第2課時函數的最大(小)值根底過關練題組一求函數的最大(小)值1.函數f(x)在[-2,2]上的圖象如下圖,那么此函數的最小值,最大值分別是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),22.(2021北京房山高一上期中)函數y=2x2-2x-1在區間[-1,1]上的最小值為()13.函數y=x+3,4.(2021北京豐臺高一上期中)x>2,函數y=4x-2+5.(2021北京石景山高一上期末)函數f(x)=2x(1)判斷函數f(x)在區間[0,+∞)上的單調性,并用定義證明;(2)求函數f(x)在區間[2,9]上的最大值與最小值.題組二函數最大(小)值在實際問題中的應用6.某商場經營一批進價為每件30元的商品,在市場試銷中發現,該商品銷售單價x(不低于進價,單位:元)與日銷售量y(單位:件)之間有如下關系:x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數關系式y=f(x)(注明函數的定義域);(2)假設日銷售利潤為P(單位:元),根據(1)中的關系式寫出P關于x的函數關系式,并指出當銷售單價為多少元時,能獲得最大的日銷售利潤.7.(2021山東濟南歷城二中高一上期末)有一批材料,可以建成長為240m的圍墻.如圖,如果用這批材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形,怎樣圍才能使矩形場地的面積最大?最大面積為多少?題組三函數最大(小)值在求參中的應用8.假設函數y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,那么實數a的值是()或-29.(2021山東淄博高一上期中)假設函數f(x)=x2+(m+1)x+3在區間(3,5)內存在最小值,那么m的取值范圍是()A.(5,9)B.(-11,-7)C.[5,9]D.[-11,-7]10.(2021江蘇南通如東高一上期中)設f(x)=x2-2ax+1,x∈[0,2],當a=3時,f(x)的最小值是,假設f(x)的最小值為1,那么a的取值范圍為.

11.函數f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)假設a=2,求函數f(x)在區間[0,3]上的最小值;(2)假設函數f(x)在區間[0,1]上有最大值3,求實數a的值.題組四函數的最大(小)值在方程與不等式中的應用12.假設?x∈0,12,都有不等式-x+a+1≥0成立,那么513.函數f(x)=-x2+4x+m,假設?x∈[0,1],f(x)=0,那么m的取值范圍是()A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)C.[-3,0]D.[-4,0]14.(2021天津南開學校高一上期中)假設對任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立15.函數f(x)=x-1x+2,(1)判斷函數f(x)的單調性并證明;(2)假設不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求實數a的取值范圍;(3)假設不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求實數a的取值范圍.16.(2021安徽合肥八中高一上期中)二次函數f(x)滿足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的圖象經過點(2,-4).(1)求f(x)的解析式;(2)假設x∈[-3,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求實數m的取值范圍.能力提升練題組一求函數的最大(小)值1.(2021天津濱海高一上期末,)給定函數f(x)=x2,g(x)=x+2,?x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者,記為M(x)=max{f(x),g(x)},那么M(x)的最小值為()2.(2021河北承德一中高一上月考,)函數f(x)=2x-x+1的最小值為()173.(多項選擇)(2021江蘇徐州六縣高一上期中,)函數y=11-x-x(x>1),A.最大值為-3B.最小值為1C.沒有最小值D.最小值為-34.(2021山西太原高一上期中,)假設函數f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值為m,最小值為n,那么m+n=.

5.(2021江西臨川一中高一上月考,)函數f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)假設a=12,求函數f(x)的最值(2)假設a∈R,記函數f(x)的最小值為g(a),求g(a)關于a的函數解析式.題組二函數最大(小)值的綜合應用6.(2021河南洛陽一中高一上月考,)假設函數y=f(x)=x2-3x-4的定義域為[0,m],值域為-254,-4,那么A.(0,4]B.32,4C.7.()函數f(x)=-x3+2,x<0,-x+3,x≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),假設對任意的x1∈[-1,1],總存在x2∈[-1,1]使得f(xA.(0,2]B.0,8.(多項選擇)()函數f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),那么以下結論正確的選項是()A.?x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,那么a的取值范圍是(-∞,-3)B.?x∈[-2,2],f(x)>a,那么a的取值范圍是(-∞,-3)C.?x∈[0,3],g(x)=a,那么a的取值范圍是[-1,3]D.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)9.(多項選擇)(2021山東濟南高一上期末,)一般地,假設函數f(x)的定義域為[a,b],值域為[ka,kb],那么稱[a,b]為f(x)的“k倍跟隨區間〞.特別地,假設函數f(x)的定義域為[a,b],值域也為[a,b],那么稱[a,b]為f(x)的“跟隨區間〞.以下結論正確的選項是()A.假設[1,b]為f(x)=x2-2x+2的跟隨區間,那么b=3B.函數f(x)=2-3xC.假設函數f(x)=m-x+1存在跟隨區間,那么m∈D.二次函數f(x)=-12x2+x存在“310.(2021天津河西高一上期末,)設f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a11.(2021北京房山高一上期中,)定義在實數集R上的函數f(x),如果存在函數g(x)=Ax+B(A,B為常數),使得f(x)≥g(x)對一切實數x都成立,那么稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數.(1)判斷函數g(x)=x是不是函數f(x)=2x2的一個承托函數,并說明理由;(2)請寫出函數f(x)=|x|的一個承托函數;(3)假設函數g(x)=2x-a為函數f(x)=ax2的一個承托函數,求實數a的取值范圍.答案全解全析根底過關練1.C由題圖可知,此函數的最小值是f(-2),最大值是2.2.C因為y=2x2-2x-1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=12所以在區間[-1,1]上,當x=12時,函數取得最小值-32.應選3.C當x<1時,函數y=x+3單調遞增,有y<4,無最大值;當x≥1時,函數y=-x+6單調遞減,在x=1處取得最大值5.所以該函數的最大值為5.4.Cx>2,那么x-2>0,y=4x-2+x=4≥24x當且僅當4x-2=x-2,即x∴函數的最小值是6.應選C.5.解析(1)函數f(x)在區間[0,+∞)上是增函數.證明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=2x1=(2x=5(∵x1<x2,∴x1-x2<0,又x1,x2∈[0,+∞),∴(x1+1)(x2+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函數f(x)在區間[0,+∞)上是增函數.(2)由(1)知函數f(x)在區間[2,9]上是增函數,故函數f(x)在區間[2,9]上的最大值為f(9)=2×9-39+1最小值為f(2)=2×2-32+16.解析(1)因為f(x)是一次函數,所以設f(x)=ax+b(a≠0).由題中表格可得45a+所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函數關系式為y=f(x)=-3x+162,x∈[30,54].(2)由題意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].所以當x=42時,Pmax=432,即當銷售單價為42元時,能獲得最大的日銷售利潤.7.信息提取①一批材料可以建成長為240米的圍墻;②用這批材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地;③中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形.數學建模以建造矩形場地為背景構建函數模型,利用根本不等式求解問題.解析設每個小矩形與墻垂直的一邊長為xm,其鄰邊長為ym,其中x>0,y>0,依題意可知4x+3y=240,那么0<x<60.故矩形場地的面積S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)≤4×x+60當且僅當x=30時取等號,所以當x=30時,矩形場地的面積最大,為3600m2.8.C由題意知a≠0,當a>0時,函數y=ax+1在[1,2]上單調遞增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當a<0時,函數y=ax+1在[1,2]上單調遞減,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知,a=±2.9.B由題意可得3<-m+1解得-11<m<-7.應選B.10.答案-7;(-∞,0]解析當a=3時,f(x)=x2-6x+1在x∈[0,2]上單調遞減,∴f(x)min=f(2)=-7.由函數的解析式知f(0)=1,假設f(x)的最小值為1,那么f(x)在x∈[0,2]上單調遞增,而f(x)=x2-2ax+1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=a,∴a≤0,即a的取值范圍是(-∞,0].11.解析(1)假設a=2,那么f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,該函數的圖象開口向下,圖象的對稱軸為直線x=2,∴函數f(x)在區間[0,2]上單調遞增,在區間[2,3]上單調遞減,又f(0)=-1,f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函數f(x)的圖象開口向下,對稱軸為直線x=a,①當a≤0時,函數f(x)在區間[0,1]上單調遞減,那么f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;②當0<a<1時,函數f(x)在區間[0,a]上單調遞增,在區間[a,1]上單調遞減,那么f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合，舍去;③當a≥1時,函數f(x)在區間[0,1]上單調遞增,那么f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.綜上所述,a=-2或a=3.12.D設f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0對任意x∈0,12都成立,可得f(x)min≥0.因為f(x)在0,12上是減函數,所以當x∈0,12時,f(x)min=a+12,所以a+12≥0,即a≥-13.C∵函數f(x)=-x2+4x+m的圖象開口向下,對稱軸方程為x=2,∴函數f(x)在區間[0,1]上單調遞增,∴f(x)max=f(1)=3+m,f(x)min=f(0)=m,即函數f(x)的值域為[m,m+3].由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0.應選C.14.答案1解析∵x>0,∴xx2+3x+1∴x2+3x+1x≥1a,∴1∵x>0,∴x+1x+3≥2x·1x+3=5(當且僅當∴1a≤5,∴a≥115.解析(1)f(x)在[3,5]上為增函數.證明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1-1x1∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[3,5]上為增函數.(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在[3,5]上為增函數,∴f(x)min=f(3)=25,∴25>a,即a<故實數a的取值范圍是-∞,2(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.由(1)知f(x)在[3,5]上為增函數,∴f(x)max=f(5)=47,∴47>a,即a<故實數a的取值范圍是-∞,416.解析(1)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),那么f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x)-f(x-1)=2ax-a+b,又因為f(x)-f(x-1)=2x+1,所以2a=2所以f(x)=x2+2x+c.因為f(x)的圖象過點(2,-4),所以-4=22+2×2+c,解得c=-12,所以f(x)=x2+2x-12.(2)由題意知,x2+2x-12≤mx,x∈[-3,2],所以x2+(2-m)x-12≤0,x∈[-3,2].記g(x)=x2+(2-m)x-12,x∈[-3,2].那么g(x)max≤0,由g(x)的圖象開口向上,知函數g(x)的最大值是g(2)或g(-3),所以g(2解得-2≤m≤3,所以m∈[-2,3].能力提升練1.B在同一直角坐標系中,作出函數f(x)=x2,g(x)=x+2的圖象,由M(x)的定義知,函數M(x)的圖象如圖中實線局部所示.由圖象知,當x=-1時,M(x)取得最小值1.應選B.2.A設t=x+1(t≥0),那么x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函數g(t)=2t2-t-2在0,14上單調遞減,在14,+∞上單調遞增,∴f(x)min=g(t)min=3.AC∵x>1,∴y=11-x-x=--21x當且僅當1x-1=x-1,即x∴函數的最大值為-3,無最小值,應選AC.4.答案0解析當x<-1時,f(x)=-x+2+x+1=3,當-1≤x≤2時,f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,此時f(x)min=f(2)=-3,f(x)max=f(-1)=3,當x>2時,f(x)=x-2-x-1=-3.綜上,f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,所以m+n=0,故答案為0.5.解析(1)當a=12時,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其圖象開口向上,且對稱軸方程為x=-1∴函數y=f(x)在-1,-12上單調遞減,∴f(x)的最小值為f-12=-又f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)的最大值為f(1)=1,最小值為f-12=-(2)函數f(x)=x2+2ax-1的圖象開口向上,且對稱軸方程為x=-a,當-a≤-1,即a≥1時,y=f(x)在[-1,1]上單調遞增,∴f(x)min=f(-1)=-2a;當-1<-a<1,即-1<a<1時,y=f(x)在[-1,-a]上單調遞減,在[-a,1]上單調遞增,∴f(x)min=f(-a)=-a2-1;當-a≥1,即a≤-1時,y=f(x)在[-1,1]上單調遞減,∴f(x)min=f(1)=2a.綜上可得,g(a)=-6.C∵y=f(x)=x2-3x-4=x-322-254,∴f32=-25由及二次函數的圖象可知,m的值最小為32,最大為3,即m的取值范圍是32,37.A在函數f(x)中,當x∈[-1,0)時,f(x)是減函數,因此,f(x)∈(2,3];當x∈[0,1]時,f(x)也是減函數,因此,f(x)∈[2,3].∴當x∈[-1,1]時,f(x)∈[2,3],即f(x)max=3.在函數g(x)中,由k>0知,g(x)在[-1,1]上單調遞增,∴g(x)max=g(1)=k+5-2k=5-k.假設?x1∈[-1,1],總存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2),那么3≤5-k,解得k≤2,又k>0,∴0<k≤2.應選A.8.AC在A中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是減函數,所以當x=2時,函數取得最小值,最小值為-3,因此a<-3,A正確;在B中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是減函數,所以當x=-2時,函數取得最大值,最大值為5,因此a<5,B錯誤;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴當x=1時,函數取得最小值,最小值為-1,當x=3時,函數取得最大值,最大值為3,故函數的值域為[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正確;在D中,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等價于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D錯誤.應選AC.解題模板不等式恒成立(有解)等問題的求解,常將問題轉化為最大(小)值問題,記住以下轉化有利于解題:①f(x)>a恒成立?f(x)min>a;②f(x)<a恒成立?f(x)max<a;③f(x)>a有解?f(x)max>a;④f(x)<a有解?f(x)min<a.9.BCD對于A,因為f(x)=x2-2x+2在區間[1,b]上為增函數,故其值域為[1,b2-2b+2],假設[1,b]為f(x)=x2-2x+2的跟隨區間,那么b2-2b+2=b,解得b=1或b=2,因為b>1,所以b=2.故A錯誤.對于B,因為函數f(x)=2-3x在區間(-∞,0)與(0,+∞)上均為增函數,所以假設f(x)=2-3x存在跟隨區間[a,b],那么有a=2-3a,b=2-3因為x2-2x+3=0無解,所以函數f(x)=2-3x不存在跟隨區間.故B正確對于C,因為f(x)=m-x+1為減函數,所以假設函數f(x)=m-x+1