高考達標檢測（三十）平行問題3角度——線線、線面、面面一、選擇題1．(2018·惠州模擬)設直線l，m，平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是()A．l?α，m?α，且l∥β，m∥βB．l?α，m?β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：選C借助正方體模型進行判斷．易排除選項A、B、D，故選C.2.如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，下列直線與平面AD′C平行的是()A．B′C′ B．A′BC．A′B′ D．BB′解析：選B連接A′B，∵A′B∥CD′，CD′?平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.3．設α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分不必要條件是()A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α解析：選A由m∥l1，m?α，l1?β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件．4．(2018·福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b?α；④一定存在無數(shù)個平行于a的平面α與b交于一定點．則其中命題正確的是()A．①④ B．②③C．①②③ D．②③④解析：選D對于①，若存在平面α使得b⊥α，則有b⊥a，而直線a，b未必垂直，因此①不正確；對于②，注意到過直線a，b外一點M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面α，此時平面α與直線a，b均平行，因此②正確；對于③，注意到過直線b上的一點B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面α，此時平面α與直線a平行，且b?α，因此③正確；對于④，在直線b上取一定點N，過點N作直線c與直線a平行，經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點N，因此④正確．綜上所述，②③④正確．5．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選C.6．(2018·合肥模擬)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．在平面內(nèi) D．不能確定解析：選A如圖，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.二、填空題7．有下列四個命題，其中正確命題的序號是________．①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α；②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；③若平面α與平面β平行，直線l在平面α內(nèi)，則l∥β；④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點．解析：①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故①錯誤；②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行或異面，故②錯誤；③由面面平行的定義可知，③正確；④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點，故④正確．答案：③④8．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO解析：如圖所示，假設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q滿足條件Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點9．如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱VC，VB上的點，且滿足VC＝3EC，AF∥平面BDE，則eq\f(VB,FB)＝________.解析：連接AC交BD于點O，連接EO，取VE的中點M，連接AM，MF，由VC＝3EC?VM＝ME＝EC，又AO＝CO?AM∥EO?AM∥平面BDE，又由題意知AF∥平面BDE，且AF∩AM＝A，∴平面AMF∥平面BDE?MF∥平面BDE?MF∥BE?VF＝FB?eq\f(VB,FB)＝2.答案：2三、解答題10.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1＝AB(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)設BC＝3，求四棱錐B-AA1C1D解：(1)證明：連接B1C，設B1C與BC1相交于點O，連接∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴點O為B1C∵D為AC的中點，∴OD為△AB1C∴OD∥AB1.∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C∴平面ABC⊥平面AA1C∵平面ABC∩平面AA1C1C作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA1C∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，∴BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6,\r(13))，∴四棱錐B-AA1C1D的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(A1C1＋AD)·AA1·BE＝eq\f(1,6)×eq\f(3,2)eq\r(13)×2×eq\f(6,\r(13))＝3.11．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，且eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(PD,\s\up7(→))，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．解：AD上存在一點P，使得CP∥平面ABEF，此時λ＝eq\f(3,2).理由如下：當λ＝eq\f(3,2)時，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PD,\s\up7(→))，可知eq\f(AP,AD)＝eq\f(3,5)，如圖，過點P作MP∥FD交AF于點M，連接EM，PC，則有eq\f(MP,FD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(3,5)，又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，所以MP綊EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以CP∥ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，所以CP∥平面ABEF.12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，E為PA的中點，∠BAD＝60°.(1)求證：PC∥平面EBD；(2)求三棱錐P-EDC的體積．解：(1)證明：設AC與BD相交于點O，連接OE.由題意知，底面ABCD是菱形，則O為AC的中點，又E為AP的中點，所以OE∥PC.因為OE?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)S△PCE＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝eq\r(3).因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以DO⊥平面PAC，即DO是三棱錐D-PCE的高，且DO＝1，則VP-EDC＝VD-PCE＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A1(1)求證：DD1⊥平面ABCD；(2)求證：平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的長度．解：(1)證明：因為側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因為AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.(2)證明：因為△ABD是正三角形，且E為AD中點，所以BE⊥AD.因為DD1⊥平面ABCD