江蘇省南通市通州區2023-2024學年高一上數學期末監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.2．對，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或3．命題“”的否定是（）A. B.C. D.4．已知定義域為R的函數在單調遞增，且為偶函數，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．函數的最小值為（）A. B.C.0 D.6．“對任意，都有”的否定形式為（）A.對任意，都有B.不存在，都有C.存在，使得D.存在，使得7．圖1是淘寶網某商戶出售某種產品的數量與收支差額（銷售額-投入的費用）的圖象，銷售初期商戶為虧損狀態，為了實現扭虧為盈，實行了某種措施，圖2為實行措施后的圖象，則關于兩個圖象的說法正確的是A.實行的措施可能是減少廣告費用 B.實行的措施可能是提高商品售價C.點處累計虧損最多 D.點表明不出售商品則不虧損8．已知函數，則函數的零點所在區間為（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）9．已知，，，則的邊上的高線所在的直線方程為（）A. B.C. D.10．已知非空集合，則滿足條件的集合的個數是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．的定義域為________________12．已知函數有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________13．已知是定義在R上的周期為2的奇函數，當時，，則___________.14．設函數，則________.15．設常數使方程在閉區間上恰有三個不同的解，則實數的取值集合為________，_______三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．如圖，在同一平面上，已知等腰直角三角形紙片的腰長為3，正方形紙片的邊長為1，其中B、C、D三點在同一水平線上依次排列.把正方形紙片向左平移a個單位，.設兩張紙片重疊部分的面積為S.（1）求關于a的函數解析式；（2）若，求a的值.17．已知函數的定義域是，設（1）求解析式及定義域；（2）若，求函數的最大值和最小值18．已知，求，的值.19．設向量（Ⅰ）若與垂直，求的值；（Ⅱ）求的最小值.20．已知函數f（x）＝x2﹣2x+1+a在區間[1，2]上有最小值﹣1（1）求實數a的值；（2）若關于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求實數k的取值范圍；（3）若對任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求實數m的取值范圍．（附：函數g（t）＝t在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．）21．已知實數，定義域為的函數是偶函數，其中為自然對數的底數（Ⅰ）求實數值；（Ⅱ）判斷該函數在上的單調性并用定義證明；（Ⅲ）是否存在實數，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、A【解析】根據題意，以及指數和對數的函數的單調性，來確定a，b，c的大小關系.【詳解】解：是增函數，是增函數.，又，【點睛】本題考查三個數的大小的求法，考查指數函數和對數函數性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.根據題意，構造合適的對數函數和指數函數，利用指數對數函數的單調性判定的范圍是關鍵.2、A【解析】對討論，結合二次函數的圖象與性質，解不等式即可得到的取值范圍.【詳解】不等式對一切恒成立，當，即時，恒成立，滿足題意；當時，要使不等式恒成立，需，即有，解得.綜上可得，的取值范圍為.故選：A.3、D【解析】直接利用全稱命題的否定為特稱命題進行求解.【詳解】命題“”為全稱命題，按照改量詞否結論的法則，所以否定為：，故選：D4、D【解析】根據題意，由函數為偶函數分析可得函數的圖象關于直線對稱，結合函數的單調性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案【詳解】解：根據題意，函數為偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，又由函數在，單調遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D5、C【解析】利用對數函數單調性得出函數在時取得最小值【詳解】，因為是增函數，因此當時，，，當時，，，而時，，所以時，故選：C6、D【解析】全稱命題的否定是特稱命題，據此得到答案.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，則“對任意，都有”的否定形式為：存在，使得.故選：D.【點睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于簡單題.7、B【解析】起點不變，所以投入費用不變，扭虧為盈變快了，所以可能是提高商品售價，選B.點睛：有關函數圖象識別問題，由解析式確定函數圖象的判斷技巧：（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．(2)由實際情景探究函數圖象．關鍵是將問題轉化為熟悉的數學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題8、B【解析】先分析函數的單調性，進而結合零點存在定理，可得函數在區間上有一個零點【詳解】解：函數在上為增函數，又（1），（2），函數在區間上有一個零點，故選：9、A【解析】先計算，得到高線的斜率，又高線過點，計算得到答案.【詳解】，高線過點∴邊上的高線所在的直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了高線的計算，利用斜率相乘為是解題的關鍵.10、C【解析】由題意可知，集合為集合的子集，求出集合，利用集合的子集個數公式可求得結果.【詳解】，所以滿足條件的集合可以為，共3個,故選：C.【點睛】本題考查集合子集個數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】由分子根式內部的代數式大于等于0，分母不等于0列式求解x的取值集合即可得到答案．或x＞5．∴的定義域為考點：函數的定義域及其求法．12、【解析】根據函數零點可轉化為有2個不等的根，利用對數函數的性質可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設，因為函數有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：13、##【解析】根據函數的周期和奇偶性即可求得答案.【詳解】因為函數的周期為2的奇函數，所以.故答案為：.14、6【解析】根據分段函數的定義，分別求出和，計算即可求出結果.【詳解】由題知，，，.故答案為：6.【點睛】本題考查了分段函數求函數值的問題，考查了對數的運算.屬于基礎題.15、①.②.【解析】利用輔助角公式可將問題轉化為在上直線與三角函數圖象的恰有三個交點，利用數形結合可確定的取值；由的取值可求得的取值集合，從而確定的值，進而得到結果.【詳解】，方程的解即為在上直線與三角函數圖象的交點，由圖象可知：當且僅當時，直線與三角函數圖象恰有三個交點，即實數的取值集合為；，或，即或，此時，，，.故答案為：；.【點睛】思路點睛：本題考查與三角函數有關的方程根的個數問題，解決方程根的個數的基本思路是將問題轉化為兩函數交點個數問題，從而利用數形結合的方式來進行求解.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）或.【解析】（1）討論、、分別求對應的，進而寫出函數解析式的分段形式.（2）根據（1）所得解析式，將代入求a值即可.【小問1詳解】如下圖，延長到上的，又，則，∴，當時，；當時，；當時，.綜上，.小問2詳解】由（1）知：在上，；在上，，整理得，解得（舍）或.綜上，或時，.17、（1）g（x）=22x-2x+2，定義域為[0，1]（2）最大值為-3，最小值為-4【解析】（1）根據函數，得到f（2x）和f（x+2）的解析式求解；再根據f（x）=2x的定義域是[0，3]，由求g（x）的定義域；（2）由（1）得g（x）=22x-2x+2，設2x=t，t∈[1，2]，轉化為二次函數求解.【小問1詳解】解：因為函數，所以f（2x）=22x,f（x+2）=2x+2，所以g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2，∵f（x）=2x的定義域是[0，3]，∴，解得0≤x≤1，∴g（x）的定義域為[0，1]【小問2詳解】由（1）得g（x）=22x-2x+2，設2x=t，則t∈[1，2]，∴g（t）=t2-4t=，∴g（t）在[1，2]上單調遞減，∴g（t）max=g（1）=-3，g（t）min=g（2）=-4∴函數g（x）的最大值為-3，最小值為-418、見解析【解析】分角為第三和第四象限角兩種情況討論，結合同角三角函數的基本關系可得解.【詳解】因為，，所以是第三或第四象限角.由得.如果是第三象限角，那么，于是，從而；如果是第四象限角，那么，.綜上所述，當是第三象限角時，，；當是第四象限角時，，.【點睛】本題考查利用同角三角函數的基本關系求值，考查計算能力，屬于基礎題.19、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先由條件得到的坐標，根據與垂直可得，整理得，從而得到．(Ⅱ)由得到，故當時，取得最小值為試題解析：（Ⅰ）由條件可得，因為與垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以當時，取得最小值，所以的最小值為.20、（1）﹣1；（2）0≤t；（3）m≤﹣3或m≥3【解析】（1）由二次函數的圖像與性質即可求解.（2）采用換元把方程化為t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分離參數法，化為t與2+2k在[1，2]上有交點即可求解.（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把問題轉化為1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究關于的函數h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.【詳解】（1）函數f（x）＝x2﹣2x+1+a對稱軸為x＝1，所以區間[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根據題意函數f（x）＝x2﹣2x+1+a在區間[1，2]上有最小值﹣1所以a＝﹣1（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若關于x的方程f（log2x）+1﹣2k?log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]則f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，t2+2k在[1，2]上有解，令函數g（t）＝t，在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增所以g（1）≤2+2k≤g（2），即2≤2+2t，解得0≤t（3）若對任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，若對任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，則1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥3【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像與性質、函數與方程以及不等式恒成立問題，綜合性比較強，需有較強的邏輯推理能力，屬于難題.21、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.【解析】（Ⅰ）根據函數是偶函數，得到恒成立，即恒成立，進而得到，即可求出結果；（Ⅱ）任取，且，根據題意，作差得到，進而可得出函數單調性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數在上遞增，由函數是偶函數，所以函數在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據判別式小于0，即