2023~2024學年第一學期高一期中聯考數學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：必修第一冊第一章一第四章4.2.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知，對集合M，N進行轉化，根據補集的概念求出，結合交集的運算求出.【詳解】由題意知，，所以.故選：B.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先分別把、的充要條件找出來，然后按照充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】因，或，而“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.若，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數冪的運算性質可求得結果.【詳解】.故選：C.4.已知函數，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由內向外，先求，則，代入式子即可求得a.【詳解】，，解得，故選：B.5.已知函數在上的值域為，則在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，則，，再根據奇函數的性質，即可求解.【詳解】令，則，因為函數在上的值域為，所以在上的值域為，又為奇函數，所以在上的值域為，又，則在上的值域為.故選：D6.已知關于x的不等式的解集為，函數（且）為指數函數，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集為，可得，再由為指數函數可得，代入運算可得解.【詳解】因為不等式的解集為，所以，即，又為指數函數，，所以，，且，.故選：A.7.已知是定又在上的偶函數，且在上單調遞增，又，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的奇偶性和單調性，可知和的解，再將轉化為，或，求解即可.【詳解】由題意可得當時，有，當或時，有，所以當時，有或，即或，當時，有，即，由，可得，或，所以或，所以的解集是.故選：D8.若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用條件等式將表達式變形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等條件是否成立.【詳解】因為，所以由題意，因為，所以，所以由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，即當且僅當或時等號成立，綜上所述，的最小值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛，解決本題的關鍵是要利用條件等式對已知表達式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】通過反例可知A錯誤；利用不等式性質可知BCD正確.【詳解】對于A，當時，，A錯誤；對于B，，，又，，B正確；對于C，，，又，，C正確；對于D，，，，D正確.故選：BCD.10.下列各組函數中，兩個函數相同的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】根據函數的定義域以及對應關系是否相同，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A.，的定義域均為，且對應關系相同，故兩個函數相同，A正確，對于B.，，兩個函數的對應關系不相同，故兩個函數不相同，B錯誤，對于C.的定義域為，而的定義域為，兩個函數的定義域不相同，故不是相同的函數，C錯誤，對于D.，定義域均為，且對應關系相同，故兩個函數相同，D正確，故選：AD11.若函數且的圖象過第一、三、四象限，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】作出函數大致圖象，結合指數函數性質可構造不等式求得結果.【詳解】由題意可知：函數大致圖象如下圖所示，結合圖象可知：，解得：.故選：BC.12.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，如.若，則下列說法正確的是（）A.當時， B.C.函數是增函數 D.函數的值域為【答案】AD【解析】【分析】對于A，直接由高斯函數定義來驗證即可；對于B，注意到，使得，即可運算判斷；對于C，由B選項分析即可判斷；對于D，由B選項可得的周期，故只需討論在上的值域即可.【詳解】對于A，當時，，故A正確；對于B，因為，使得，此時，從而，故B選項錯誤；對于C，由B可知對于，有，故C選項錯誤；對于D，由B選項分析可知，函數是以1為周期的周期函數，故只需討論在上的值域即可，當時，，即函數的值域為，故D正確.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：對于A選項的判斷比較常規，本題的關鍵是注意到，使得，從而即可判斷BCD三個選項.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則的單調遞減區間為___________.【答案】【解析】【分析】根據復合函數的單調性法則，結合指數函數以及二次函數的單調性即可求解.【詳解】可由復合而成，由于函數在定義域內單調遞增，而函數在單調遞增，在單調遞減，所以的單調遞減區間為，故答案為：14.已知函數的定義域為，則函數的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】先由的定義域求出的定義域，然后再求出的定義域即可.【詳解】因為的定義域為，所以的定義域滿足，解得，即的定義域為，所以函數的定義域滿足，解得或，所以函數的定義域為.故答案為：.15.已知命題：，使得，若是真命題，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分離變量可得，結合能成立的思想和二次函數最值的求法可求得結果.【詳解】由得：；，使得，；為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，當時，，的取值范圍為.故答案為：.16.若函數與對于任意，都有，則稱函數與是區間上的“階依附函數”，已知函數與是區間上的“階依附函數”，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】采用分離常數法、二次函數性質可求得和在上的值域，結合“階依附函數”定義可得恒成立，可得，由此可構造不等式求得結果.【詳解】，在上單調遞減，當時，；令，則當時，，，當時，，即當時，；由“階依附函數”定義可知：對于任意恒成立，，恒成立，即，，即，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求a的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據分式不等式以及一元二次不等式化簡集合，即可由并集的運算求解，（2）根據交集的結果，結合集合，即可判斷是方程的一個根，代入即可求解.【小問1詳解】由可得，當時，，所以【小問2詳解】，，所以是方程的一個根，故，故，18.已知冪函數在上單調遞增.（1）求的解析式；（2）判斷的奇偶性，并證明.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】(1)由冪函數的概念可得，再結合冪函數在單調遞增可確定a的值，則解析式可求；(2)首先判斷定義域是否關于原點對稱，再看與的關系即可判斷.【小問1詳解】由冪函數的概念可知，解得或，又因為冪函數在單調遞增，故，即；小問2詳解】為偶函數，證明如下：定義域為R，，故為偶函數.19.已知一次函數滿足，且.（1）求的函數關系式；（2）求關于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）采用配湊法，結合和一次函數定義可解方程求得結果；（2）將已知不等式化為，通過討論一元二次方程兩根大小關系可得不等式的解集.【小問1詳解】，，，解得：或，又為一次函數，，則，.【小問2詳解】由（1）知：；令，解得：或；當，即時，的解集為；當，即時，的解集為；當，即時，的解集為；綜上所述：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.20.已知函數.（1）若，求在區間上的最大值和最小值；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍.【答案】20.最大值3，最小值為221.【解析】【分析】（1）當時，，令，將問題轉化為二次函數求最值問題得解；（2）令，原不等式可化為，對任意的成立，分離參數結合基本不等式可得解.【小問1詳解】當時，，，令，則，，開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當，即時，函數也就是取得最小值，，當，即時，函數取得最大值，.【小問2詳解】在上恒成立，即，令，原不等式可化為，對任意的成立，可轉化為，對任意的成立，因為，當且僅當，即時等號成立，所以即可，所以實數的取值范圍為.21.如圖，某物業需要在一塊矩形空地（記為矩形ABCD）上修建兩個綠化帶，矩形ABCD的面積為800m2，這兩個綠化帶是兩個形狀、大小完全相同的直角梯形，這兩個梯形上下對齊，且中心對稱放置，梯形與空地的頂部、底部和兩邊都留有寬度為5m的人行道，且這兩個梯形之間也留有5m的人行道.設m.（1）用x表示綠化帶的面積；（2）求綠化帶面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）兩個形狀、大小完全相同的直角梯形可合并成一個小矩形，再結合題干的數據可求綠化帶面積；（2）利用基本不等式求最大值即可.【小問1詳解】因為矩形ABCD的面積為，，所以，兩個形狀、大小完全相同直角梯形可合并成一個小矩形，則，解得，則綠化帶面積為；【小問2詳解】由（1）知，當且僅當，即時等號成立，所以綠化帶面積的最大值為.22.已知函數.（1）若a=0，求的值城；（2）求的最大值.【答案】22.23.【解析】【分析】(1)先求定義域，再令，則，結合定義域可求的值域；(2)先由題意求出函數定義域，結合(1)將原函數化為，分別討論，，三種情況，根據二次函數的單調性，即可求出結果.【小問1詳解】當a=0時，由題意可得：，解得，即定義域為；令，則，因為，所