課時分層作業三十四數列的綜合應用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知a,b,c是三個不同的實數,若a,b,c成等差數列,且b,a,c成等比數列,則a∶b∶c為 ()A.2∶1∶4 B.(-2)∶1∶4C.1∶2∶4 D.1∶(-2)∶4【解析】選B.由a,b,c成等差數列,設a=m-d,b=m,c=m+d,d≠0,因為b,a,c成等比數列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),化簡,得d=3m,則a=-2m,b=m,c=4m,所以a∶b∶c=(-2)∶1∶4.2.設y=f(x)是一次函數,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ()A.n(2n+3) B.n(n+4)C.2n(2n+3) D.2n(n+4)【解析】選A.由題意可設f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).3.若a,b是函數f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數可適當排序后成等差數列,也可適當排序后成等比數列,則p+q的值等于()A.6 B.7 C.8 【解析】選D.由題可知a,b是x2-px+q=0的兩根,所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均為正數.因為a,b,-2適當排序后成等比數列,所以-2是a,b的等比中項,所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2適當排序后成等差數列,所以-2是第一項或第三項,不妨設a<b,則-2,a,b成遞增的等差數列,所以2a=b-2,聯立消去b得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2,又因為a>0,所以a=1,此時b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.當b<a時,同樣求得p+q=9.【變式備選】如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=2,過點A作BC的垂線,垂足為A1,過點A1作AC的垂線,垂足為A2;過點A2作A1C的垂線,垂足為A3;…,以此類推.設BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7【解析】根據題意易得a1=2,a2=,a3=1,所以數列{an}構成以a1=2,q=的等比數列,所以a7=a1q6=2×=.答案:4.已知a,b,c成等比數列,a,m,b和b,n,c分別成兩個等差數列,則+等于 ()A.4 B.3 C.2 【解析】選C.由題意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,則+====2.【一題多解】解答本題,還有以下解法:特殊值法:選C.因為a,b,c成等比數列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分別成兩個等差數列,則m==3,n==6,因此+=+=2.【變式備選】各項都是正數的等比數列的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差數列,則的值為________.

【解析】{an}的公比為q(q>0且q≠1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而===.答案:5.(2018·宜賓模擬)數列{an}的通項an=n(cos2-sin2),其前n項和為Sn,則S40為 ()A.10 B.15 C.20 【解析】選C.由題意得,an=n(cos2-sin2)=ncos,則a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,則S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.二、填空題(每小題5分,共15分)6.對于每一個正整數n,設曲線y=xn+2在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=log2xn,則a1+a2+a3+…+a62=________.

【解析】因為y′=(n+2)xn+1,當x=1時,y′=n+2,所以曲線y=xn+2在點(1,1)處的切線方程為y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得xn=.所以an=log2xn=log2.所以a1+a2+a3+…+a62=log2=log2=-5.答案:-57.某住宅小區計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數是前一天的2倍,則需要的最少天數n(n∈N*)等于________.

【解析】每天植樹的棵數構成以2為首項,2為公比的等比數列,其前n項和Sn===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,則n+1≥7,即n≥6.答案:68.(2018·襄陽模擬)用g(n)表示自然數n的所有因數中最大的那個奇數,例如:9的因數有1,3,9,則g(9)=9,10的因數有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=________.

【解析】由g(n)的定義易知g(n)=g(2n),且若n為奇數則g(n)=n,令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n-1)則f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(-1)=1+3+…+(-1)+g(2)+g(4)+…+g(-2)=+g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=4n+f(n),即f(n+1)-f(n)=4n,據此可得:f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,…,f(n)-f(n-1)=4n-1,以上各式相加可得:f(n)==.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·南寧模擬)某體育場一角的看臺共有20排,且此看臺的座位是這樣排列的:第一排有2個座位,從第二排起每一排比前一排多1個座位,記an表示第n排的座位數.(1)確定此看臺共有多少個座位.(2)求數列的前20項和S20.【解析】(1)由題可知數列{an}是首項為2,公差為1的等差數列,所以an=2+n-1=n+1(1≤n≤20).所以此看臺的座位數為=230.(2)因為==-,所以S20=1-+-+…+-=1-=.10.已知{an}是各項均為正數的等差數列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項.(1)設cn=-,n∈N*,求證:數列{cn}是等差數列.(2)設a1=d,Tn=(-1)k,n∈N*,求證:<.【解析】(1)cn=-=an+1an+2-anan+1=2d·an+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2為定值.所以數列是等差數列.(2)Tn=(-1)k=c1+c3+…+c2n-1=nc1+·4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d將c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以===<,得證.【變式備選】已知二次函數y=f(x)的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O.數列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)在二次函數y=f(x)的圖象上.(1)求數列{an}的通項公式.(2)設bn=anan+1cos(n+1)π(n∈N*),數列{bn}的前n項和為Tn,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數t的取值范圍.【解題指南】(1)由已知可得數列{an}的前n項和Sn的公式,再利用an=求得數列{an}的通項公式.(2)分n為奇數與偶數先求出Tn,Tn≥tn2對n∈N*恒成立,通過分離參數t轉化為求函數的最值,即可求得實數t的取值范圍.【解析】(1)由題意可知f(x)=(x+1)2-.所以Sn=(n+1)2-=n2+n(n∈N*).當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-=.當n=1時a1=S1=1適合上式,所以數列{an}的通項公式為an=(n∈N*).(2)因為bn=anan+1cos(n+1)π(n∈N*),所以Tn=b1+b2+…+bn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1a由(1)可知,數列{an}是以1為首項,公差為的等差數列.①當n=2m,m∈N*時,Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)=-(a2+a4+…+a2m)=-××m=-(8m2+12m=-(2n2+6n).②當n=2m-1,m∈N*時,Tn=T2m-1=T2m+(-1)2m·a2m·a2m+1=-(8m2+12m)+(16m2+=(8m2+4m+3)=(2n2所以Tn=要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立,只要使-(2n2+6n)≥tn2(n為正偶數)恒成立.即使-≥t對n為正偶數恒成立,故實數t的取值范圍是.1.(5分)某學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調查資料表明,凡是在星期一選A種菜的學生,下星期一會有20%改選B種菜;而選B種菜的學生,下星期一會有30%改選A種菜.用an,bn分別表示在第n個星期的星期一選A種菜和選B種菜的學生人數,若a1=300,則an+1與an的關系可以表示為 導學號12560592()A.an+1=an+150 B.an+1=an+200C.an+1=an+300 D.an+1=an+180【解析】選A.由題意得第n+1個星期的星期一選A種菜的學生人數an+1應滿足消去bn,得an+1=an+150.2.(5分)(2018·鄭州模擬)已知f′(x)=2x+m,且f(0)=0,函數f(x)的圖象在點A(1,f(1))處的切線的斜率為3,數列的前n項和為Sn,則S2018的值為 ()A. B.C. D.【解析】選B.由題意f′(1)=2+m=3,所以m=1,所以f′(x)=2x+1,又f(0)=0可得f(x)=x2+x,則===-,所以S2018=1-+-+…+-=1-=.【變式備選】已知函數f(x)是定義在(0,+∞)上的單調函數,且對任意的正數x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若數列{an}的前n項和為Sn,且滿足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),則an為()A.2n-1 B.nC.2n-1 D.【解析】選D.由f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),得Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),兩式相減得,2an=3an-1(n≥2),即=.當n=1時,S1+2=3a1=a1+2,解得a1=1,所以數列{an}是首項為1,公比為的等比數列,則an=.3.(5分)已知等比數列{an}中,各項都是正數,且a1,a3,2a2成等差數列,則=________.

【解析】因為a1,a3,2a2成等差數列,所以2×a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,設等比數列{an}的公比為q且q>0,則a3=a1q2,a2=a1q,所以a1q2=a1+2a1q,所以q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),==q2=(+1)2=3+2.答案:3+24.(12分)已知數列{an}的首項a1=,an+1=,n∈N*.(1)求證:數列為等比數列.(2)記Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整數n.【解析】(1)由an+1=可得=+,所以-1=-=.又因為-1=≠0,所以-1≠0(n∈N*).所以數列是首項為,公比為的等比數列.(2)由(1)可得-1=·,所以=2·+1.Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,若Sn<100,則n+1-<100,所以滿足條件的最大正整數n為99.5.(13分)已知數列{an}是等比數列,首項a1=1,公比q>0,其前n項和為Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數列. (1)求數列{an}的通項公式.(2)若數列{bn}滿足an+1=,Tn為數列{bn}的前n項和,若Tn≥m恒成立,求m的最大值.【解析】(1)由題意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因為q>0,所以q=,因為