第十章概率

10.1陵機事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

素養目標?定方向

素養目標學法指導

1.理解樣本點和有限樣本空間的含義.(數學1.類比集合的有關概念來認識樣本空間.

抽象)2.類比集合與集合之間的關系來認識隨機事

2.理解隨機事件與樣本點的關系.(邏輯推理)件.

必備知識,探新知

知識點1隨機試驗及樣本空間

1.隨機試驗的概念和特點

(1)隨機試驗：我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,

常用字母E來表示.

(2)隨機試驗的特點：

①試驗可以在相同條件下」復—進行；

②試驗的所有可能結果是一明確可知一的,并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

2.樣本點和樣本空間

定義字母表示

我們把隨機試驗E的.每個可能的

樣本點用改一表示樣本點

基本結果一稱為樣本點

樣本全體一樣本點一的集合稱為試驗E

用。表示樣本空間

空間的樣本空間

如果一個隨機試驗有〃個可能結果

有限樣W\,W2，…，皿1，則稱樣本空間。

。={孫，W2,…，Wn}

本空間={41，S，…，助?}為有限樣本空

間

■

知識點2三種事件的定義

隨機我們將樣本空間a的衛年稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一

事件個樣本點的事件稱為基本事件,隨機事件一般用大寫字母A,B,C,-

表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生

必然。作為自身的子集，包含了一所有的一樣本點,在每次試驗中總有一個樣

事件本點發生，所以a總會發生，我們稱。為必然事件

不可能空集。不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱。為不可能事

事件件

［知識解詞5］1.隨機試驗的三個特點

(1)試臉可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

2.關于樣本點和樣本空間

(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空

間；

(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.

3.事件與基本事件

(1)隨機事件是樣本空間的子集.隨機事件是由若干個基本事件構成的，當然，基本事件

也是隨機事件.

(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性，是隨機事件的兩個極端情形.

關鍵能力?攻重難

題型探究

題型一事件類型的判斷

■典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事

件？

⑴如果a、b都是實數,那么a+b=b+a；

(2)從分別標有1,2,345,6的6張號簽中任取一張，得到4號簽；

(3)沒有水分，種子發芽；

(4)某電話總機在60秒內接到至少15個電話；

(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到50℃時會沸騰；

(6)同性電荷相互排斥.

I分析I依據事件的分類及其定義，在給出的條件下，判斷事件是否發生.

［解析］結合必然事件、不可能事件、隨機事件的定義可知.

(1)對任意實數，都滿足加法的交換律，故此事件是必然事件.

(2)從6張號簽中任取一張，得到4號簽，此事件可能發生，也可能不發生，故此事件

是隨機事件.

(3)適宜的溫度和充足的水分，是種子萌發不可缺少的兩個條件，沒有水分，種子就不

可能發芽，故此事件是不可能事件.

(4)電話總機在60秒內接到至少15個電話，此事件可能發生，也可能不發生，故此事

件是隨機事件.

(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到100°C時，開始沸騰，水溫達到50℃,水不會沸騰,

故此事件是不可能事件.

(6)根據“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理判斷，該事件是必然事件.

［歸納提升I判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，

其次是看在該條件下所研究的事件是一定發生(必然事件)、不一定發生(隨機事件)，還是一

定不發生(不可能事件).

【對點練習】?指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)我國東南沿海某地明年將受到3次冷空氣的侵襲：

(2)拋擲硬幣10次，至少有一次正面向上；

(3)同一門炮向同一目標發射多枚炮彈，其中50%的炮彈擊中目標.

|解析】(1)我國東南沿海某地明年可能受到3次冷空氣侵襲，也可能不是3次，是隨機

事件.

(2)拋擲硬幣10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是隨機事件.

(3)同一門炮向同一目標發射，命中率可能是50%,也可能不是50%,是隨機事件.

題型二確定試驗的樣本空間

■典例2下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的樣本空間.

(1)先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣多次；

(2)從集合A={a,b,c,d}中任取3個元素；

(3)從集合A={a,b,c,d}中任取2個元素.

I解析I(1)一次試驗是指“先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次"，試驗的樣本空間為：

{(正,反)，(正，正)，(反,反)，(反,正)}.

(2)一次試驗是指“從集合4中一次選取3個元素組成集合”，試驗的樣本空間為：{(?,

b,c),(a,b,d),(a,c,d),(h,c,d)}.

(3)一次試驗是指“從集合4中一次選取2個元素”，試驗的樣本空間為：{(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.

［歸納提升］不重不漏地列舉試臉的所有樣本點的方法

(1)結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必須首先明確試驗中的條件.

(2)根據日常生活經驗，按照一定的順序列舉出所有可能的結果，可應用畫樹狀圖、列

表等方法解決.

【對點練習】?袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗

的條件和樣本空間.

(1)從中任取1球；

(2)從中任取2球.

［解析］(1)條件為：從袋中任取1球.樣本空間為{紅，白，黃，黑}.

(2)條件為：從袋中任取2球.若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，樣

本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}.

題型三隨機事件的表示

?■■典例3一個口袋內裝有除顏色外完全相同的5個球，其中3個白球，2個黑

球，從中一次摸出2個球.

(1)一共有多少個樣本點？

(2)寫出“2個球都是白球”這一事件的集合表示.

I解析I(1)分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則這個試驗的樣本點為(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個［其中(1,2)表示摸到1號球和2

號球］.

(2)記2表示“2個球都是白球”這一事件，則4={(1,2),(1,3),(2,3)}.

［歸納提升］1.判隨機事件的結果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明

確事件發生的條件；(2)根據題意，按一定的次序列出所有樣本點.特別要注意結果出現的機

會是均等的，按規律去寫，要做到既不重復也不遺漏.

2.試驗中當試驗的結果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無

順序的情況最易出錯.

【對點練習】?做拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(x,y)表示結果，其中x表示紅色

骰子出現的點數，y表示藍色骰子出現的點數.寫出：

(1)這個試驗的樣本空間；

(2)這個試驗的結果的個數；

(3)指出事件4={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含義;

(4)寫出“點數之和大于8”這一事件的集合表示.

［解析］(1)這個試驗的樣本空間Q為

{(1,1).(1,2),(1,3).(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(2)這個試臉的結果的個數為36.

(3)事件4的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子，擲出的點數之和為7.

(4)記8="點數之和大于8"，則8={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)}.

易錯警示

忽視試驗結果與順序的關系而致誤

■典例4已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從這兩個集合中各取一個元素

分別作為點的橫、縱坐標.

(1)寫出這個試驗的基本事件空間；

(2)求這個試驗的基本事件的總數.

［錯解］⑴這個試驗的基本事件空間。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,一4),(3,5),

(3,6)).

(2)這個試驗的基本事件的總數是6.

［錯因分析］題中要求從兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標，所以集合

N中的元素也可以作為橫坐標，錯解中少了以下基本事件：(-4,-2),(-4,3),(5,-2),

(5,3),(6,-2),(6,3).

［正解］⑴這個試驗的基本事件空間。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),

(3,6),(-4,-2),(—4,3),(5,-2),(5,3),(6,一2),(6,3)}.

(2)這個試驗的基本事件的總數是12.

【對點練習】?同時拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x,y)表示結果，記A為“所得點

數之和小于5”，則事件A包含的樣本點的個數是(D)

A.3B.4

C.5D.6

［解析］(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個樣本點.

10.1.2事件的關系和運算

素養目標?定方向

素養目標學法指導

1.理解事件的關系與運算.(邏輯推理)

本部分內容要類比集合的關系和運算來理解

2.理解互斥事件和對立事件的概念.(數學抽

事件的關系和運算.

象)

必備知識探新知

知識點1事件的運算

定義表示法圖示

一事件A與事件B至少有一

個發生一，稱這個事件為事

并事件4U8（或A+B）

件A與事件8的并事件(或

和事件)

事件4與事件B同時發生

一,稱這樣一個事件為事件

交事件ACI8（或AB）

A與事件B的交事件(或積

事件)

知識點2事件的關系

定義表示法圖示

若事件A發生，事件8一定發

包含

生一，稱事件B包含事件A(或事824（或AGB）

關系

件4包含于事件B)

如果事件A與事件B果能同時

互斥若，則A與B互

發生一，稱事件A與事件8互斥

事件斥

(且互不相容)

如果事件A和事件B在任何一次

對立試驗中有且僅有一個發生若AC8=0,且4UB=Q,

事件一,稱事件A與事件8互為對立，則A與B對立（3D

事件A的對立事件記為彳

［知識解讀］1.互斥事件與對立事件的區別與聯系

(1)區別：兩個事件A與8是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發生，則事件

B就不發生；②若事件8發生，則事件A就不發生；③事件A,8都不發生.

而兩個事件A,8是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與8是對立事件，則AU

8是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對立事件只有

一個，而事件A的互斥事件可以有多個.

(2)聯系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發生，而事件對立是互斥的

特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立.

2.從集合的角度理解互斥事件與對立事件

(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集.

(2)事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集

合的補集.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一互斥事件、對立事件的判定

■典例1(1)(2020.河南省南陽市期中)一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至多

有一次中靶”的互斥事件是(A)

A.兩次都中靶B.至少有一次中靶

C.兩次都不中靶D.只有一次中靶

(2)(2020?湖南省懷化市期末)一個人連續射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事

件是(D)

A.恰有一次擊中B.三次都沒擊中

C.三次都擊中D.至多擊中一次

I解析】⑴事件“至多有一次中靶"包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此

不會與其同時發生的事件是“兩次都中靶”.

(2)根據題意，一個人連續射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊

中三次”兩個事件，其對立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.

［歸納提升I判斷事件間關系的方法

(1)要考慮試臉的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立其發生的條件都是一

樣的.

(2)考慮事件間的結果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關系的，也

可列出全部結果，再進行分析.

【對點練習】?有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、

南、西、北四個方向前進，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是(A)

A.互斥但非對立事件B.對立事件

C.非互斥事件D.以上都不對

［解析］由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事

件，但不是對立事件.

題型二事件的運算

■典例2在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件G=｛出現1點｝,

事件C2=｛出現2點｝,事件C3=｛出現3點｝,事件。4=｛出現4點｝,事件C5=｛出現5點｝,

事件C6=｛出現6點｝,事件d=｛出現的點數不大于1｝,事件02=｛出現的點數大于3｝,

事件=｛出現的點數小于5｝,事件E=｛出現的點數小于7｝,事件F=｛出現的點數為偶數｝,

事件G=｛出現的點數為奇數｝,請根據上述定義的事件，回答下列問題：

(1)請舉出符合包含關系、相等關系的事件；

(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.

［解析］(1)因為事件Ci,Ci,C3,C4發生，則事件Da必發生，所以CI=￡>3,C2QD3,

C3￡D3,

同理可得，事件E包含事件G,C2,C3,C4,C5,C6；事件包含事件C4,C5,C6；

事件F包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,C5.

且易知事件Ci與事件G相等，

即G="

(2)因為事件￡>2=｛出現的點數大于3｝=｛出現4點或出現5點或出現6點｝,

所以G=C4UC5UC6(或。2=C4+CS+C6).

同理可得，￡>3=G+C2+C3+C4,E=C|+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6)G

=CI+CJ+C5.

［歸納提升］事件運算應注意的2個問題

(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可

能出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.

(2)在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據常識來判斷.但如

果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理.

【對點練習】?盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件4={3個

球中有1個紅球2個白球},事件B={3個球中有2個紅球1個白球},事件C={3個球中

至少有1個紅球},事件。={3個球中既有紅球又有白球}.

問：(1)事件。與A,8是什么樣的運算關系？

(2)事件C與4的交事件是什么事件？

(3)設事件E={3個紅球},事件F={3個球中至少有1個白球},那么事件C與B,E

是什么運算關系？C與尸的交事件是什么？

［解析］(1)對于事件。，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故力=

AUB.

(2)對于事件C,可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，

故CnA=A.

(3)由事件C包括的可能結果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種情

況，故BUC,EQC,而事件廠包括的可能結果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，

3個白球，所以CCF={1個紅球2個白球，2個紅球1個白球}=D

題型三用集合運算表示隨機事件

■典例3設A,B,C表示三個隨機事件，試將下列事件用A,B,C表示出來.

(1)三個事件都發生；

(2)三個事件至少有一個發生；

(3)A發生，B,C不發生；

(4)48都發生，C不發生；

(5)4,B至少有一個發生，C不發生；

(6)A,B,C中恰好有兩個發生.

［解析］(1)A2C(2)AUBUC

(3)ABC(4)ABC(5)(AUB)C

(6)ABCUA~BCUABC

［歸納提升］利用隨機事件的運算與集合運算的對應關系，可以有效地解決此類問題.

【對點練習】?從某大學數學系圖書室中任選一本書.設A表示事件“任選一本書,

這本書為數學書”；B表示事件“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事件“任選

一本書，這本書為2000年后出版的書”.問：

表示什么事件？

(2)在什么條件下有ABC=A?

(3)8表示什么意思？

|解析】(1)A8^表示事件“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版

的數學書”.

(2)在“圖書室中所有數學書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC=A.

(3)C￡B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的.

易錯警示

不能正確區分對立事件和互斥事件致錯

■典例4進行拋擲一枚骰子的試驗，有下列各組事件：

(1)“出現1點”與“出現2點”；

(2)”出現奇數點”與“出現偶數點”；

(3)“出現大于3的點”與“出現大于4的點”.

其中是對立事件的組數是(B)

A.0B.I

C.2D.3

［錯解］C

［錯因分析］錯解混淆了互斥事件與對立事件，誤將互斥事件當作了對立事件.只有

(2)“出現奇數點”與“出現偶數點”是對立事件，而(1)中“出現1點”與“出現2點”是

互斥事件，但不是對立事件，(3)中“出現大于3的點”與“出現大于4的點”不是互斥事

件，所以也不是對立事件.

［正解］B

I誤區警示］對立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對立事件.忽略互斥事件

與對立事件之間的區別與聯系，對“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹.判斷兩個事件

是否互斥，就要看它們是否能同時發生；判斷兩個互斥事件是否對立，就要看它們是否有一

個必然發生.

【對點練習】?(2020?廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事件的是

(A)

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”

D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”

［解析I根據互斥事件不能同時發生，判斷A是互斥事件；B,C,D中兩事件能同時

發生，故不是互斥事件.

10.1.3古典概型

素養目標?定方向

素養目標學法指導

1.明確古典概型的基本特征，根據實際問題

1.古典概型的計算方法.（數學抽象）

構建概率模型，解決簡單的實際問題.

2.運用古典概型計算概率.（數學運算）

2.注意區分有放回抽取（每次抽取之后被抽取

3.在實際問題中建立古典概型模型.（數學建

的物體總數不變）與無放回抽取（每次抽取之

模）

后被抽取的物體總數減少）.

必備知識,探新知

知識點1隨機事件的概率

對隨機事件發生_可能性大小一的度量（數值）稱為事件的概率,事件A的概率用

P（A）表示.

知識點2古典概型

一般地，若試驗E具有以下特征：

（1）有限性：樣本空間的樣本點只有念_；

（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性—相笠

稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為一古典概率一模型,簡稱_占典概型一.

知識點3古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Q包含〃個樣本點，事件A包含其中的上個

樣本點，則定義事件A的概率尸⑷臉一

［知識解讀］（1）隨機試驗E中的樣本點

①任何兩個樣本點都是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成某些樣本點的和.

（2）求解古典概型問題的一般思路

①明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當的符號（字母、數字、數組等）表示試驗的樣

本點（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點）；

②根據實際問題情景判斷樣本點的等可能性；

③計算樣本點總個數及事件A包含的樣本點個數，求出事件A的概率.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一古典概型的判斷

■典例1下列試驗是古典概型的是①②④.

①從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中可能性大小相等；

②同時擲兩顆骰子，點數和為6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.

［分析1緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進行判斷.

［解析］①②④是古典概型，因為符合古典概型的特征.③不是古典概型，因為不符合等

可能性，降雨受多方面因素影響.

［歸納提升］判斷試驗是不是古典概型，關鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能

性.

【對點練習】?下列是古典概型的是(C)

A.任意擲兩枚骰子，所得點數之和作為基本事件時

B.求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將去除的正整數作為基本事件時

C.從甲地到乙地共”條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現正面為止

［解析］A項中由于點數的和出現的可能性不相等，故A不是；B項中的基本事件是無

限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本事件可能

會無限個，故D不是.

題型二古典概型的概率計算

■典例2甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2

名教師性別相同的概率；

(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師

來自同一所學校的概率.

［分析1(1)要求2名教師性別相同的概率，應先寫出所有可能的結果，可以采用列舉法

求解.

(2)要求選出的2名教師來自同一所學校的概率，應先求出2名教師來自同一所學

校的基本事件.

［解析I(1)甲校2名男教師分別用A,8表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師

用O表示，2名女教師分別用E,尸表示.

從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結果為：(A,。),(A,E),(A,F),

(B,D),(B,E),(B,F),(C,。)，(C,E),(C,F),共9種.

從中選出2名教師性別相同的結果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4種，

所以選出的2名教師性別相同的概率為P=14.

(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結果為：(4,B),(A,0,(A,

。)，(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(￡>,

￡),(D,F),(E,F),共15種.

從中選出2名教師來自同一所學校的結果有：(A,B),(A,。，(B,Q,(D,E),(D,

F),(E,F),共6種，所以選出的2名教師來自同一所學校的概率為尸=9=|.

［歸納提升］1.對于古典概型，任何事件A的概率為：

A包含的基本事件的個數平

"A尸基本事件的總數〃-

2.求古典概型概率的步躲為：

(1)判斷是否為古典概型：

(2)算出基本事件的總數〃；

(3)算出事件A中包含的基本事件個數m\

(4)算出事件A的概.率，即P(A)=—.

在運用公式計算時，關鍵在于求出機、〃.在求〃時，應注意這〃種結果必須是等可能的，

在這一點上比較容易出錯.

3.對于事件總數較多的情況，在解題時，沒有必要一一列舉出來，只將我們解題需要

的列舉出來分析即可.

【對點練習】?某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家4,A2,A3和3個歐洲國家囪，

B2,當中選擇2個國家去旅游.

(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括Ai但不包括Bi的概率.

［解析］(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的樣本點有：

HA，42)，(Ai,A3),(Ai,Bi),(Ai,&),(Ai,B3),(A2,A3),(A2,B\),(A2,Bi),(A2,

&),(A3,Bi),(A3,Bi),(As,B3),(Bi,Bi),(Bi,83),(%,&)},共15個.

所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點有：

{(Ai,A2),(A,,A3),{A2,A3)},共3個,

31

則所求事件的概率為

(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的樣本點有：

{(Ai,Bi),(Ai,B2),(4,83),(A2,Bi),(A2,&),(A2,氏)，(As,B\),(A3,Bi),(A3,

&)},共9個.

包括Ai但不包括Bi的事件所包含的樣本點有：

2

{(4,B2),(AI,共2個，則所求事件的概率為p=§.

題型三較復雜的古典概型的概率計算

■典例3某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需

轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設

兩次記錄的數分別為x,y獎勵規則如下：

指針

①若孫W3,則獎勵玩具一個；

②若個》8,則獎勵水杯一個；

③其余情況獎勵飲料一瓶.

假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.

(1)求小亮獲得玩具的概率；

(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.

［解析］用數對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數，則基本事件空間Q與點集S=

((X,y)|xGN,yGN,lWxW4,iWy這4)---對應.

因為S中元素的個數是4X4=16,

所以基本事件總數〃=16.

(1)記“孫W3”為事件A,

則事件A包含的基本事件共5個，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以尸(A)=亮即小亮獲得玩具的概率為需

(2)記“孫28”為事件B,“3和＜8”為事件C.

則事件B包含的基本事件共6個，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)=-^=|.

事件C包含的基本事件共5個，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P(C)=磊,

35

因為QB

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

［歸納提升］解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式.但是這類問題

的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下兩個問題：

(1)試臉必須具有古典慨型的兩大特征—有限性和等可能性.

(2)計算基本事件的數目時，須做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所

有基本事件.

【對點練習】?甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩

游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各

抽一張.

(1)設(i,力分別表示甲、乙抽到的牌的數字，寫出試驗的樣本空間：

(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你認為此游

戲是否公平？說明你的理由.

I解析］(1)方片4用4'表示，試驗的樣本空間為。={(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),

(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，3),(4‘，4)),則樣本點的總數為12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面數字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),(4',3)5種，

甲勝的概率為P尸石5，乙勝的概率為尸2=臺7因為方5〈五7，所以此游戲不公平.

易錯警示

對“有序”與“無序”判斷不準而致錯

■典例4甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇

題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題.求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率.

［錯解］因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，且甲、

乙兩人依次抽取1道題的可能結果有10個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為親=

3

5'

［錯因分析］錯解中忽略了甲、乙兩人依次抽取1道題與順序有關，甲從5道題中任抽

1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本事件總數應為20.

|正解|因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，而甲、

乙兩人依次抽取1道題的可能結果有20個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為&=

3

To-

I誤區警示］在計算基本事件的總數時，若分不清“有序”和“無序”，將會出現“重

算”或“漏算”的錯誤.突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對結果造成影響，有

影響是“有序”，無影響是“無序”.

【對點練習】?小李在做一份調查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇

題，共3道，另一種是填空題，共2道.

(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概

率；

(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概

率.

［解析］將3道選擇題依次編號為1,2,3;2道填空題依次編號為4,5.

(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間烏={(1,2),(1,3),

(1,4).(1,5),(2,1),(2,3),(2,4).(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20個樣本點，而且這些樣本點發生的可能性是相等的.

設事件A=”所選的題不是同一種題型”，則事件4={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),

12

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共12個樣本點，所以P(4)=而=0.6.

(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間。2={(1,1),(1,2),

(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25個樣本點，而且這些樣

本點發生的可能性是相等的.

設事件8="所選的題不是同一種題型"，由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點共

12

12個，所以尸(8)=3=0.48.

10.1.4概率的基本性質

素養目標定方向

素養目標學法指導

1.熟練掌握性質1,性質2.(數學抽象)

當直接求某一事件的概率較為復

2.會判斷兩個事件的互斥與對立關系.(邏輯推理)

雜時，可轉化為求幾個互斥事件的

3.能夠利用性質3(互斥事件的概率公式)，性質4(對立

概率之和或其對立事件的概率，體

事件的概率公式)求解概率問題.(數學運算)

驗了正難則反的思想.

4.能夠解決實際生活中的概率問題.(數據分析)

必備知識,探新知

知識點概率的基本性質

性質1對任意的事件A,都有P(A)/O.

性質2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P9=1,2。)=0.

性質3如果事件A和事件B互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(B).

性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(8)=l-P(A),P(A)=」一

P(B).

性質5如果AUB,那么性A)_W_P(B).

性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-

P(ACB).

［知識解讀］1.概率的加法公式

(1)當A與8互斥(即AB=。)時，有尸(AUB)=P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法

公式.

(2)一般地，如果4,A2,A”是兩兩互斥的事件，則尸(AU/UU…UA,“)=P(4)+

P(A2)+-+P(Am).

(3)P(A)+P(A)=1.

2.求復雜事件的概率通常有兩種方法

(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.

關鍵能力攻重難

題型探究

題型一互斥事件概率公式的應用

■典例1(1)拋擲一個骰子，觀察出現的點，設事件A為''出現1點”，3為“出

現2點”.已知P(4)=P(5)=/求出現1點或2點的概率.

(2)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球.設事件A表示“3只球中有1只紅

31

球，2只白球”，事件8表示“3只球中有2只紅球，1只白球”.已知尸(A)=%,P(B)=j,

求這3只球中既有紅球又有白球的概率.

［解析］⑴設事件C為“出現1點或2點”，因為事件48是互斥事件，由C=AUB

可得P(O=P(A)+P(B)=/+3=g,所以出現1點或出現2點的概率是g.

314

(2)因為A,B是互斥事件，所以「(AU8)=P(A)+P(B)=m+5=§,所以這3只球中既

有紅球又有白球的概率是三4

［歸納提升I(1)公式P(AUB)=P(A)+P(B),只有當A、8兩事件互斥時才能使用，如

果A、8不互斥，就不能應用這一公式；(2)解決本題的關鍵是正確理解“AU8”的意義.

【對點練習】?經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應的概率如下：

排隊人數012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？

(2)至少3人排隊等候的概率是多少？

I解析］記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”

為事件C,“3人排隊等候”為事件。，“4人排隊等候”為事件￡,“5人及5人以上排隊

等候”為事件尸，則事件A,B,C,D,E,尸兩兩互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一：記''至少3人排隊等候”為事件H,則H=Z)UEUF,

所以尸(W)=P(OUEUF)=P(0)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二：記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(，)=l-P(G)

=0.44.

題型二概率一般加法公式(性質6)的應用

■典例2甲、乙、丙、丁四人參加4X100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四

棒的概率.

［解析］設事件A為“甲跑第一棒”，事件B為“乙跑第四棒”，

則尸(A)=；,P(B)=；.

記甲跑第X棒，乙跑第y棒，則結果可記為(x,y),共有12種等可能結果：(1,2),(1,3),

(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能.即(1,4).

故尸(AnB)=*.

所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率

P(AUB)=尸(A)+P(B)~P(AAB)=1+1-^=p7，

［歸納提升］(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區別：

在公式P(AUB)=P(A)+P(B)中，事件A,8是互斥事件；在公式P(AU2)=P(A)+P(B)-

P(AA8)中，事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助圖形理解.

(2)利用概率的一般加法公式P(4U8)=P(A)+P(B)—P(ACIB)求解的關鍵在于理解兩個

事件A,B的交事件ACB的含義，準確求出其概率.

【對點練習】?在對200家公司的最新調查中發現,40%的公司在大力研究廣告效果,

50%的公司在進行短期銷售預測，而