江蘇省南大附中2024屆高一數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過20的素數中，隨機選取2個不同的數，其和等于20的概率是（）【注：如果一個大于1的整數除了1和自身外無其它正因數，則稱這個整數為素數．】A. B.C. D.2．已知集合A={1,2,3}，集合B={x|x2=x}，則A∪B=（）A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}3．在空間直角坐標系中，點在軸上，且點到點與點的距離相等，則點坐標為（）A. B.C. D.4．已知函數：①；②；③；④；則下列函數圖象（第一象限部分）從左到右依次與函數序號的對應順序是（）A.②①③④ B.②③①④C.④①③② D.④③①②5．若函數是冪函數，且其圖象過點，則函數的單調增區間為A. B.C. D.6．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為.若一個扇形的圓心角為a，弧長為10，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.7．當時，在同一坐標系中，函數與的圖象是（）A. B.C. D.8．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為A B.C. D.9．角的終邊經過點，則的值為（）A. B.C. D.10．已知向量，，且，則A. B.C. D.11．下列函數中為奇函數的是（）A. B.C. D.12．已知銳角終邊上一點A的坐標為,則的弧度數為（）A.3 B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．計算：______.14．等于_______.15．每一個聲音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數.若的部分圖象如圖所示，則的解析式為________.16．設平面向量，，則__________.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．目前全球新冠疫情嚴重，核酸檢測結果成為是否感染新型冠狀病毒的重要依據，某核酸檢測機構，為了快速及時地進行核酸檢測，花費36萬元購進核酸檢測設備.若該設備預計從第1個月到第個月的檢測費用和設備維護費用總計為萬元，該設備每月檢測收入為20萬元.（1）該設備投入使用后，從第幾個月開始盈利？（即總收入減去成本及所有支出費用之差為正值）；（2）若該設備使用若干月后，處理方案有兩種：①月平均盈利達到最大值時，以20萬元價格賣出；②盈利總額達到最大值時，以16萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算？請說明理由.18．已知函數是定義在上的奇函數，且.（1）求實數m，n的值；（2）用定義證明在上是增函數；（3）解關于t的不等式.19．若二次函數滿足，且.（1）求的解析式；（2）若在區間上，不等式恒成立，求實數的取值范圍.20．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求的單調遞增區間.21．已知是定義在上的偶函數，當時，.（1）求在時的解析式；（2）若，在上恒成立，求實數的取值范圍.22．已知函數f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）?lnx+b（b∈R）（1）若f（x）＞0，求實數x的取值范圍；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求實數b的取值范圍；

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】隨機選取兩個不同的數共有種，而其和等于20有2種，由此能求出隨機選取兩個不同的數，其和等于20的概率【詳解】在不超過20的素數中有2，3，5，7，11，13，17，19共8個，隨機選取兩個不同的數共有種，隨機選取兩個不同的數，其和等于20有2種，分別為（3,17）和（7,13），故可得隨機選取兩個不同的數，其和等于20的概率，故選：2、C【解析】求出集合B={0，1}，然后根據并集的定義求出A∪B【詳解】解：∵集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}故選C【點睛】本題考查并集的求法，是基礎題，解題時要認真審題3、B【解析】先由題意設點的坐標為，根據空間中的兩點間距離公式，列出等式，求出，即可得出結果.【詳解】因為點在軸上，所以可設點的坐標為，依題意，得，解得，則點的坐標為故選：B.4、D【解析】根據指數函數、冪函數的性質進行選擇即可.【詳解】①：函數是實數集上的增函數，且圖象過點，因此從左到右第三個圖象符合；②：函數是實數集上的減函數，且圖象過點，因此從左到右第四個圖象符合；③：函數在第一象限內是減函數，因此從左到右第二個圖象符合；④：函數在第一象限內是增函數，因此從左到右第一個圖象符合，故選：D5、B【解析】分別求出m，a的值，求出函數的單調區間即可【詳解】解：由題意得：，解得：，故，將代入函數的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在遞增，故選B【點睛】本題考查了冪函數的定義以及對數函數的性質，是一道基礎題6、D【解析】先求出，再由弧長公式求出扇形半徑，代入扇形面積公式計算即可.【詳解】由圖可知，，則該扇形的半徑，故面積.故選：D7、B【解析】根據時指數函數與對數函數均為定義域內的增函數即可得答案.【詳解】解：因，函數為指數函數，為對數函數，故指數函數與對數函數均為定義域內的增函數，故選：B.8、A【解析】利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出【詳解】設此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【點睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎題9、D【解析】根據三角函數定義求解即可.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，，所以.故選：D10、D【解析】分析：直接利用向量垂直的坐標表示得到m的方程，即得m的值.詳解：∵，∴，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查向量垂直的坐標表示，意在考查學生對該這些基礎知識的掌握水平.(2)設=,=，則11、D【解析】利用奇函數的定義逐個分析判斷【詳解】對于A，定義域為，因為，所以是偶函數，所以A錯誤，對于B，定義域為，因為，且，所以是非奇非偶函數，所以B錯誤，對于C，定義域為，因為定義域不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數，所以C錯誤，對于D，定義域為，因為，所以是奇函數，所以D正確，故選：D12、C【解析】先根據定義得正切值，再根據誘導公式求解【詳解】由題意得，選C.【點睛】本題考查三角函數定義以及誘導公式，考查基本分析化簡能力，屬基礎題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】利用指數冪和對數的運算性質可計算出所求代數式的值.【詳解】原式.故答案為：.【點睛】本題考查指數與對數的計算，考查指數冪與對數運算性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】直接利用誘導公式即可求解.【詳解】由誘導公式得：.故答案為：.15、【解析】結合正弦函數的性質確定參數值．【詳解】由圖可知，最小正周期，所以，所以.故答案為：．【點睛】本題考查由三角函數圖象確定其解析式，掌握正弦函數的圖象與性質是解題關鍵．16、①.②.【解析】（1）由題意得（2）∵與的夾角為鈍角，∴，解得又當時，向量，共線反向，滿足，但此時向量的夾角不是鈍角，故不合題意綜上的取值范圍是答案：；三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）第4個月開始盈利（2）方案①較為合算，理由見解析【解析】（1）求出利潤表達式然后解不等式可得答案；（2）分別計算出兩種方案的利潤比較可得答案.【小問1詳解】由題意得，即，解得，∴.∴該設備從第4個月開始盈利.【小問2詳解】該設備若干月后，處理方案有兩種：①當月平均盈利達到最大值時，以20萬元的價格賣出，.當且僅當時，取等號，月平均盈利達到最大，∴方案①的利潤為：（萬元）.②當盈利總額達到最大值時，以16萬元的價格賣出.，∴或時，盈利總額最大，∴方案②的利潤為20+16=36（萬元），∵38>36，∴方案①較為合算.18、（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據和列式計算即可；（2）根據單調性的定義，設，計算，判斷其符號即可；（3）利用函數奇偶性得，再根據單調性去掉，可得不等式，解不等式即可.【小問1詳解】為奇函數，恒成立，即，，，即即，；【小問2詳解】由（1）得，設則即在上是增函數；【小問3詳解】因為是定義在上的奇函數由得又在上是增函數，，解得.即不等式解集為19、（1）；（2）.【解析】(1)由條件列關于a，b，c的方程，解方程求a，b，c，由此可得函數的解析式，(2)由已知可得在上恒成立，即，由此可求m的范圍.【詳解】解：（1）由得，.∴又∵，∴即∴∴∴（2）不等式等價于即∵函數在上的最大值為∴.20、（1）；（2），.【解析】(1)利用三角恒等變換公式化簡f(x)，即可求正弦型函數最小正周期；(2)根據正弦函數的單調遞增區間即可求復合函數f(x)的單調遞增區間.【小問1詳解】，∴，即函數的最小正周期為.【小問2詳解】令，，解得，，即函數的單調遞增區間為，.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用函數的奇偶性結合條件即得；（2）由題可知在上恒成立，利用函數的單調性可求，即得.【小問1詳解】∵當時，，∴當時，，∴，又是定義在上的偶函數，∴，故當時，；【小問2詳解】由在上恒成立，∴在上恒成立，∴又∵與在上單調遞增，∴，∴，解得或，∴實數的取值范圍為.22、(1)（0，+∞）(2)[，+∞）【解析】（1）解指數不等式2x＞2﹣x可得x＞﹣x，運算即可得解；（2）由二次函數求最值可得函數g（x）的值域為，函數f（x）的值域為A＝[，+∞），由題意可得A∩B≠，列不等式b+4運算即可得解.【詳解】解：（1）因為f（x）＞0?2x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0∴實