華美重點學校2023-2024學年度第一學期第二次月考高二數學試題卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間為120分鐘．單項選擇題（本大題包括8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）．1．復數，則等于（

）A． B． C． D．2．1．已知，則（

）A．2 B．3 C．0 D．3．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為，則該幾何體的體積是（

）A．32 B． C． D．644．直線l：與x軸交于點A，把l繞點A順時針旋轉得直線m的斜率為（

）A．B．C． D．5．下列命題錯誤的是（

）A．已知非零向量，，，則“”是“”的必要不充分條件B．已知，是實數，則“”的一個必要不充分條件是“”C．命題“，”的否定為“，”D．若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是6．定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱實數組為向量在基底下的坐標.已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底.若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的模長為（

）A．6 B． C．9 D．37．在坐標平面內，與點距離為3，且與點距離為1的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條8．勞動教育是國民教育體系的重要內容，是學生成長的必要途徑，具有樹德、增智、強體、育美的綜合育人價值．南昌二中作為全國雙新示范校，“勞動教育課程”緊跟時代步伐，特在校園的一角專門開辟了一塊勞動基地——心遠農場（如圖1）．現某社團為農場節水計劃設計了如下噴灌技術，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀，如圖2所示．現要求水流最高點B離地面4m，點B到管柱OA所在直線的距離為3m，且水流落在地面上以O為圓心，以7m為半徑的圓上，則管柱OA的高度為（

）A． B． C． D．二、多選題（每道題至少兩個正確答案，5x4=20分，全對5分，不全3分，錯誤0分。）9．已知集合，，若，則實數的值可以為（

）A．2 B．1 C．0 D．-110．若為圓：上任意一點，點，則的取值可以為（

）A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.4211．已知曲線C：（其中，為參數），下列說法正確的是（

）A．若，則曲線C表示圓B．若，則曲線C表示橢圓C．若，則曲線C表示雙曲線D．若，，則曲線C表示兩條直線12．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于、，則（

）A．的準線方程為 B．C．的最小值為 D．的最小值為第II卷（非選擇題）三、填空題（5x4=20分）13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則.14．已知，，則的值為.15．已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為．16．激活函數是神經網絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經網絡中的函數.函數是常用的激活函數之一，其解析式為.給出以下結論：①函數是增函數；②函數是奇函數；③函數的值域為；④對于任意實數，函數至少有一個零點.其中所有正確結論的序號是.解答題（6道共70分，要寫出必要的步驟）17．（10分）①為拋物線上的點，且；②焦點到準線的距離是1．在這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并求解．已知拋物線的焦點為，______，若直線與拋物線相交于A、兩點，求弦長．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，點為棱上的點，且.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知圓與圓．(1)求兩圓公共弦所在的直線方程；(2)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．20．（12分）“校園詩歌大賽”結束后，張老師和李老師將所有參賽選手的比賽成績(得分均為整數)進行整理，并分別繪制成扇形統計圖和頻數直方圖，部分信息如下：

(1)本次比賽參賽選手共有人，扇形統計圖中“69.5～79.5”這一組人數占總參賽人數的百分比為；(2)賽前規定，成績由高到低前60%的參賽選手獲獎，某參賽選手的比賽成績為78分，試判斷他能否獲獎，并說明理由；(3)成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為獲獎代表發言，試求恰好選中1男1女的概率．21．（12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑是的圓為橢圓的“準圓”．已知橢圓的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．(1)求橢圓和其“準圓”的方程；(2)若點，是橢圓的“準圓”與軸的兩交點，是橢圓上的一個動點，求的取值范圍．22．（12分）已知雙曲線E：的中心為原點O，左、右焦點分別為，，離心率為.(1)求實數a的值.(2)若點P坐標為，過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點H，滿足.證明：點H恒在一條定直線上.華美重點學校2023-2024學年度第一學期第二次月考數學答案一、選擇題（每題5分，共60分）題號123456789101112答案CACABDDBABCABCACDABD二、填空題（每題5分，共20分）解答題。17.若選①：在拋物線上，且，，則p＝1；若選②：∵焦點到準線的距離是1，∴p＝1；故拋物線的方程為．聯立，可得，設，，則，，．18.（1）由為矩形可知：，又因為，，，平面，所以平面，又，所以面，又面，故.（2）由（1）可知，，，所以，在中，，所以；又，，，面，所以面；故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖）.

則，，，，，又在中，，則，，，.設面的法向量，則即故，設直線與面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為：19.（1）因為圓與圓，所以將代入，得兩圓公共弦所在直線的方程為（2）由，解得，則交點為，，圓心在直線上，所以設圓心為，則，即，解得，故圓心，半徑，所求圓的方程為20.（1）從頻數直方圖中可以看出“59.5～69.5”的人數為，從扇形統計圖可以看出“59.5～69.5”所占比例為，故本次比賽參賽選手共有人，從頻數直方圖中可以看出“89.5～99.5”的人數為，故“89.5～99.5”所占比例為，所以扇形統計圖中“69.5～79.5”這一組人數占總參賽人數的百分比為；（2）不能夠獲獎，理由如下：他的成績位于“69.5～79.5”之間，由題可知“59.5～79.5”這一組人數占總參賽人數的百分比為，因為成績由高到低前的參賽選手獲獎，他位于后，故他不能夠獲獎.（3）成績前四名中2名男生設為，2名女生設為，若從他們中任選2人作為獲獎代表發言，共有6種情況，如下：，又恰好選中1男1女的情況為，共4種情況，故概率為.21.（1）由題意知，且，可得，故橢圓的方程為，其“準圓”方程為．（2）由題意，設，則有，不妨設，，所以，，所以，又，則，所以的取值范圍是．22.（1）依題意得，，，因