廣東名校三校聯考2023-2024學年高一數學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．要證明命題“所有實數的平方都是正數”是假命題，只需（）A.證明所有實數的平方都不是正數B.證明平方是正數的實數有無限多個C.至少找到一個實數，其平方是正數D.至少找到一個實數，其平方不是正數2．已知函數，若，且當時，則的取值范圍是A. B.C. D.3．函數的部分圖像如圖所示，則的值為（）A. B.C. D.4．和函數是同一函數的是（）A. B.C. D.5．函數的最小正周期是（）A.1 B.2C. D.6．如圖所示的時鐘顯示的時刻為，此時時針與分針的夾角為．若一個半徑為的扇形的圓心角為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.7．下列函數中，是奇函數且在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.8．已知空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為，則點的坐標為A. B.C. D.9．設集合，則（）A.（1，2] B.[3，＋∞）C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）10．下列說法錯誤的是（）A.球體是旋轉體 B.圓柱的母線垂直于其底面C.斜棱柱的側面中沒有矩形 D.用正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線與圓相切，則__________12．設、為平面向量，若存在不全為零的實數λ，μ使得λμ0，則稱、線性相關，下面的命題中，、、均為已知平面M上的向量①若2，則、線性相關；②若、為非零向量，且⊥，則、線性相關；③若、線性相關，、線性相關，則、線性相關；④向量、線性相關的充要條件是、共線上述命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）13．設x、y滿足約束條件，則的最小值是________.14．設當時，函數取得最大值，則__________.15．已知函數，其所有的零點依次記為，則_________.16．密位廣泛用于航海和軍事，我國采用“密位制”是6000密位制，即將一個圓圈分成6000等份，每一個等份是一個密位，那么600密位等于___________rad.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的兩頂點和垂心.（1）求直線AB的方程；（2）求頂點C的坐標；（3）求BC邊的中垂線所在直線的方程.18．已知全集，若集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數的取值范圍.19．設函數（1）若是偶函數，求k的值（2）若存在，使得成立，求實數m的取值范圍；（3）設函數若在有零點，求實數的取值范圍20．已知函數是偶函數（其中為自然對數的底數，…）（1）求的值；（2）若方程在區間上有實數根，求實數的取值范圍21．假設有一套住房從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元.下表給出了兩種價格增長方式，其中是按直線上升的房價，是按指數增長的房價，是2002年以來經過的年數.05101520萬元2040萬元2040（1）求函數的解析式;（2）求函數的解析式；（3）完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像，然后比較兩種價格增長方式的差異.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】全稱命題是假命題，則其否定一定是真命題，判斷選項.【詳解】命題“所有實數的平方都是正數”是全稱命題，若其為假命題，那么命題的否定是真命題，所以只需“至少找到一個實數，其平方不是正數.故選：D2、B【解析】首先確定函數的解析式，然后確定的取值范圍即可.【詳解】由題意可知函數關于直線對稱，則，據此可得，由于，故令可得，函數的解析式為，則，結合三角函數的性質，考查臨界情況：當時，；當時，；則的取值范圍是.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查三角函數的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、C【解析】根據的最值得出，根據周期得出，利用特殊點計算，從而得出的解析式，再計算.【詳解】由函數的最小值可知：，函數的周期：，則，當時，，據此可得：，令可得：，則函數的解析式為：，.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.4、D【解析】根據相同的函數定義域，對應法則，值域都相同可知ABC不符合要求，D滿足.【詳解】的定義域為，值域為，對于A，與的對應法則不同，故不是同一個函數；對于B，的值域為，故不是同一個函數；對于C，的定義域為，故不是同一個函數；對于D,，故與是同一個函數.故選：D5、A【解析】根據余弦函數的性質計算可得；【詳解】因為，所以函數的最小正周期；故選：A6、C【解析】求出的值，利用扇形的面積公式可求得扇形的面積.【詳解】由圖可知，，所以該扇形的面積故選：C.7、C【解析】根據函數的單調性和奇偶性對各個選項逐一分析即可.【詳解】對A，函數的圖象關于軸對稱，故是偶函數，故A錯誤；對B，函數的定義域為不關于原點對稱，故是非奇非偶函數，故B錯誤；對C，函數的圖象關于原點對稱，故是奇函數，且在上單調遞減，故C正確；對D，函數的圖象關于原點對稱，故是奇函數，但在上單調遞增，故D錯誤.故選：C.8、C【解析】∵在空間直角坐標系中，點（x，y，z）關于z軸的對稱點的坐標為：（﹣x，﹣y，z），∴點關于z軸的對稱點的坐標為：故選：C9、C【解析】由題意分別計算出集合的補集和集合，然后計算出結果.【詳解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），故選：C10、C【解析】利用空間幾何體的結構特征可得.【詳解】由旋轉體的概念可知，球體是旋轉體，故A正確；圓柱的母線平行于圓柱的軸，垂直于其底面，故B正確；斜棱柱的側面中可能有矩形，故C錯誤；用正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，故D正確.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由直線與圓相切可得圓心到直線距離等與半徑，進而列式得出答案【詳解】由題意得，，解得【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于一般題12、①④【解析】利用和線性相關等價于和是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確【詳解】解：若、線性相關，假設λ≠0，則，故和是共線向量反之，若和是共線向量，則，即λμ0，故和線性相關故和線性相關等價于和是共線向量①若2，則20，故和線性相關，故①正確②若和為非零向量，⊥，則和不是共線向量，不能推出和線性相關，故②不正確③若和線性相關，則和線性相關，不能推出若和線性相關，例如當時，和可以是任意的兩個向量．故③不正確④向量和線性相關的充要條件是和是共線向量，故④正確故答案為①④【點睛】本題考查兩個向量線性相關的定義，兩個向量共線的定義，明確和線性相關等價于和是共線向量，是解題的關鍵13、-6【解析】先根據約束條件畫出可行域，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的點時，從而得到的最小值即可【詳解】解：由得，作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分ABC）：平移直線，由圖象可知當直線，過點A時，直線截距最大，此時z最小，由得，即，代入目標函數，得∴目標函數的最小值是﹣6故答案為：【點睛】本題考查簡單線性規劃問題，屬中檔題14、【解析】利用輔助角公式化簡函數解析式，再根據最值情況可得解.【詳解】由輔助角公式可知，，，，當，時取最大值，即，，故答案為.15、16【解析】由零點定義,可得關于的方程.去絕對值分類討論化簡.將對數式化為指數式,再去絕對值可得四個方程.結合韋達定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【詳解】函數的零點即所以去絕對值可得或即或去絕對值可得或,或當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得綜上可得所有零點的乘積為故答案為:【點睛】本題考查了函數零點定義,含絕對值方程的解法,分類討論思想的應用,由韋達定理研究方程根的關系,屬于難題.16、【解析】根據周角為，結合新定義計算即可【詳解】解：∵圓周角為，∴1密位，∴600密位，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)；(3).【解析】(1)由兩點間的斜率公式求出，再代入其中一點，由點斜式求出直線的方程（也可直接代兩點式求解）；(2)由題可知，，借助斜率公式，進而可分別求出直線與直線的方程，再聯立方程，即可求得點的坐標；(3)由中垂線性質知，邊的中垂線的斜率等于，再由(2)可求得邊的中點坐標，進而可求解.【詳解】(1)由題意，直線的方程為：即：.(2)由題作示意圖如下：，直線的方程為：，即：——①又，直線與軸垂直，直線的方程為：——②聯立①②，解得，故頂點的坐標為(3)由題意及(2)可知，邊的中垂線的斜率等于，邊的中點為，故邊的中垂線的方程為：【點睛】本題考查直線方程與交點坐標的求法，以及垂心的性質，考查能力辨析能力及運算求解能力，屬于中檔題.18、（1），；（2）.【解析】（1）求出集合，直接進行補集和并集運算即可求解；（2）由題意可得：，列出滿足的不等關系即可求解.【詳解】（1）（2），19、（1），（2），（3）【解析】（1）由偶函數的定義可得，，列方程可求出的值；（2）由，可得，分離出，換元后利用二次函數的性質求解即可；（3）結合已知條件，代入可求，然后結合在有零點，利用換元法，結二次函數的性質求解.【詳解】解：（1）因為是偶函數，所以，即，，解得；（2）由，可得，則，即存在，使成立，令，則，因為，所以，令，則對稱軸為直線，所以在單調遞增，所以時，取得最大值，即，所以，即實數m的取值范圍為；（3），則，所以，設，當時，函數為增函數，則，若在上有零點，即在上有解，即，，因為函數在為增函數，所以，所以取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數奇偶性的應用，考查二次函數性質的應用，解題的關鍵是將轉化為，然后利用換元法結合二次函數的性質求解即可，考查數學轉化思想，屬于中檔題20、（1）；（2）【解析】（1）由偶函數的定義可得恒成立，即可求出值；（2）由題意可分離參數得出有解，求出的值域即可.【詳解】（1）是偶函數，恒成立，，解得；（2）由（1）知，由得，令，當時，，則，故時，方程在區間上有實數根，故的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解21、（1）（2）（3）詳見解析【解析】（1）因為是按直線上升的房價,設,由表格可知,,進而求解即可；（2）因為是按指數增長的房價,設,由表格可知,,進而求解即可；（3）由（1）（2）