐ?】反A字型相似模型如圖13-2，，要證∽，只要再知道一組對應角相等即可，即只需知道或?！纠?】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【例2】如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．【例3】【教材呈現】下圖是華師版九年級上冊數學教材第77頁的部分內容．【定理證明】請根據教材內容，結合圖①，寫出證明過程．【定理應用】如圖②，在矩形ABCD中，AC為矩形ABCD的對角線，點E在邊AB上，且AE=2BE，點F在邊CB上，CF=2BF．O為AC的中點，連結EF、OE、OF．（1）EF與AC的數量關系為__________．（2）與的面積比為___________．一、單選題1．如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對2．如圖，已知若的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為（）A． B．3 C．2 D．1二、填空題4．如圖，是內一點，過點分別作直線平行于各邊，形成三個小三角形面積分別為，則__________5．如圖，在中，點、分別在、上，，如果，的面積為9，四邊形的面積為16，則的長為________．三、解答題6．如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．7．在中，，D為上一點，過D作DEBC交于點E，連接．設，求的取值范圍．8．中，，，，現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?9．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．10．如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，點D為圓上一點且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）判斷CD與⊙O的位置關系；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．11．如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．12．如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．（1）求證：AG與⊙O相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．14．如圖，在平行四邊形中，，，，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為.當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點作交于點，連接，交于點.設運動時間為.解答下列問題：（1）當為___________時，？（2）連接，設四邊形的面積為，求與的函數關系式.（3）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？（4）若點關于的對稱點為，是否存在某一時刻，使得點，，三點共線？若存在，求出的