數理方程練習題第二章定解問題與偏微分方程理論習題2.11.密度為ρ均勻柔軟的細弦線x=0端固定，垂直懸掛，在重力作用下，于橫向拉它一下，使之作微小的橫振動。試導出振動方程。2.長為L，均勻細桿，x=0端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長b靜止后（在彈性限度內）突然放手，細桿作自由振動。試寫出振動方程的定解條件。3.長為L、密度為ρ的底半徑為R的均勻圓錐桿（軸線水平）作縱振動，錐的頂點固定在x=0處。導出此桿的振動方程。4.一根長為L、截面面積為1的均勻細桿，其x=0端固定，以槌水平擊其x=L端，使之獲得沖量I。試寫出定解問題。習題2.21.一半徑為r，密度為ρ，比熱為c，熱傳導系數為k的勻質圓桿，如同截面上的溫度相同，其側面與溫度為u1的介質發生熱交換，且熱交換的系數為k1。試導出桿上溫度u滿足的方程。4.設有一根具有絕熱的側表面的均勻細桿，它的初始溫度為)(x?，兩端滿足下列邊界條件之一：（1）一端（x=0）絕熱，另一端（x=L）保持常溫u0；（2）兩端分別有熱流密度q1和q2進入；（3）一端（x=0）溫度為u1(t)，另一端（x=L）與溫度為)(tθ的介質有熱交換。試分別寫出上述三種熱傳導過程的定解問題。習題2.41.判斷下列方程的類型：（1）04=+++++ucubuauauauyxyyxyxx；（2）02=+++++ucubuauauauyxyyxyxx；（3）02222=+++++uaubuauauauyxyyxyxx；（4）0=+yyxxxuu。2.求下列方程的通解（1）0910=++yyxyxxuuu；（3）0384=++yyxyxxuuu。第三章分離變量法習題3.12.求解下列定解問題（1）???????-====><<=====)(,00)0,0(,0002xLxuuuutLxuautttLxxxxtt3.求下列邊值問題的固有值和固有函數：（1）???===+''==0,000LxxXXXXλ（3）???0,0012===+'+''==exxyyyyxyxλ習題3.21.求定解問題：-===><<====)(0,0)0,0(,002xLxuuutLxuautLxxxxt習題3.52.求解定解問題：===><<=+-===-00020,0)0,0(,0TuuutLxAeuautLxxxtxxα0T是常數。3.求解定解問題：2000cossin,(0,0)0,00,0ttxxxxxxLtttxuauAtxLtLuuuuπω====?=+<<>??==??==??習題3.62.求解定解問題：?????====><<+=====)(),(,)0,0(),(002102xuxuMuMutLxxfuautttLxxxxttψ?其中，1M和2M為常數。5.求解定解問題：====+=0),0(,),0()(,),(,0)0,()(,xuExxuEELtutugguutxxxtt為常數為常數第四章行波法習題4.11.求下列波動方程柯西問題的解：(1)?????=====2002,sinxuxuuautttxxtt(2)?????=====xuuuautttxxtt002,56.求下列強迫振動的柯西問題的解（1）?????==+===2002,5)exp(xuuxuautttxxtt；（2）?????==+===0,sin)exp(002tttxxttuxutxuau習題4.21.求解半無界弦定解問題：2000,0,0sin,cos0ttxxtttxuauxtuxuxu===?=<<+∞>?==??=?5.求解下列定解問題：==>+∞<<-∞=-++==)(),()0,(,020022xuxutxuauuutttxxtttψ?εε[提示：作代換tweuε=。]第五章積分變換習題5.11．若)()]([ωfxgF=，求證：)(2)]([ωπ-=gxfF。3．求函數的付里葉變換（1）|)|exp()(xxf-=；（2）)exp()(2xxfπ-=；（3）2cos)(xxfω=第六章格林函數法1．求區域上的格林函數（1）求上半圓域的格林函數；（2）求上半球域的格林函數。2．求解圓域上的Dirichlet問題=≤==)(),(1,01θ?θrruru?（1）θθ?cos)(a=；（2）θθ?cos)(ab+=。第七章1．設有靜電場的圓柱域的上下底（半徑為a）接地，側面電位為u0。求域內電位分布。即問題的定解問題為：===<<<=++===000)0,(