貴州省銅仁市德江縣第二中學2024屆數學高一上期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．函數的最小值為（）A.1 B.C. D.2．命題“?x∈R，都有x2-x+3>0A.?x∈R，使得x2-x+3≤0 B.?x∈RC.?x∈R，都有x2-x+3≤0 D.?x?R3．設，，若，則ab的最小值是（）A.5 B.9C.16 D.254．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（）（參考數據：，）A. B.C. D.5．冪函數的圖象不過原點，則（）A. B.C.或 D.6．如圖，邊長為的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則圖形的面積是A. B.C. D.7．函數的零點所在的區間是（）A.（0，1） B.(1，2)C.(2，3) D.（3，4）8．函數的圖像與函數的圖像所有交點的橫坐標之和等于A2 B.4C.6 D.89．冪函數y＝xa，當a取不同的正數時，在區間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設點A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（）A.0 B.1C. D.210．在某次測量中得到的樣本數據如下：.若樣本數據恰好是樣本數據都加2后所得數據，則兩樣本的下列數字特征對應相同的是（）A.眾數 B.平均數C.標準差 D.中位數11．下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.12．管理人員從一池塘內隨機撈出40條魚，做上標記后放回池塘.10天后，又從池塘內隨機撈出70條魚，其中有標記的有2條.根據以上數據可以估計該池塘內魚的總條數是（）A.2800 B.1800C.1400 D.1200二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．設函數，則下列結論①的圖象關于直線對稱②的圖象關于點對稱③的圖象向左平移個單位，得到一個偶函數的圖象④的最小正周期為，且在上為增函數其中正確的序號為________.（填上所有正確結論的序號）14．在空間直角坐標系中，一點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是________.15．邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，與對角線的夾角為45°，則球的體積為______.16．正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C平面角等于________三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．2021年秋季學期，某省在高一推進新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數學老師中抽取了100名老師并統計他們的測試分數，將成績分成五組，第一組[65，70），第二組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求a的值以及這100人中測試成績在[80，85）的人數；（2）估計全市老師測試成績的平均數（同組中的每個數據都用該組區間中點值代替）和第50%分數位（保留兩位小數）；（3）若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率18．設是兩個不共線的非零向量.（1）若求證：A，B，D三點共線；（2）試求實數k的值，使向量和共線.19．已知集合，B=[3，6].（1）若a=0，求；（2）xB是xA的充分條件，求實數a的取值范圍.20．在三棱錐中，，，O是線段AC的中點，M是線段BC的中點.（1）求證：PO⊥平面ABC；（2）求直線PM與平面PBO所成的角的正弦值.21．如圖，射線、分別與軸正半軸成和角，過點作直線分別交、于、兩點，當的中點恰好落在直線上時，求直線的方程22．在①函數的圖象關于原點對稱；②函數的圖象關于直線對稱；這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知函數，的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】根據對數的運算法則，化簡可得，分析即可得答案.【詳解】由題意得，當時，的最小值為.故選：D2、A【解析】根據全稱命題的否定表示方法選出答案即可.【詳解】命題“?x∈R,都有x2“?x∈R,使得x2故選：A.3、D【解析】結合基本不等式來求得的最小值.【詳解】，，，，當且僅當時等號成立，由.故選：D4、B【解析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：5、B【解析】根據冪函數的性質求參數.【詳解】是冪函數，解得或或冪函數的圖象不過原點，即故選：B6、D【解析】根據直觀圖畫出原圖可得答案.【詳解】由直觀圖畫出原圖，如圖，因為，所以，，則圖形的面積是.故選：D7、B【解析】先求得函數的單調性，利用函數零點存在性定理，即可得解.【詳解】解：因為函數均為上的單調遞減函數，所以函數在上單調遞減，因為，，所以函數的零點所在的區間是.故選：B8、D【解析】由于函數與函數均關于點成中心對稱，結合圖形以點為中心兩函數共有個交點，則有，同理有，所以所有交點橫坐標之和為.故正確答案為D.考點：1.函數的對稱性；2.數形結合法的應用.9、A【解析】由題意得，代入函數解析式，進而利用指對互化即可得解.【詳解】BM＝MN＝NA，點A(1，0)，B(0，1)，所以，將兩點坐標分別代入y＝xa，y＝xb，得所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了冪函數的圖像及對數的運算，涉及換底公式，屬于基礎題.10、C【解析】分別求兩個樣本的數字特征，再判斷選項.【詳解】A樣本數據是：，樣本數據是：，A樣本的眾數是48，B樣本的眾數是50，故A錯；A樣本的平均數是，B樣本的平均數是，故B錯；A樣本的標準差B樣本的標準差，，故C正確；A樣本的中位數是，B樣本的中位數是，故D錯.故選：C11、B【解析】先判斷各函數最小正周期，再確定各函數在區間上單調性，即可選擇判斷【詳解】對于A,最小正周期為2π,在區間上單調遞減，不合題意；對于B,最小正周期為π,在區間上單調遞減，符合題意；對于C,最小正周期為2π,在區間上單調遞減，不合題意；對于D,最小正周期為π,在區間上單調遞增，不合題意；故選：B.12、C【解析】由從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，可得所有池塘中有標記的魚的概率，結合池塘內具有標記的魚一共有40條魚，按照比例即得解.【詳解】設估計該池塘內魚的總條數為，由題意，得從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，所有池塘中有標記的魚的概率為：，又因為池塘內具有標記的魚一共有40條魚，所以，解得，即估計該池塘內共有條魚故選：C二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、③【解析】利用正弦型函數的對稱性判斷①②的正誤，利用平移變換判斷③的正誤，利用周期性與單調性判斷④的正誤.【詳解】解：對于①，因為f（）＝sinπ＝0，所以不是對稱軸，故①錯；對于②，因為f（）＝sin，所以點不是對稱中心，故②錯；對于③，將把f（x）的圖象向左平移個單位，得到的函數為y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，所以得到一個偶函數的圖象；對于④，因為若x∈[0，]，則，所以f（x）在[0，]上不單調，故④錯；故正確的結論是③故答案為③【點睛】此題考查了正弦函數的對稱性、三角函數平移的規律、整體角處理的方法，正弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵三、14、【解析】設出點的坐標，根據題意列出方程組，從而求得該點到原點的距離.【詳解】設該點的坐標因為點到三個坐標軸的距離都是1所以，，，所以故該點到原點的距離為，故填.【點睛】本題主要考查了空間中點的坐標與應用，空間兩點間的距離公式，屬于中檔題.15、【解析】根據給定條件結合球的截面小圓性質求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.【詳解】因邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，則正方形的外接圓是球O的截面小圓，其半徑為，令正方形的外接圓圓心為，由球面的截面小圓性質知是直角三角形，且有，而與對角線的夾角為45°，即是等腰直角三角形，球O半徑，所以球體積為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：涉及求球的表面積、體積問題，利用球的截面小圓性質是解決問題的關鍵.16、45°【解析】解：如圖，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，設面ABC1的法向量為=(x，y，z)，∵?=0，?=0，∴y=0，-x+y+z=0，∴=(1，0，1)，∵面ABC的法向量=(0，0，1)，設二面角C1-AB-C的平面角為θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=，∴θ=45°，答案為45°考點：二面角的平面角點評：本題考查二面角的平面角及求法，是基礎題．解題時要認真審題，注意向量法的合理運用三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）;20；（2）分,76.67分（3）【解析】（1）根據頻率之和為1，可求得a的值，根據頻數的計算可求得測試成績在[80，85）的人數；（2）根據頻率分布直方圖可計算中位數，即可求得第50%分數位；（3）列舉出所有可能的抽法，再列出第四組至少有1名老師被抽到可能情況，根據古典概型的概率公式求得答案.【小問1詳解】由題意得：，解得；這100人中測試成績在[80，85）的人數為（人）；【小問2詳解】平均數為：（分），設中位數為m,且，則，解得，故第50%分數位76.67分；【小問3詳解】第三組頻率為，第四組頻率為，第五組頻率為，故從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，三組人數為3人，2人和1人，記第三組抽取人為,第四組抽取的人為,第五組抽取的人為,則抽取2人的所有情況如下：共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的抽法有共9種，故第四組至少有1名老師被抽到的概率為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用向量共線定理證明向量與共線即可；（2）利用向量共線定理即可求出【詳解】（1）∵，∴//，又有公共點B∴A、B、D三點共線（2）設，化為，∴，解得k＝±119、（1）（2）【解析】（1）先化簡集合A，再去求；（2）結合函數的圖象，可以簡單快捷地得到關于實數a的不等式組，即可求得實數a的取值范圍.【小問1詳解】當時，，又，故【小問2詳解】由是的充分條件，得，即任意，有成立函數的圖象是開口向上的拋物線，故，解得，所以a的取值范圍為20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用勾股定理得出線線垂直，結合等邊三角形的特點，再次利用勾股定理得出線線垂直，進而得出線面垂直；（2）根據線面垂直面，得出線和面的夾角，從而得出線面角的正弦值.【詳解】（1）由，有，從而有，且又是邊長等于的等邊三角形，.又，從而有又平面.（2）過點作交于點，連.由（1）知平面，得，又平面是直線與平面所成的角.由（1），從而為線段的中點，，，所以直線與平面所成的角的正弦值為21、【解析】先求出、所在的直線方程，根據直線方程分別設A、B點坐標，進而求出的中點C的坐標，利用點C在直線上以及A、B、P三點共線列關系式解出B點坐標，從而求出直線AB的斜率，然后代入點斜式方程化簡即可.【詳解】解：由題意可得，，所以直線，設，，所以的中點由點在上，且、、三點共線得解得，所以又，所以所以，即直線的方程為【點睛】知識點點睛：（1）