第二章隨機變量及其分布2.4正態分布25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39總體密度曲線(鐘形曲線)頻率分布折線圖無限接近于一條光滑曲線.總體密度曲線與x軸圍成的面積為

1

.總體密度曲線(鐘形曲線)總體密度曲線(鐘形曲線)以球槽的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內的頻率/組距為縱坐標，可以畫出“頻率分布直方圖”.隨著重復次數的增加，直方圖的形狀會越來越像一條“鐘形”曲線.1e ,

x

,

2

2

x

2

,

2

x

正態函數總體密度曲線(鐘形曲線)正態曲線y-3μ=

-1σ=0.5-2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 xμ=0σ=10y-3 -2 -11 2 3 4

xμ=1σ=2曲線在x軸的上方，與x軸不相交.曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.曲線在x=μ處達到峰值(最高點)曲線與x軸之間的面積為1.1σ

2π1e2

22

y

(

x

)2

(x)

,

x

(

,

)時,函數值為最大.（2）f

(x)

的值域為時f

(x)為增函數.時f

(x)為減函數.xy-3 -2 -1 0 1 2 3μ=0σ=1標準正態曲線正態總體的函數(正態函數)表示式：212

2

(

x

)2f

(x)

e.,x

(

,

)（1）當x

=μ1(0, ]

2

（4）當x∈（－∞，μ]當x∈（μ，+∞）(3)

f

(x) 的圖象關于

x

=μ

對稱.2e 2,

x

R.f(x)

x12

標準正態函數：1

2

μ=0,212

(

x

)2A.f

(x)

e2

B.f(x)

42

12 2

(

x

1)2C.

f

(x)

e2

1x2e

2x2e

22

D.f(x)

例1.下列函數是正態函數的是（ ）.2e2

212

(

x

)f(x)

練習1．如圖是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3

的三種正態曲線，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是．練習2.如圖所示，是一個正態曲線．試根據該圖象寫出其正態函數的解析式．1e2

22

(x

)2f(x)

?8小結：正態函數中的．?參數μ和σ(σ＞0)

決定88正態曲線的_位置(對稱軸) 及形狀(胖瘦)練習3.P

a

X

b

ba

x

dx

,

1,x

,

e2

2

x

2

,

2

x

x

baP

a

X

b

x

dx

,

記作N

,

2

X ~

N

,

2

___.,

D

若

~

N

(

,

2

),

E

總體平均數連續型隨機變量

總體標準差x_

_

2X ~N

0,1

x

dxP

X

,

-

+x=μ12

2

2

(

x

)2e

(x)

xyO

0.6826P

X

0.6826P

2

X

2

0.9544P

3

X

3

0.9974我們從上圖看到，正態總體在

2

,

2

以外取值的概率只有4.6％，在

3

,

3

以外取值的概率只有0.26

％.由于這些概率值很小（一般不超過5

％

），通常稱這些情況發生為小概率事件.常用在自動化控制學中.P(

X

)

0.6826,P(

2

X

2

)

0.9544,P(

3

X

3

)

0.9974.P(

X

)

0.6826,P(

2

X

2

)

0.9544,P(

3

X

3

)

0.9974.1,x

,

e2

2

x

2

,

2

x

練習4.12

2

2

(

x

)2ef(x)

1A.1;

B.2;C. ;

D.4.2則D（

1

）的值為（ ）2練習5.設隨機變量

~

N（2，2），212 2D（1

）

＝（ ）D（

）

＝

1

2

14 2練習6、把一個正態曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b,下列說法中正確的是（ ）曲線b仍然是正態曲線；

曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2.練習7、在某次數學考試中，考生的成績

服從一個正態分布，即

~N(90,100).（1）試求考試成績

位于區間(70,110)上的概率是多少A.

(90,110]

B.

(95,125]列哪個區間內？（

）（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？練習8、已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X~N

(110,52)

，

據此估計，大約應有57人的分數在下C.

(100,120] D.(105,115]內取值的練習9、已知X~N

(0,1)，則X在區間

(

,

2)8小結:?

求8

服從正態分布的隨機變量的概率，關鍵是：要充分利用正態曲線的對稱性和三個結論．概率等于（

）

A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228練習10.設離散型隨機變量X~N(0,1),則P(

X

0)

=——P(

2

X

3) =

.練習11、若X~N(5,1), 求P(6<X<7).例3．設X～N(1，σ2)，其正態分布密度曲線如圖所示，A．12

076C．14

056B．13

174D．7

539且P(X≥2)＝0.1587，那么向正方形OABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值為(

?8?小8結:求非特殊區間的正態分布的概率：先畫出正態曲線，充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質解題．練習12.已知ξ服從正態分布N(4，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,4)內取值的概率為0.4，求ξ在(0，＋∞)內取值的概率．xoy例4.【小結】解正態分布應用題，關鍵是:

認真審題，將實際問題轉化為已知的概率模型．

baP

a

X

b

x

dx

,

記N

,

2

X ~

N

,

2

若

~

N

(

,

2

),

E

,

D

2

總體平均數連續型隨機變量

總體標準差x時,函數值為最大.時f

(x)為增函數.時f

(x)為減函數.12-2 -1 0y-33 xμ=0σ=1標準正態曲線正態總體的函數(正態函數)表示式：12

2

2

(

x

)2f

(x)

e.,x

(

,

)（1）當x

=μ1(0, ]（4）當x∈（－∞，μ]當x∈（μ，+∞）X ~

N

,

2

（2）f